Analiticidad de funciones holomorfas - Analyticity of holomorphic functions

Análisis matemático → Análisis complejo
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En análisis complejo un complejo -valued función ƒ de una variable compleja  z :

• se dice que es holomórfico en un punto a si es diferenciable en cada punto dentro de algún disco abierto centrado en a , y
• se dice que es analítico en a si en algún disco abierto centrado en a puede expandirse como una serie de potencia convergente

${\ Displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} (za) ^ {n}}$

(esto implica que el radio de convergencia es positivo).

Uno de los teoremas más importantes del análisis complejo es que las funciones holomórficas son analíticas . Entre los corolarios de este teorema están

• el teorema de la identidad de que dos funciones holomorfas que concuerdan en cada punto de un conjunto infinito S con un punto de acumulación dentro de la intersección de sus dominios también concuerdan en todas partes en cada subconjunto abierto conectado de sus dominios que contiene el conjunto S , y
• el hecho de que, dado que las series de potencias son infinitamente diferenciables, también lo son las funciones holomórficas (esto contrasta con el caso de las funciones diferenciables reales), y
• el hecho de que el radio de convergencia es siempre la distancia desde el centro a hasta la singularidad más cercana ; si no hay singularidades (es decir, si ƒ es una función entera ), entonces el radio de convergencia es infinito. Estrictamente hablando, esto no es un corolario del teorema sino más bien un subproducto de la demostración.
• ninguna función de golpe en el plano complejo puede ser completa. En particular, en cualquier subconjunto abierto conectado del plano complejo, no puede haber una función de relieve definida en ese conjunto que es holomórfico en el conjunto. Esto tiene ramificaciones importantes para el estudio de variedades complejas, ya que excluye el uso de particiones de unidad . En contraste, la partición de la unidad es una herramienta que puede usarse en cualquier variedad real.

Prueba

El argumento, dado por primera vez por Cauchy, depende de la fórmula integral de Cauchy y la expansión de la serie de potencias de la expresión

${\ Displaystyle {\ frac {1} {wz}}.}$

Deje que D sea un disco abierto centrado en una y supongamos ƒ es diferenciable en todas partes dentro de un entorno abierto que contiene el cierre de D . Deje C ser el círculo de orientación positiva (es decir, hacia la izquierda) que es el límite de D y dejar que z sea un punto en D . Comenzando con la fórmula integral de Cauchy, tenemos

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} f (z) & {} = {1 \ over 2 \ pi i} \ int _ {C} {f (w) \ over wz} \, \ mathrm {d} w \ \ [10pt] & {} = {1 \ over 2 \ pi i} \ int _ {C} {f (w) \ over (wa) - (za)} \, \ mathrm {d} w \\ [10pt ] & {} = {1 \ over 2 \ pi i} \ int _ {C} {1 \ over wa} \ cdot {1 \ over 1- {za \ over wa}} f (w) \, \ mathrm { d} w \\ [10pt] & {} = {1 \ over 2 \ pi i} \ int _ {C} {1 \ over wa} \ cdot {\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ izquierda ({za \ over wa} \ right) ^ {n}} f (w) \, \ mathrm {d} w \\ [10pt] & {} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {1 \ over 2 \ pi i} \ int _ {C} {(za) ^ {n} \ over (wa) ^ {n + 1}} f (w) \, \ mathrm {d} w. \ End {alineado}}}$

El intercambio de la integral y la suma infinita se justifica observando que está limitado en C por algún número positivo M , mientras que para todo w en C${\ Displaystyle f (w) / (wa)}$

${\ Displaystyle \ left | {\ frac {za} {wa}} \ right | \ leq r <1}$

para alguna r positiva también. Por tanto tenemos

${\ Displaystyle \ left | {(za) ^ {n} \ over (wa) ^ {n + 1}} f (w) \ right | \ leq Mr ^ {n},}$

en C , y como la prueba M de Weierstrass muestra que la serie converge uniformemente sobre C , la suma y la integral pueden intercambiarse.

Como el factor ( z  -  a ) ⁿ no depende de la variable de integración  w , se puede factorizar para obtener

${\ Displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (za) ^ {n} {1 \ over 2 \ pi i} \ int _ {C} {f (w) \ over (wa) ^ {n + 1}} \, \ mathrm {d} w,}$

que tiene la forma deseada de una serie de potencias en z :

${\ Displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} (za) ^ {n}}$

con coeficientes

${\ Displaystyle c_ {n} = {1 \ over 2 \ pi i} \ int _ {C} {f (w) \ over (wa) ^ {n + 1}} \, \ mathrm {d} w.}$

Observaciones

• Dado que las series de potencias se pueden diferenciar en términos de términos, aplicando el argumento anterior en la dirección inversa y la expresión de series de potencias para

${\ Displaystyle {\ frac {1} {(wz) ^ {n + 1}}}}$

da

${\ Displaystyle f ^ {(n)} (a) = {n! \ over 2 \ pi i} \ int _ {C} {f (w) \ over (wa) ^ {n + 1}} \, dw.}$

Esta es una fórmula integral de Cauchy para derivadas. Por lo tanto, la serie de potencias obtenida anteriormente es la serie de Taylor de  f .

• El argumento funciona si z es cualquier punto que esté más cerca del centro a que cualquier singularidad de  f . Por lo tanto, el radio de convergencia de la serie de Taylor no puede ser menor que la distancia de a a la singularidad más cercana (ni puede ser mayor, ya que las series de potencias no tienen singularidades en el interior de sus círculos de convergencia).
• Un caso especial del teorema de la identidad se deriva de la observación anterior. Si dos funciones holomorfas concuerdan en una vecindad abierta (posiblemente bastante pequeña) U de a , entonces coinciden en el disco abierto B _d ( a ), donde d es la distancia desde a hasta la singularidad más cercana.

enlaces externos

• "Existencia de series de potencia" . PlanetMath .