Hesse forma normal - Hesse normal form

Distancia desde el origen O a la recta E calculada con la forma normal de Hesse. Vector normal en rojo, línea en verde, punto O mostrado en azul.

La forma normal Hesse nombre de Otto Hesse , es una ecuación utilizada en la geometría analítica , y describe una línea en o un plano en el espacio euclidiano o un hiperplano en dimensiones más altas. Se utiliza principalmente para calcular distancias (consulte la distancia punto-plano y la distancia punto-línea ). ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Está escrito en notación vectorial como

${\ Displaystyle {\ vec {r}} \ cdot {\ vec {n}} _ {0} -d = 0. \,}$

El punto indica el producto escalar o producto punto . Vector puntos desde el origen del sistema de coordenadas, O , a cualquier punto P que mentiras precisamente en el plano o en la línea E . El vector representa la unidad de vector normal del plano o línea E . La distancia es la distancia más corta desde el origen O hasta el plano o la línea. ${\ Displaystyle \ cdot}$${\ Displaystyle {\ vec {r}}}$${\ Displaystyle {\ vec {n}} _ {0}}$ ${\ Displaystyle d \ geq 0}$

Derivación / Cálculo de la forma normal

Nota: Para simplificar, la siguiente derivación analiza el caso 3D. Sin embargo, también es aplicable en 2D.

En la forma normal,

${\ Displaystyle ({\ vec {r}} - {\ vec {a}}) \ cdot {\ vec {n}} = 0 \,}$

un plano viene dado por un vector normal así como por un vector de posición arbitrario de un punto . La dirección de se elige para satisfacer la siguiente desigualdad ${\ Displaystyle {\ vec {n}}}$${\ Displaystyle {\ vec {a}}}$${\ Displaystyle A \ in E}$${\ Displaystyle {\ vec {n}}}$

${\ Displaystyle {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {n}} \ geq 0 \,}$

Al dividir el vector normal por su magnitud , obtenemos el vector normal unitario (o normalizado) ${\ Displaystyle {\ vec {n}}}$ ${\ Displaystyle | {\ vec {n}} |}$

${\ Displaystyle {\ vec {n}} _ {0} = {{\ vec {n}} \ over {| {\ vec {n}} |}} \,}$

y la ecuación anterior se puede reescribir como

${\ Displaystyle ({\ vec {r}} - {\ vec {a}}) \ cdot {\ vec {n}} _ {0} = 0. \,}$

Sustituyendo

${\ Displaystyle d = {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {n}} _ {0} \ geq 0 \,}$

obtenemos la forma normal de Hesse

${\ Displaystyle {\ vec {r}} \ cdot {\ vec {n}} _ {0} -d = 0. \,}$

En este diagrama, d es la distancia desde el origen. Debido a que se cumple para todos los puntos del plano, también es cierto en el punto Q (el punto donde el vector del origen se encuentra con el plano E), con , según la definición del producto escalar${\ Displaystyle {\ vec {r}} \ cdot {\ vec {n}} _ {0} = d}$${\ Displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {r}} _ {s}}$

${\ Displaystyle d = {\ vec {r}} _ {s} \ cdot {\ vec {n}} _ {0} = | {\ vec {r}} _ {s} | \ cdot | {\ vec { n}} _ {0} | \ cdot \ cos (0 ^ {\ circ}) = | {\ vec {r}} _ {s} | \ cdot 1 = | {\ vec {r}} _ {s} |. \,}$

La magnitud de es la distancia más corta desde el origen al plano. ${\ Displaystyle | {\ vec {r}} _ {s} |}$${\ Displaystyle {{\ vec {r}} _ {s}}}$

Referencias

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Forma normal arpillera" . MathWorld .