Modelo mixto - Mixed model

Parte de una serie sobre
Análisis de regresión
Modelos
Regresión lineal Regresión simple Regresión polinomial Modelo linear general
Modelo lineal generalizado Elección discreta Regresión binomial Regresión binaria Regresión logística Regresión logística multinomial Logit mixto Probit Probit multinomial Logit ordenado Probit ordenado Poisson
Modelo multinivel Efectos fijos Efectos aleatorios Modelo lineal de efectos mixtos Modelo no lineal de efectos mixtos
Regresión no lineal No paramétrico Semiparamétrico Robusto Cuantil Isotónico Componentes principales Menor ángulo Local Segmentario
Errores en variables
Estimacion
Mínimos cuadrados Lineal No lineal
Ordinario Ponderado Generalizado
Parcial Total No negativo Regresión de crestas Regularizado
Desviaciones mínimas absolutas Reponderado iterativamente Bayesiano Multivariado bayesiano
Fondo
Validación de regresión Respuesta media y prevista Errores y residuales Bondad de ajuste Residuo estudentizado Teorema de Gauss-Markov
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Un modelo mixto , modelo de efectos mixtos o modelo de error-componente mixto es un modelo estadístico que contiene ambos efectos fijos y efectos aleatorios . Estos modelos son útiles en una amplia variedad de disciplinas de las ciencias físicas, biológicas y sociales. Son particularmente útiles en entornos donde se realizan mediciones repetidas en las mismas unidades estadísticas ( estudio longitudinal ), o donde las mediciones se realizan en grupos de unidades estadísticas relacionadas. Debido a su ventaja al tratar con valores perdidos, los modelos de efectos mixtos a menudo se prefieren a los enfoques más tradicionales, como el análisis de varianza de medidas repetidas .

Esta página discutirá principalmente modelos lineales de efectos mixtos (LMEM) en lugar de modelos lineales mixtos generalizados o modelos de efectos mixtos no lineales .

Historia y estado actual

Ronald Fisher introdujo modelos de efectos aleatorios para estudiar las correlaciones de valores de rasgos entre parientes. En la década de 1950, Charles Roy Henderson proporcionó las mejores estimaciones lineales insesgadas de efectos fijos y las mejores predicciones lineales insesgadas de efectos aleatorios. Posteriormente, el modelado mixto se ha convertido en un área importante de investigación estadística, incluido el trabajo en el cálculo de estimaciones de máxima verosimilitud, modelos de efectos mixtos no lineales, datos faltantes en modelos de efectos mixtos y estimación bayesiana de modelos de efectos mixtos. Los modelos mixtos se aplican en muchas disciplinas donde se realizan múltiples mediciones correlacionadas en cada unidad de interés. Se utilizan de forma destacada en investigaciones que involucran sujetos humanos y animales en campos que van desde la genética hasta el marketing, y también se han utilizado en el béisbol y las estadísticas industriales.

Definición

En notación matricial, un modelo lineal mixto se puede representar como

${\ displaystyle {\ boldsymbol {y}} = X {\ boldsymbol {\ beta}} + Z {\ boldsymbol {u}} + {\ boldsymbol {\ epsilon}}}$

dónde

• ${\ displaystyle {\ boldsymbol {y}}}$es un vector conocido de observaciones, con media ;${\ displaystyle E ({\ boldsymbol {y}}) = X {\ boldsymbol {\ beta}}}$
• ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}}}$ es un vector desconocido de efectos fijos;
• ${\ displaystyle {\ boldsymbol {u}}}$es un vector desconocido de efectos aleatorios, con media y matriz de varianza-covarianza ;${\ displaystyle E ({\ boldsymbol {u}}) = {\ boldsymbol {0}}}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {var} ({\ boldsymbol {u}}) = G}$
• ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ epsilon}}}$es un vector desconocido de errores aleatorios, con media y varianza ;${\ displaystyle E ({\ boldsymbol {\ epsilon}}) = {\ boldsymbol {0}}}$${\ Displaystyle \ operatorname {var} ({\ boldsymbol {\ epsilon}}) = R}$
• ${\ Displaystyle X}$y son matrices de diseño conocidas que relacionan las observaciones con y , respectivamente.${\ Displaystyle Z}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {y}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {u}}}$

Estimacion

La densidad conjunta de y se puede escribir como: . Suponiendo normalidad, , y , y la maximización de la densidad conjunta sobre y , da "ecuaciones del modelo mixto" de Henderson (MME) para los modelos lineales mixtos: ${\ displaystyle {\ boldsymbol {y}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {u}}}$${\ displaystyle f ({\ boldsymbol {y}}, {\ boldsymbol {u}}) = f ({\ boldsymbol {y}} | {\ boldsymbol {u}}) \, f ({\ boldsymbol {u} })}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {u}} \ sim {\ mathcal {N}} ({\ boldsymbol {0}}, G)}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ epsilon}} \ sim {\ mathcal {N}} ({\ boldsymbol {0}}, R)}$${\ displaystyle \ mathrm {Cov} ({\ boldsymbol {u}}, {\ boldsymbol {\ epsilon}}) = {\ boldsymbol {0}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {u}}}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} X'R ^ {- 1} X & X'R ^ {- 1} Z \\ Z'R ^ {- 1} X & Z'R ^ {- 1} Z + G ^ {- 1} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} {\ hat {\ boldsymbol {\ beta}}} \\ {\ hat {\ boldsymbol {u}}} \ end {pmatrix}} = {\ begin { pmatrix} X'R ^ {- 1} {\ boldsymbol {y}} \\ Z'R ^ {- 1} {\ boldsymbol {y}} \ end {pmatrix}}}$

Las soluciones para el MME, y son las mejores estimaciones y predictores lineales insesgados para y , respectivamente. Esto es una consecuencia del teorema de Gauss-Markov cuando la varianza condicional del resultado no es escalable a la matriz de identidad. Cuando se conoce la varianza condicional, la estimación de mínimos cuadrados ponderados de la varianza inversa es la mejor estimación lineal insesgada. Sin embargo, la varianza condicional rara vez, si es que alguna vez, se conoce. Por tanto, es deseable estimar conjuntamente la varianza y las estimaciones de los parámetros ponderados al resolver MME. ${\ Displaystyle \ textstyle {\ hat {\ boldsymbol {\ beta}}}}$${\ Displaystyle \ textstyle {\ hat {\ boldsymbol {u}}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {u}}}$

Un método utilizado para ajustar tales modelos mixtos es el del algoritmo de expectativa-maximización donde los componentes de la varianza se tratan como parámetros de molestia no observados en la probabilidad conjunta. Actualmente, este es el método implementado para los principales paquetes de software estadístico R (lme en el paquete nlme, o efectos mixtos lineales en el paquete lme4), Python ( paquete statsmodels ), Julia (paquete MixedModels.jl) y SAS (proc mezclado). La solución a las ecuaciones del modelo mixto es una estimación de máxima verosimilitud cuando la distribución de los errores es normal.

Ver también

• Modelo no lineal de efectos mixtos
• Modelo de efectos fijos
• Modelo mixto lineal generalizado
• Regresión lineal
• Análisis de varianza de diseño mixto
• Modelo multinivel
• Modelo de efectos aleatorios
• Diseño de medidas repetidas

Referencias

Otras lecturas

• Gałecki, Andrzej; Burzykowski, Tomasz (2013). Modelos lineales de efectos mixtos que utilizan R: un enfoque paso a paso . Nueva York: Springer. ISBN 978-1-4614-3900-4.
• Milliken, GA; Johnson, DE (1992). Análisis de datos confusos: Vol. Experimentos diseñados . Nueva York: Chapman & Hall.
• West, BT; Welch, KB; Galecki, AT (2007). Modelos lineales mixtos: una guía práctica con software estadístico . Nueva York: Chapman & Hall / CRC.