Composiciones infinitas de funciones analíticas - Infinite compositions of analytic functions

En matemáticas, las composiciones infinitas de funciones analíticas (ICAF) ofrecen formulaciones alternativas de fracciones continuas analíticas , series , productos y otras expansiones infinitas, y la teoría que evoluciona a partir de tales composiciones puede arrojar luz sobre la convergencia / divergencia de estas expansiones. Algunas funciones se pueden expandir directamente como composiciones infinitas. Además, es posible utilizar ICAF para evaluar soluciones de ecuaciones de punto fijo que involucran expansiones infinitas. La dinámica compleja ofrece otro lugar para la iteración de sistemas de funcionesen lugar de una sola función. Para composiciones infinitas de una sola función, consulte Función iterada . Para conocer las composiciones de un número finito de funciones, útiles en la teoría fractal , consulte Sistema de funciones iteradas .

Aunque el título de este artículo especifica funciones analíticas, también hay resultados para funciones más generales de una variable compleja .

Notación

Hay varias notaciones que describen composiciones infinitas, incluidas las siguientes:

Adelante composiciones: ${\ Displaystyle F_ {k, n} (z) = f_ {k} \ circ f_ {k + 1} \ circ \ dots \ circ f_ {n-1} \ circ f_ {n} (z).}$

Composiciones al revés: ${\ Displaystyle G_ {k, n} (z) = f_ {n} \ circ f_ {n-1} \ circ \ dots \ circ f_ {k + 1} \ circ f_ {k} (z).}$

En cada caso, la convergencia se interpreta como la existencia de los siguientes límites:

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} F_ {1, n} (z), \ qquad \ lim _ {n \ to \ infty} G_ {1, n} (z).}$

Por conveniencia, establezca F _n ( z ) = F _{1, n} ( z ) y G _n ( z ) = G _{1, n} ( z ) .

También se puede escribir y ${\ Displaystyle F_ {n} (z) = {\ underset {k = 1} {\ overset {n} {\ mathop {R}}}} \, f_ {k} (z) = f_ {1} \ circ f_ {2} \ circ \ cdots \ circ f_ {n} (z)}$${\ Displaystyle G_ {n} (z) = {\ underset {k = 1} {\ overset {n} {\ mathop {L}}}} \, g_ {k} (z) = g_ {n} \ circ g_ {n-1} \ circ \ cdots \ circ g_ {1} (z)}$

Teorema de contracción

Muchos resultados pueden considerarse extensiones del siguiente resultado:

Contracción teorema para funciones analíticas  -  Let f sea analítica en una región simplemente-conectado S y continua sobre el cierre S de S . Supongamos que f ( S ) es un conjunto acotado contenida en S . Entonces para todo z en S existe un punto fijo atractivo α de f en S tal que:

$${\ Displaystyle F_ {n} (z) = (f \ circ f \ circ \ cdots \ circ f) (z) \ to \ alpha.}$$

Composiciones infinitas de funciones contractivas.

Sea { f _n } una secuencia de funciones analíticas en un dominio S simplemente conectado . Suponga que existe un conjunto compacto Ω ⊂ S tal que para cada n , f _n ( S ) ⊂ Ω.

La teoría adicional resultante de las investigaciones basadas en estos dos teoremas, en particular el Teorema de las composiciones hacia adelante, incluye el análisis de ubicación para los límites obtenidos aquí [1] . Para un enfoque diferente del teorema de composiciones hacia atrás, consulte [2] .

Con respecto al teorema de las composiciones hacia atrás, el ejemplo f _{2 n} ( z ) = 1/2 y f _{2 n −1} ( z ) = −1/2 para S = { z  : | z | <1} demuestra la insuficiencia de simplemente requerir la contracción en un subconjunto compacto, como el Teorema de composiciones hacia adelante.

Para funciones no necesariamente analíticas, la condición de Lipschitz es suficiente:

Teorema  :  suponga que es un subconjunto compacto simplemente conectado de y sea ​​una familia de funciones que satisfaga ${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle t_ {n}: S \ a S}$

$${\ Displaystyle \ forall n, \ forall z_ {1}, z_ {2} \ in S, \ existe \ rho: \ quad \ left | t_ {n} (z_ {1}) - t_ {n} (z_ { 2}) \ derecha | \ leq \ rho | z_ {1} -z_ {2} |, \ quad \ rho <1.}$$

Definir:

$${\ Displaystyle {\ begin {alineado} G_ {n} (z) & = \ left (t_ {n} \ circ t_ {n-1} \ circ \ cdots \ circ t_ {1} \ right) (z) \ \ F_ {n} (z) & = \ left (t_ {1} \ circ t_ {2} \ circ \ cdots \ circ t_ {n} \ right) (z) \ end {alineado}}}$$

Entonces uniformemente en If es el único punto fijo de then uniformemente en si y solo si . ${\ Displaystyle F_ {n} (z) \ to \ beta \ in S}$${\ Displaystyle S.}$${\ Displaystyle \ alpha _ {n}}$${\ Displaystyle t_ {n}}$${\ Displaystyle G_ {n} (z) \ to \ alpha}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle | \ alpha _ {n} - \ alpha | = \ varepsilon _ {n} \ to 0}$

Composiciones infinitas de otras funciones.

Funciones complejas no contractivas

Los resultados que involucran funciones completas incluyen los siguientes, como ejemplos. Colocar

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} f_ {n} (z) & = a_ {n} z + c_ {n, 2} z ^ {2} + c_ {n, 3} z ^ {3} + \ cdots \\\ rho _ {n} & = \ sup _ {r} \ left \ {\ left | c_ {n, r} \ right | ^ {\ frac {1} {r-1}} \ right \} \ final {alineado}}}$

Entonces se mantienen los siguientes resultados:

Teorema E1  -  Si a _n ≡ 1,

$${\ Displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ rho _ {n} <\ infty}$$

entonces F _n → F es completo.

Teorema E2  -  Establezca ε _n = | a _n −1 | Supongamos que existe δ _n , M ₁ , M ₂ , R no negativos de manera que se cumple lo siguiente:

$${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ varepsilon _ {n} & <\ infty, \\\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ delta _ {n} & <\ infty, \\\ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} (1+ \ delta _ {n}) & <M_ {1}, \\\ prod _ {n = 1 } ^ {\ infty} (1+ \ varepsilon _ {n}) & <M_ {2}, \\\ rho _ {n} & <{\ frac {\ delta _ {n}} {RM_ {1} M_ {2}}}. \ End {alineado}}}$$

Entonces G _n ( z ) → G ( z ) es analítico para | z | < R . La convergencia es uniforme en subconjuntos compactos de { z  : | z | < R }.

Los resultados elementales adicionales incluyen:

Teorema GF3  -  Suponga donde existe tal que implica Además, suponga y Entonces para${\ Displaystyle f_ {k} (z) = z + \ rho _ {k} \ varphi _ {k} (z)}$${\ Displaystyle R, M> 0}$${\ Displaystyle | z | <R}$${\ Displaystyle | \ varphi _ {k} (z) | <M, \ forall k, \}$${\ textstyle \ rho _ {k} \ geq 0, \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ rho _ {k} <\ infty}$${\ textstyle R> M \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ rho _ {k}.}$${\ textstyle R * <RM \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ rho _ {k}}$

$${\ Displaystyle G_ {n} (z) \ equiv \ left (f_ {n} \ circ f_ {n-1} \ circ \ cdots \ circ f_ {1} \ right) (z) \ to G (z) \ qquad {\ text {para}} \ {z: | z | <R * \}}$$

Teorema GF4  -  Suponga donde existe tal que e implica y Además, suponga y Entonces para${\ Displaystyle f_ {k} (z) = z + \ rho _ {k} \ varphi _ {k} (z)}$${\ Displaystyle R, M> 0}$${\ Displaystyle | z | <R}$${\ Displaystyle | \ zeta | <R}$${\ Displaystyle | \ varphi _ {k} (z) | <M}$${\ Displaystyle | \ varphi _ {k} (z) - \ varphi _ {k} (\ zeta) | \ leq r | z- \ zeta |, \ forall k. \}$${\ textstyle \ rho _ {k} \ geq 0, \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ rho _ {k} <\ infty}$${\ textstyle R> M \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ rho _ {k}.}$${\ textstyle R * <RM \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ rho _ {k}}$

$${\ Displaystyle F_ {n} (z) \ equiv \ left (f_ {1} \ circ f_ {2} \ circ \ cdots \ circ f_ {n} \ right) (z) \ to F (z) \ qquad { \ text {para}} \ {z: | z | <R * \}}$$

Teorema GF5  -  Sea analítico para | z | < R ₀ , con | g _n ( z ) | ≤ C β _n , ${\ Displaystyle f_ {n} (z) = z + zg_ {n} (z),}$

$${\ Displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ beta _ {n} <\ infty.}$$

Elija 0 < r < R ₀ y defina

$${\ Displaystyle R = R (r) = {\ frac {R_ {0} -r} {\ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} (1 + C \ beta _ {n})}}.}$$

Entonces F _n → F uniformemente para

Ejemplo GF1 : [3]${\ Displaystyle F_ {40} (x + iy) = {\ underset {k = 1} {\ overset {40} {\ mathop {R}}}} \ left ({\ frac {x + iy} {1+ {\ tfrac {1} {4 ^ {k}}} (x \ cos (y) + iy \ sin (x))}} \ right), \ qquad [-20,20]}$

Ejemplo GF1: Universo reproductivo - Una imagen topográfica (módulos) de una composición infinita.

Ejemplo GF2 :${\ Displaystyle G_ {40} (x + iy) = {\ underset {k = 1} {\ overset {40} {\ mathop {L}}}} \, \ left ({\ frac {x + iy} { 1 + {\ tfrac {1} {2 ^ {k}}} (x \ cos (y) + iy \ sin (x))}} \ right), \ [-20,20]}$

Ejemplo GF2: Metrópolis a 30K - Una imagen topográfica (módulos) de una composición infinita.

Transformaciones lineales fraccionarias

Los resultados de las composiciones de transformaciones fraccionarias lineales (Möbius) incluyen los siguientes, como ejemplos:

Teorema LFT4  -  Si f _n → f donde f es parabólico con punto fijo γ . Sean los puntos fijos de { f _n } { γ _n } y { β _n }. Si

$${\ Displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left | \ gamma _ {n} - \ beta _ {n} \ right | <\ infty \ quad {\ text {y}} \ quad \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} n \ left | \ beta _ {n + 1} - \ beta _ {n} \ right | <\ infty}$$

entonces F _n ( z ) → λ , una constante en el plano complejo extendido, para todo z .

Ejemplos y aplicaciones

Fracciones continuas

El valor de la fracción continua infinita

${\ Displaystyle {\ cfrac {a_ {1}} {b_ {1} + {\ cfrac {a_ {2}} {b_ {2} + \ cdots}}}}}$

puede expresarse como el límite de la secuencia { F _n (0)} donde

${\ Displaystyle f_ {n} (z) = {\ frac {a_ {n}} {b_ {n} + z}}.}$

Como ejemplo simple, un resultado bien conocido (Círculo de Worpitsky *) se deriva de una aplicación del Teorema (A):

Considere la fracción continua

${\ Displaystyle {\ cfrac {a_ {1} \ zeta} {1 + {\ cfrac {a_ {2} \ zeta} {1+ \ cdots}}}}}$

con

${\ Displaystyle f_ {n} (z) = {\ frac {a_ {n} \ zeta} {1 + z}}.}$

Estipule que | ζ | <1 y | z | < R <1. Entonces para 0 < r <1,

${\ Displaystyle | a_ {n} | <rR (1-R) ​​\ Rightarrow \ left | f_ {n} (z) \ right | <rR <R \ Rightarrow {\ frac {a_ {1} \ zeta} {1 + {\ frac {a_ {2} \ zeta} {1+ \ cdots}}}} = F (\ zeta)}$, analítica para | z | <1. Establezca R = 1/2.

Ejemplo. ${\ Displaystyle F (z) = {\ frac {(i-1) z} {1 + i + z {\ text {}} +}} {\ text {}} {\ frac {(2-i) z } {1 + 2i + z {\ text {}} +}} {\ text {}} {\ frac {(3-i) z} {1 + 3i + z {\ text {}} +}} \ cdots ,}$ ${\ displaystyle [-15,15]}$

Ejemplo: fracción continua1: imagen topográfica (módulos) de una fracción continua (una para cada punto) en el plano complejo. [−15,15]

Ejemplo. Una forma continua fracción de punto fijo (una sola variable).

${\ Displaystyle f_ {k, n} (z) = {\ frac {\ alpha _ {k, n} \ beta _ {k, n}} {\ alpha _ {k, n} + \ beta _ {k, n} -z}}, \ alpha _ {k, n} = \ alpha _ {k, n} (z), \ beta _ {k, n} = \ beta _ {k, n} (z), F_ {n} (z) = \ left (f_ {1, n} \ circ \ cdots \ circ f_ {n, n} \ right) (z)}$

${\ Displaystyle \ alpha _ {k, n} = x \ cos (ty) + iy \ sin (tx), \ beta _ {k, n} = \ cos (ty) + i \ sin (tx), t = k / n}$

Ejemplo: Broche infinito - Imagen topográfica (módulos) de una forma de fracción continua en el plano complejo. (6 <x <9,6), (4,8 <y <8)

Expansión funcional directa

A continuación, se muestran ejemplos que ilustran la conversión de una función directamente en una composición:

Ejemplo 1. Suponga que es una función completa que satisface las siguientes condiciones: ${\ Displaystyle \ phi}$

${\ Displaystyle {\ begin {cases} \ phi (tz) = t \ left (\ phi (z) + \ phi (z) ^ {2} \ right) & | t |> 1 \\\ phi (0) = 0 \\\ phi '(0) = 1 \ end {cases}}}$

Luego

${\ Displaystyle f_ {n} (z) = z + {\ frac {z ^ {2}} {t ^ {n}}} \ Longrightarrow F_ {n} (z) \ to \ phi (z)}$.

Ejemplo 2.

${\ Displaystyle f_ {n} (z) = z + {\ frac {z ^ {2}} {2 ^ {n}}} \ Longrightarrow F_ {n} (z) \ to {\ frac {1} {2} } \ left (e ^ {2z} -1 \ right)}$

Ejemplo 3.

${\ Displaystyle f_ {n} (z) = {\ frac {z} {1 - {\ tfrac {z ^ {2}} {4 ^ {n}}}}} \ Longrightarrow F_ {n} (z) \ a \ tan (z)}$

Ejemplo 4.

${\ Displaystyle g_ {n} (z) = {\ frac {2 \ cdot 4 ^ {n}} {z}} \ left ({\ sqrt {1 + {\ frac {z ^ {2}} {4 ^ {n}}}}} - 1 \ right) \ Longrightarrow G_ {n} (z) \ to \ arctan (z)}$

Cálculo de puntos fijos

El teorema (B) se puede aplicar para determinar los puntos fijos de funciones definidas por expansiones infinitas o ciertas integrales. Los siguientes ejemplos ilustran el proceso:

Ejemplo FP1. Para | ζ | ≤ 1 dejar

${\ Displaystyle G (\ zeta) = {\ frac {\ tfrac {e ^ {\ zeta}} {4}} {3+ \ zeta + {\ cfrac {\ tfrac {e ^ {\ zeta}} {8} } {3+ \ zeta + {\ cfrac {\ tfrac {e ^ {\ zeta}} {12}} {3+ \ zeta + \ cdots}}}}}}}$

Para encontrar α = G (α), primero definimos:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} t_ {n} (z) & = {\ cfrac {\ tfrac {e ^ {\ zeta}} {4n}} {3+ \ zeta + z}} \\ f_ {n } (\ zeta) & = t_ {1} \ circ t_ {2} \ circ \ cdots \ circ t_ {n} (0) \ end {alineado}}}$

Luego calcule con ζ = 1, lo que da: α = 0.087118118 ... a diez lugares decimales después de diez iteraciones. ${\ Displaystyle G_ {n} (\ zeta) = f_ {n} \ circ \ cdots \ circ f_ {1} (\ zeta)}$

Teorema FP2  -  Sea φ ( ζ , t ) analítico en S = { z  : | z | < R } para todo t en [0, 1] y continuo en t . Colocar

$${\ Displaystyle f_ {n} (\ zeta) = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ varphi \ left (\ zeta, {\ tfrac {k} {n }}\Derecha).}$$

Si | φ ( ζ , t ) | ≤ r < R para ζ ∈ S y t ∈ [0, 1], entonces

$${\ Displaystyle \ zeta = \ int _ {0} ^ {1} \ varphi (\ zeta, t) \, dt}$$

tiene una solución única, α en S , con${\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} G_ {n} (\ zeta) = \ alpha.}$

Funciones de evolución

Considere un intervalo de tiempo, normalizado a I = [0, 1]. Los ICAF se pueden construir para describir el movimiento continuo de un punto, z , sobre el intervalo, pero de tal manera que en cada "instante" el movimiento sea virtualmente cero (ver Flecha de Zenón ): Para el intervalo dividido en n subintervalos iguales, 1 ≤ k ≤ n conjunto analítico o simplemente continuo - en un dominio S , tal que ${\ Displaystyle g_ {k, n} (z) = z + \ varphi _ {k, n} (z)}$

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ varphi _ {k, n} (z) = 0}$para todo ky todo z en S ,

y . ${\ Displaystyle g_ {k, n} (z) \ in S}$

Ejemplo principal

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} g_ {k, n} (z) & = z + {\ frac {1} {n}} \ phi \ left (z, {\ tfrac {k} {n}} \ right ) \\ G_ {k, n} (z) & = \ left (g_ {k, n} \ circ g_ {k-1, n} \ circ \ cdots \ circ g_ {1, n} \ right) (z ) \\ G_ {n} (z) & = G_ {n, n} (z) \ end {alineado}}}$

implica

${\ Displaystyle \ lambda _ {n} (z) \ doteq G_ {n} (z) -z = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ phi \ left (G_ {k-1, n} (z) {\ tfrac {k} {n}} \ right) \ doteq {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ psi \ left (z, {\ tfrac {k} {n}} \ right) \ sim \ int _ {0} ^ {1} \ psi (z, t) \, dt,}$

donde la integral está bien definida si tiene una solución de forma cerrada z ( t ). Luego ${\ Displaystyle {\ tfrac {dz} {dt}} = \ phi (z, t)}$

${\ Displaystyle \ lambda _ {n} (z_ {0}) \ approx \ int _ {0} ^ {1} \ phi (z (t), t) \, dt.}$

De lo contrario, el integrando está mal definido, aunque el valor de la integral se calcula fácilmente. En este caso, se podría llamar a la integral una integral "virtual".

Ejemplo. ${\ Displaystyle \ phi (z, t) = {\ frac {2t- \ cos y} {1- \ sin x \ cos y}} + i {\ frac {1-2t \ sin x} {1- \ sin x \ cos y}}, \ int _ {0} ^ {1} \ psi (z, t) \, dt}$

Ejemplo 1: Túneles virtuales - Imagen topográfica (módulos) de integrales virtuales (una para cada punto) en el plano complejo. [−10,10]

Dos contornos que fluyen hacia un atractivo punto fijo (rojo a la izquierda). El contorno blanco ( c = 2) termina antes de llegar al punto fijo. El segundo contorno ( c ( n ) = raíz cuadrada de n ) termina en el punto fijo. Para ambos contornos, n = 10,000

Ejemplo. Dejar:

${\ Displaystyle g_ {n} (z) = z + {\ frac {c_ {n}} {n}} \ phi (z), \ quad {\ text {con}} \ quad f (z) = z + \ phi (z).}$

A continuación, establezca y T _n ( z ) = T _{n, n} ( z ). Dejar ${\ Displaystyle T_ {1, n} (z) = g_ {n} (z), T_ {k, n} (z) = g_ {n} (T_ {k-1, n} (z)),}$

${\ Displaystyle T (z) = \ lim _ {n \ to \ infty} T_ {n} (z)}$

cuando ese límite existe. La secuencia { T _n ( z )} define los contornos γ = γ ( c _n , z ) que siguen el flujo del campo vectorial f ( z ). Si existe un punto fijo atractivo α, lo que significa | f ( z ) - α | ≤ ρ | z - α | para 0 ≤ ρ <1, entonces T _n ( z ) → T ( z ) ≡ α a lo largo de γ = γ ( c _n , z ), siempre (por ejemplo) . Si c _n ≡ c > 0, entonces T _n ( z ) → T ( z ), un punto en el contorno γ = γ ( c , z ). Se ve fácilmente que ${\ Displaystyle c_ {n} = {\ sqrt {n}}}$

${\ Displaystyle \ oint _ {\ gamma} \ phi (\ zeta) \, d \ zeta = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {c} {n}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ phi ^ {2} \ left (T_ {k-1, n} (z) \ right)}$

y

${\ Displaystyle L (\ gamma (z)) = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {c} {n}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left | \ phi \ izquierda (T_ {k-1, n} (z) \ right) \ right |,}$

cuando existen estos límites.

Estos conceptos están marginalmente relacionados con la teoría activa del contorno en el procesamiento de imágenes y son simples generalizaciones del método de Euler.

Expansiones autorreplicantes

Serie

La serie definida recursivamente por f _n ( z ) = z + g _n ( z ) tiene la propiedad de que el enésimo término se basa en la suma de los primeros n  - 1 términos. Para emplear el teorema (GF3) es necesario mostrar la acotación en el siguiente sentido: Si cada f _n se define para | z | < M entonces | G _n ( z ) | < M debe seguir antes de | f _n ( z ) -  z | = | g _n ( z ) | ≤  Cβ _n se define con fines iterativos. Esto se debe a que ocurre durante toda la expansión. La restricción ${\ Displaystyle g_ {n} (G_ {n-1} (z))}$

${\ Displaystyle | z | <R = MC \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ beta _ {k}> 0}$

sirve para este propósito. Entonces G _n ( z ) → G ( z ) uniformemente en el dominio restringido.

Ejemplo (S1). Colocar

${\ Displaystyle f_ {n} (z) = z + {\ frac {1} {\ rho n ^ {2}}} {\ sqrt {z}}, \ qquad \ rho> {\ sqrt {\ frac {\ pi } {6}}}}$

y M = ρ ² . Entonces R = ρ ² - (π / 6)> 0. Entonces, si , z en S implica | G _n ( z ) | < M y se aplica el teorema (GF3), de modo que ${\ Displaystyle S = \ left \ {z: | z | <R, \ operatorname {Re} (z)> 0 \ right \}}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} G_ {n} (z) & = z + g_ {1} (z) + g_ {2} (G_ {1} (z)) + g_ {3} (G_ {2 } (z)) + \ cdots + g_ {n} (G_ {n-1} (z)) \\ & = z + {\ frac {1} {\ rho \ cdot 1 ^ {2}}} {\ sqrt {z}} + {\ frac {1} {\ rho \ cdot 2 ^ {2}}} {\ sqrt {G_ {1} (z)}} + {\ frac {1} {\ rho \ cdot 3 ^ {2}}} {\ sqrt {G_ {2} (z)}} + \ cdots + {\ frac {1} {\ rho \ cdot n ^ {2}}} {\ sqrt {G_ {n-1} (z)}} \ end {alineado}}}$

converge absolutamente, por lo tanto es convergente.

Ejemplo (S2) : ${\ Displaystyle f_ {n} (z) = z + {\ frac {1} {n ^ {2}}} \ cdot \ varphi (z), \ varphi (z) = 2 \ cos (x / y) + i2 \ sin (x / y),> G_ {n} (z) = f_ {n} \ circ f_ {n-1} \ circ \ cdots \ circ f_ {1} (z), \ qquad [-10,10 ], n = 50}$

Ejemplo (S2) - Una imagen topográfica (módulos) de una serie autogenerada.

Productos

El producto definido recursivamente por

${\ Displaystyle f_ {n} (z) = z (1 + g_ {n} (z)), \ qquad | z | \ leqslant M,}$

tiene la apariencia

${\ Displaystyle G_ {n} (z) = z \ prod _ {k = 1} ^ {n} \ left (1 + g_ {k} \ left (G_ {k-1} (z) \ right) \ right ).}$

Para aplicar el teorema GF3 se requiere que:

${\ Displaystyle \ left | zg_ {n} (z) \ right | \ leq C \ beta _ {n}, \ qquad \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ beta _ {k} <\ infty .}$

Una vez más, una condición de delimitación debe apoyar

${\ Displaystyle \ left | G_ {n-1} (z) g_ {n} (G_ {n-1} (z)) \ right | \ leq C \ beta _ {n}.}$

Si uno conoce Cβ _n de antemano, lo siguiente será suficiente:

${\ Displaystyle | z | \ leqslant R = {\ frac {M} {P}} \ qquad {\ text {donde}} \ quad P = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 + C \ beta _ {n} \ derecha).}$

Entonces G _n ( z ) → G ( z ) uniformemente en el dominio restringido.

Ejemplo (P1). Supongamos, al observar después de algunos cálculos preliminares, que | z | ≤ 1/4 implica | G _n ( z ) | <0,27. Luego ${\ Displaystyle f_ {n} (z) = z (1 + g_ {n} (z))}$${\ Displaystyle g_ {n} (z) = {\ tfrac {z ^ {2}} {n ^ {3}}},}$

${\ Displaystyle \ left | G_ {n} (z) {\ frac {G_ {n} (z) ^ {2}} {n ^ {3}}} \ right | <(0.02) {\ frac {1} {n ^ {3}}} = C \ beta _ {n}}$

y

${\ Displaystyle G_ {n} (z) = z \ prod _ {k = 1} ^ {n-1} \ left (1 + {\ frac {G_ {k} (z) ^ {2}} {n ^ {3}}} \ right)}$

converge uniformemente.

Ejemplo (P2).

${\ Displaystyle g_ {k, n} (z) = z \ left (1 + {\ frac {1} {n}} \ varphi \ left (z, {\ tfrac {k} {n}} \ right) \ Derecha),}$

${\ Displaystyle G_ {n, n} (z) = \ left (g_ {n, n} \ circ g_ {n-1, n} \ circ \ cdots \ circ g_ {1, n} \ right) (z) = z \ prod _ {k = 1} ^ {n} (1 + P_ {k, n} (z)),}$

${\ Displaystyle P_ {k, n} (z) = {\ frac {1} {n}} \ varphi \ left (G_ {k-1, n} (z), {\ tfrac {k} {n}} \Derecha),}$

${\ Displaystyle \ prod _ {k = 1} ^ {n-1} \ left (1 + P_ {k, n} (z) \ right) = 1 + P_ {1, n} (z) + P_ {2 , n} (z) + \ cdots + P_ {k-1, n} (z) + R_ {n} (z) \ sim \ int _ {0} ^ {1} \ pi (z, t) \, dt + 1 + R_ {n} (z),}$

${\ Displaystyle \ varphi (z) = x \ cos (y) + iy \ sin (x), \ int _ {0} ^ {1} (z \ pi (z, t) -1) \, dt, \ qquad [-15,15]:}$

Ejemplo (P2): Universo de Picasso: una integral virtual derivada de un producto infinito autogenerado. Haga clic en la imagen para obtener una resolución más alta.

Fracciones continuas

Ejemplo (CF1) : una fracción continua autogenerada. [4]

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} F_ {n} (z) & = {\ frac {\ rho (z)} {\ delta _ {1} +}} {\ frac {\ rho (F_ {1} ( z))} {\ delta _ {2} +}} {\ frac {\ rho (F_ {2} (z))} {\ delta _ {3} +}} \ cdots {\ frac {\ rho (F_ {n-1} (z))} {\ delta _ {n}}}, \\\ rho (z) & = {\ frac {\ cos (y)} {\ cos (y) + \ sin (x )}} + i {\ frac {\ sin (x)} {\ cos (y) + \ sin (x)}}, \ qquad [0 <x <20], [0 <y <20], \ qquad \ delta _ {k} \ equiv 1 \ end {alineado}}}$

Ejemplo CF1: Rendimientos decrecientes: una imagen topográfica (módulos) de una fracción continua autogenerada.

Ejemplo (CF2) : se describe mejor como una fracción continua de Euler inversa autogenerada .

${\ Displaystyle G_ {n} (z) = {\ frac {\ rho (G_ {n-1} (z))} {1+ \ rho (G_ {n-1} (z)) -}} \ { \ frac {\ rho (G_ {n-2} (z))} {1+ \ rho (G_ {n-2} (z)) -}} \ cdots {\ frac {\ rho (G_ {1} ( z))} {1+ \ rho (G_ {1} (z)) -}} \ {\ frac {\ rho (z)} {1+ \ rho (z) -z}},}$

${\ Displaystyle \ rho (z) = \ rho (x + iy) = x \ cos (y) + iy \ sin (x), \ qquad [-15,15], n = 30}$

Ejemplo CF2: Sueño de oro: una imagen topográfica (módulos) de una fracción continua de Euler inversa autogenerada.

Referencias