Discriminante fundamental - Fundamental discriminant
En matemáticas , un discriminante fundamental D es un invariante entero en la teoría de formas cuadráticas binarias integrales . Si Q ( x , y ) = ax 2 + bxy + cy 2 es una forma cuadrática con coeficientes enteros, entonces D = b 2 - 4 ac es el discriminante de Q ( x , y ). Por el contrario, todo entero D con D ≡ 0, 1 (mod 4) es el discriminante de alguna forma cuadrática binaria con coeficientes enteros. Por tanto, todos estos números enteros se denominan discriminantes en esta teoría.
Hay condiciones de congruencia explícitas que dan el conjunto de discriminantes fundamentales. Específicamente, D es un discriminante fundamental si, y solo si, una de las siguientes afirmaciones se cumple
- D ≡ 1 (mod 4) y no tiene cuadrados ,
- D = 4 m , donde m ≡ 2 o 3 (mod 4) ym no tiene cuadrados.
Los primeros diez discriminantes fundamentales positivos son:
Los primeros diez discriminantes fundamentales negativos son:
Conexión con campos cuadráticos
Existe una conexión entre la teoría de las formas cuadráticas binarias integrales y la aritmética de los campos numéricos cuadráticos . Una propiedad básica de esta conexión es que D 0 es un discriminante fundamental si, y solo si, D 0 = 1 o D 0 es el discriminante de un campo numérico cuadrático. Hay exactamente un campo cuadrático para cada discriminante fundamental D 0 ≠ 1, hasta el isomorfismo .
Precaución : Esta es la razón por la que algunos autores consideran que 1 no es un discriminante fundamental. Se puede interpretar D 0 = 1 como el campo "cuadrático" degenerado Q (los números racionales ).
Factorización
Los discriminantes fundamentales también pueden caracterizarse por su factorización en poderes primos positivos y negativos . Definir el conjunto
donde los números primos ≡ 1 (mod 4) son positivos y los ≡ 3 (mod 4) son negativos. A continuación, un número D 0 ≠ 1 es un discriminante fundamental si, y sólo si, es el producto de pares primos entre los miembros de S .
Referencias
- Henri Cohen (1993). Un curso de teoría de números algebraicos computacionales . Textos de Posgrado en Matemáticas. 138 . Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 3-540-55640-0. Señor 1228206 .
- Duncan Buell (1989). Formas cuadráticas binarias: teoría clásica y computación moderna . Springer-Verlag . pags. 69 . ISBN 0-387-97037-1.
- Don Zagier (1981). Zetafunktionen und quadratische Körper . Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-10603-6.