Modelo de efectos fijos - Fixed effects model

En estadística , un modelo de efectos fijos es un modelo estadístico en el que los parámetros del modelo son cantidades fijas o no aleatorias. Esto contrasta con los modelos de efectos aleatorios y los modelos mixtos en los que todos o algunos de los parámetros del modelo son variables aleatorias. En muchas aplicaciones, incluidas la econometría y la bioestadística, un modelo de efectos fijos se refiere a un modelo de regresión en el que las medias de grupo son fijas (no aleatorias) en contraposición a un modelo de efectos aleatorios en el que las medias de grupo son una muestra aleatoria de una población. Generalmente, los datos se pueden agrupar de acuerdo con varios factores observados. Las medias de los grupos se pueden modelar como efectos fijos o aleatorios para cada agrupación. En un modelo de efectos fijos, la media de cada grupo es una cantidad fija específica del grupo.

En los datos de panel donde existen observaciones longitudinales para el mismo sujeto, los efectos fijos representan los medios específicos del sujeto. En el análisis de datos de panel, el término estimador de efectos fijos (también conocido como estimador interno ) se usa para referirse a un estimador de los coeficientes en el modelo de regresión que incluye esos efectos fijos (una intersección invariante en el tiempo para cada sujeto).

Descripción cualitativa

Dichos modelos ayudan a controlar el sesgo de las variables omitidas debido a la heterogeneidad no observada cuando esta heterogeneidad es constante en el tiempo. Esta heterogeneidad se puede eliminar de los datos mediante la diferenciación, por ejemplo, restando el promedio a nivel de grupo a lo largo del tiempo, o tomando una primera diferencia que eliminará los componentes invariantes en el tiempo del modelo.

Hay dos supuestos comunes sobre el efecto específico individual: el supuesto de efectos aleatorios y el supuesto de efectos fijos. El supuesto de efectos aleatorios es que los efectos específicos de cada individuo no están correlacionados con las variables independientes. El supuesto de efectos fijos es que los efectos específicos de cada individuo están correlacionados con las variables independientes. Si se cumple el supuesto de efectos aleatorios, el estimador de efectos aleatorios es más eficiente que el estimador de efectos fijos. Sin embargo, si este supuesto no se cumple, el estimador de efectos aleatorios no es consistente . La prueba de Durbin-Wu-Hausman se utiliza a menudo para discriminar entre los modelos de efectos fijos y aleatorios.

Modelo formal y supuestos

Considere el modelo de efectos lineales no observados para observaciones y períodos de tiempo: ${\ Displaystyle N}$ ${\ Displaystyle T}$

{\ Displaystyle y_ {it} = X_ {it} \ mathbf {\ beta} + \ alpha _ {i} + u_ {it}}

para y

{\ Displaystyle t = 1, \ dots, T}

{\ Displaystyle i = 1, \ dots, N}

Dónde:

${\ Displaystyle y_ {it}}$ es la variable dependiente observada para el individuo en el momento . ${\ Displaystyle i}$ ${\ Displaystyle t}$
${\ Displaystyle X_ {it}}$ es el vector regresor variante en el tiempo (el número de variables independientes). ${\ Displaystyle 1 \ times k}$
${\ Displaystyle \ beta}$ es la matriz de parámetros. ${\ Displaystyle k \ times 1}$
${\ Displaystyle \ alpha _ {i}}$ es el efecto individual invariante en el tiempo no observado. Por ejemplo, la capacidad innata de los individuos o los factores históricos e institucionales de los países.
${\ Displaystyle u_ {it}}$ es el término de error .

A diferencia , no se puede observar directamente. ${\ Displaystyle X_ {it}}$ ${\ Displaystyle \ alpha _ {i}}$

A diferencia del modelo de efectos aleatorios donde lo inobservado es independiente de para todos , el modelo de efectos fijos (EF) permite correlacionarlo con la matriz regresora . Aún se requiere una exogeneidad estricta con respecto al término de error idiosincrásico . ${\ Displaystyle \ alpha _ {i}}$ ${\ Displaystyle X_ {it}}$ ${\ Displaystyle t = 1, ..., T}$ ${\ Displaystyle \ alpha _ {i}}$ ${\ Displaystyle X_ {it}}$ ${\ Displaystyle u_ {it}}$

Estimación estadística

Estimador de efectos fijos

Dado que no es observable, no se puede controlar directamente . El modelo FE elimina degradando las variables usando la transformación interna : ${\ Displaystyle \ alpha _ {i}}$ ${\ Displaystyle \ alpha _ {i}}$

{\ Displaystyle y_ {it} - {\ overline {y}} _ {i} = \ left (X_ {it} - {\ overline {X}} _ {i} \ right) \ beta + \ left (\ alpha _ {i} - {\ overline {\ alpha}} _ {i} \ right) + \ left (u_ {it} - {\ overline {u}} _ {i} \ right) \ implica {\ ddot {y }} _ {it} = {\ ddot {X}} _ {it} \ beta + {\ ddot {u}} _ {it}}

donde , y . ${\ Displaystyle {\ overline {y}} _ {i} = {\ frac {1} {T}} \ sum \ limits _ {t = 1} ^ {T} y_ {it}}$ ${\ Displaystyle {\ overline {X}} _ {i} = {\ frac {1} {T}} \ sum \ limits _ {t = 1} ^ {T} X_ {it}}$ ${\ Displaystyle {\ overline {u}} _ {i} = {\ frac {1} {T}} \ sum \ limits _ {t = 1} ^ {T} u_ {it}}$

Dado que es constante y , por tanto, el efecto se elimina. Luego, el estimador de EF se obtiene mediante una regresión de MCO de on . ${\ Displaystyle \ alpha _ {i}}$ ${\ Displaystyle {\ overline {\ alpha _ {i}}} = \ alpha _ {i}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ beta}} _ {FE}}$ ${\ Displaystyle {\ ddot {y}}}$ ${\ Displaystyle {\ ddot {X}}}$

Existen al menos tres alternativas a la transformación interior con variaciones.

Una es agregar una variable ficticia para cada individuo (omitiendo el primer individuo debido a la multicolinealidad ). Esto es numéricamente, pero no computacionalmente, equivalente al modelo de efectos fijos y solo funciona si la suma del número de series y el número de parámetros globales es menor que el número de observaciones. El enfoque de variable ficticia es particularmente exigente con respecto al uso de la memoria de la computadora y no se recomienda para problemas más grandes que la RAM disponible y que la compilación del programa aplicado puede acomodar. ${\ Displaystyle i> 1}$

La segunda alternativa es utilizar el enfoque de reiteraciones consecutivas para estimaciones locales y globales. Este enfoque es muy adecuado para sistemas de memoria baja en los que es mucho más eficiente desde el punto de vista computacional que el enfoque de variable ficticia.

El tercer enfoque es una estimación anidada mediante la cual la estimación local para series individuales se programa como parte de la definición del modelo. Este enfoque es el más eficiente desde el punto de vista computacional y de memoria, pero requiere habilidades de programación competentes y acceso al código de programación del modelo; aunque se puede programar incluso en SAS.

Finalmente, cada una de las alternativas anteriores puede mejorarse si la estimación específica de la serie es lineal (dentro de un modelo no lineal), en cuyo caso la solución lineal directa para series individuales se puede programar como parte de la definición del modelo no lineal.

Estimador de primera diferencia

Una alternativa a la transformación interna es la primera transformación de diferencias , que produce un estimador diferente. Para : ${\ Displaystyle t = 2, \ dots, T}$

{\ Displaystyle y_ {it} -y_ {i, t-1} = \ left (X_ {it} -X_ {i, t-1} \ right) \ beta + \ left (\ alpha _ {i} - \ alpha _ {i} \ right) + \ left (u_ {it} -u_ {i, t-1} \ right) \ implica \ Delta y_ {it} = \ Delta X_ {it} \ beta + \ Delta u_ { eso}.}

A continuación, el estimador FD se obtiene mediante una regresión de MCO de on . ${\ Displaystyle {\ hat {\ beta}} _ {FD}}$ ${\ Displaystyle \ Delta y_ {it}}$ ${\ Displaystyle \ Delta X_ {it}}$

Cuándo , los primeros estimadores de diferencia y efectos fijos son numéricamente equivalentes. Porque no lo son. Si los términos de error son homocedásticos sin correlación serial , el estimador de efectos fijos es más eficiente que el estimador de primera diferencia. Sin embargo, si sigue un recorrido aleatorio , el primer estimador de diferencias es más eficiente. ${\ Displaystyle T = 2}$ ${\ Displaystyle T> 2}$ ${\ Displaystyle u_ {it}}$ ${\ Displaystyle u_ {it}}$

Igualdad de efectos fijos y estimadores de primera diferencia cuando T = 2

Para el caso especial de dos períodos ( ), el estimador de efectos fijos (FE) y el estimador de la primera diferencia (FD) son numéricamente equivalentes. Esto se debe a que el estimador FE "duplica el conjunto de datos" utilizado en el estimador FD. Para ver esto, establezca que el estimador de efectos fijos es: ${\ Displaystyle T = 2}$ ${\ Displaystyle {FE} _ {T = 2} = \ left [(x_ {i1} - {\ bar {x}} _ {i}) (x_ {i1} - {\ bar {x}} _ {i }) '+ (x_ {i2} - {\ bar {x}} _ {i}) (x_ {i2} - {\ bar {x}} _ {i})' \ right] ^ {- 1} \ izquierda [(x_ {i1} - {\ bar {x}} _ {i}) (y_ {i1} - {\ bar {y}} _ {i}) + (x_ {i2} - {\ bar {x }} _ {i}) (y_ {i2} - {\ bar {y}} _ {i}) \ right]}$

Dado que cada uno se puede reescribir como , reescribiremos la línea como: ${\ Displaystyle (x_ {i1} - {\ bar {x}} _ {i})}$ ${\ Displaystyle (x_ {i1} - {\ dfrac {x_ {i1} + x_ {i2}} {2}}) = {\ dfrac {x_ {i1} -x_ {i2}} {2}}}$

${\ Displaystyle {FE} _ {T = 2} = \ left [\ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ dfrac {x_ {i1} -x_ {i2}} {2}} {\ dfrac { x_ {i1} -x_ {i2}} {2}} '+ {\ dfrac {x_ {i2} -x_ {i1}} {2}} {\ dfrac {x_ {i2} -x_ {i1}} {2 }} '\ right] ^ {- 1} \ left [\ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ dfrac {x_ {i1} -x_ {i2}} {2}} {\ dfrac {y_ { i1} -y_ {i2}} {2}} + {\ dfrac {x_ {i2} -x_ {i1}} {2}} {\ dfrac {y_ {i2} -y_ {i1}} {2}} \ derecho]}$

{\ displaystyle = \ left [\ sum _ {i = 1} ^ {N} 2 {\ dfrac {x_ {i2} -x_ {i1}} {2}} {\ dfrac {x_ {i2} -x_ {i1 }} {2}} '\ right] ^ {- 1} \ left [\ sum _ {i = 1} ^ {N} 2 {\ dfrac {x_ {i2} -x_ {i1}} {2}} { \ dfrac {y_ {i2} -y_ {i1}} {2}} \ right]}

{\ Displaystyle = 2 \ left [\ sum _ {i = 1} ^ {N} (x_ {i2} -x_ {i1}) (x_ {i2} -x_ {i1}) '\ right] ^ {- 1 } \ left [\ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ frac {1} {2}} (x_ {i2} -x_ {i1}) (y_ {i2} -y_ {i1}) \ right ]}

{\ Displaystyle = \ left [\ sum _ {i = 1} ^ {N} (x_ {i2} -x_ {i1}) (x_ {i2} -x_ {i1}) '\ right] ^ {- 1} \ sum _ {i = 1} ^ {N} (x_ {i2} -x_ {i1}) (y_ {i2} -y_ {i1}) = {FD} _ {T = 2}}

Método de Chamberlain

El método de Gary Chamberlain , una generalización del estimador interno, reemplaza con su proyección lineal sobre las variables explicativas. Escribiendo la proyección lineal como: ${\ Displaystyle \ alpha _ {i}}$

{\ Displaystyle \ alpha _ {i} = \ lambda _ {0} + X_ {i1} \ lambda _ {1} + X_ {i2} \ lambda _ {2} + \ dots + X_ {iT} \ lambda _ { T} + e_ {i}}

esto da como resultado la siguiente ecuación:

{\ Displaystyle y_ {it} = \ lambda _ {0} + X_ {i1} \ lambda _ {1} + X_ {i2} \ lambda _ {2} + \ dots + X_ {it} (\ lambda _ {t } + \ mathbf {\ beta}) + \ puntos + X_ {iT} \ lambda _ {T} + e_ {i} + u_ {it}}

que puede estimarse mediante estimación de distancia mínima .

Método de Hausman-Taylor

Necesita tener más de un regresor variable en el tiempo ( ) y un regresor invariante en el tiempo ( ) y al menos uno y uno que no están correlacionados con . ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle Z}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle Z}$ ${\ Displaystyle \ alpha _ {i}}$

Divida las variables y de modo que where y no estén correlacionadas con . Necesita . ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle Z}$ ${\ Displaystyle {\ begin {array} {c} X = [{\ underset {TN \ times K1} {X_ {1it}}} \ vdots {\ underset {TN \ times K2} {X_ {2it}}}] \\ Z = [{\ underset {TN \ times G1} {Z_ {1it}}} \ vdots {\ underset {TN \ times G2} {Z_ {2it}}}] \ end {array}}}$ ${\ Displaystyle X_ {1}}$ ${\ Displaystyle Z_ {1}}$ ${\ Displaystyle \ alpha _ {i}}$ ${\ Displaystyle K1> G2}$

La estimación a través de MCO sobre el uso de y como instrumentos produce una estimación coherente. ${\ Displaystyle \ gamma}$ ${\ Displaystyle {\ widehat {di}} = Z_ {i} \ gamma + \ varphi _ {it}}$ ${\ Displaystyle X_ {1}}$ ${\ Displaystyle Z_ {1}}$

Generalización con incertidumbre de entrada

Cuando hay incertidumbre de entrada para los datos, entonces se debe minimizar el valor, en lugar de la suma de los residuos al cuadrado. Esto se puede lograr directamente a partir de las reglas de sustitución: ${\ Displaystyle y}$ ${\ Displaystyle \ delta y}$ ${\ Displaystyle \ chi ^ {2}}$

{\ displaystyle {\ frac {y_ {it}} {\ delta y_ {it}}} = \ mathbf {\ beta} {\ frac {X_ {it}} {\ delta y_ {it}}} + \ alpha _ {i} {\ frac {1} {\ delta y_ {it}}} + {\ frac {u_ {it}} {\ delta y_ {it}}}}

,

luego, los valores y las desviaciones estándar para y pueden determinarse mediante el análisis clásico de mínimos cuadrados ordinarios y la matriz de varianza-covarianza . ${\ Displaystyle \ mathbf {\ beta}}$ ${\ Displaystyle \ alpha _ {i}}$

Prueba de efectos fijos (FE) frente a efectos aleatorios (RE)

Podemos probar si un modelo de efectos fijos o aleatorios es apropiado usando una prueba de Durbin-Wu-Hausman .

{\ Displaystyle H_ {0}}

:

{\ Displaystyle \ alpha _ {i} \ perp X_ {it}, Z_ {i}}

{\ Displaystyle H_ {a}}

:

{\ Displaystyle \ alpha _ {i} \ not \ perp X_ {it}, Z_ {i}}

Si es cierto, ambos y son consistentes, pero solo es eficiente. Si es cierto, es consistente y no lo es. ${\ Displaystyle H_ {0}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {\ beta}} _ {RE}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {\ beta}} _ {FE}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {\ beta}} _ {RE}}$ ${\ Displaystyle H_ {a}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {\ beta}} _ {FE}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {\ beta}} _ {RE}}$

{\ Displaystyle {\ widehat {Q}} =}

{\ displaystyle {\ widehat {\ beta}} _ {RE} - {\ widehat {\ beta}} _ {FE}}

{\ Displaystyle {\ widehat {HT}} = T {\ widehat {Q}} ^ {\ prime} [Var ({\ widehat {\ beta}} _ {FE}) - Var ({\ widehat {\ beta} } _ {RE})] ^ {- 1} {\ widehat {Q}} \ sim \ chi _ {K} ^ {2}}

dónde

{\ Displaystyle K = \ dim (Q)}

La prueba de Hausman es una prueba de especificación, por lo que un estadístico de prueba grande podría indicar que puede haber errores en las variables (EIV) o que nuestro modelo está mal especificado. Si la suposición de FE es cierta, deberíamos encontrarla . ${\ Displaystyle {\ widehat {\ beta}} _ {LD} \ approx {\ widehat {\ beta}} _ {FD} \ approx {\ widehat {\ beta}} _ {FE}}$

Una simple heurística es que si pudiera haber EIV. ${\ Displaystyle \ left \ vert {\ widehat {\ beta}} _ {LD} \ right \ vert> \ left \ vert {\ widehat {\ beta}} _ {FE} \ right \ vert> \ left \ vert { \ widehat {\ beta}} _ {FD} \ right \ vert}$

Ver también

Modelo de Poisson de efectos fijos

Notas

Referencias

Christensen, Ronald (2002). Respuestas planas a preguntas complejas: la teoría de los modelos lineales (tercera edición). Nueva York: Springer. ISBN 0-387-95361-2.
Gujarati, Damodar N .; Porter, Dawn C. (2009). "Modelos de regresión de datos de panel". Econometría básica (Quinta ed. Internacional). Boston: McGraw-Hill. págs. 591–616. ISBN 978-007-127625-2.
Hsiao, Cheng (2003). "Modelos de efectos fijos" . Análisis de datos de panel (2ª ed.). Nueva York: Cambridge University Press. págs. 95-103. ISBN 0-521-52271-4.
Wooldridge, Jeffrey M. (2013). "Estimación de efectos fijos". Econometría introductoria: un enfoque moderno (Quinta edición internacional). Mason, OH: Sudoeste. págs. 466–474. ISBN 978-1-111-53439-4.

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