Función sucesora - Successor function
En matemáticas , la función sucesora o la operación sucesora envía un número natural a la siguiente. La función sucesora se denota por S , por lo que S ( n ) = n + 1. Por ejemplo, S (1) = 2 y S (2) = 3. La función sucesora es uno de los componentes básicos que se utilizan para construir una primitiva recursiva. función .
Las operaciones sucesoras también se conocen como zeración en el contexto de una hiperoperación cero : H 0 ( a , b ) = 1 + b . En este contexto, la extensión de zeration es la adición , que se define como sucesión repetida.
Visión general
La función de sucesor es parte del lenguaje formal utilizado para enunciar los axiomas de Peano , que formalizan la estructura de los números naturales. En esta formalización, la función sucesora es una operación primitiva sobre los números naturales, en términos de los cuales se definen los números naturales estándar y la suma. Por ejemplo, 1 se define como S (0), y la suma de números naturales se define de forma recursiva mediante:
m + 0 = m , m + S ( n ) = S ( m + n ).
Esto se puede utilizar para calcular la suma de dos números naturales cualesquiera. Por ejemplo, 5 + 2 = 5 + S (1) = S (5 + 1) = S (5 + S (0)) = S ( S (5 + 0)) = S ( S (5)) = S (6) = 7.
Se han propuesto varias construcciones de los números naturales dentro de la teoría de conjuntos. Por ejemplo, John von Neumann construye el número 0 como el conjunto vacío {}, y el sucesor de n , S ( n ), como el conjunto n ∪ { n }. El axioma del infinito entonces garantiza la existencia de un conjunto que contiene 0 y está cerrado con respecto a S . El conjunto más pequeño de este tipo se denota con N , y sus miembros se denominan números naturales.
La función sucesora es la base de nivel 0 de la jerarquía infinita de hiperoperaciones de Grzegorczyk , utilizada para construir suma , multiplicación , exponenciación , tetración , etc. Fue estudiada en 1986 en una investigación que involucra la generalización del patrón de hiperoperaciones.
También es una de las funciones primitivas utilizadas en la caracterización de la computabilidad mediante funciones recursivas .
Ver también
Referencias
- Paul R. Halmos (1968). Teoría de conjuntos ingenua . Nostrand.
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