Campo fermiónico - Fermionic field

En la teoría cuántica de campos , un campo fermiónico es un campo cuántico cuyos cuantos son fermiones ; es decir, obedecen las estadísticas de Fermi-Dirac . Los campos fermiónicos obedecen a relaciones canónicas de anticonmutación más que a las relaciones canónicas de conmutación de los campos bosónicos .

El ejemplo más destacado de un campo fermiónico es el campo de Dirac, que describe fermiones con espín -1/2: electrones , protones , quarks , etc. El campo de Dirac se puede describir como un espinor de 4 componentes o como un par de 2 -componente de los espinores de Weyl. Los fermiones Spin-1/2 Majorana , como el hipotético neutralino , pueden describirse como un spinor Majorana dependiente de 4 componentes o como un solo spinor Weyl de 2 componentes. No se sabe si el neutrino es un fermión de Majorana o un fermión de Dirac ; la observación experimental de la desintegración doble beta sin neutrinos resolvería esta cuestión.

Propiedades básicas

Los campos fermiónicos libres (que no interactúan) obedecen a relaciones canónicas de anticonmutación ; es decir, involucran a los anticonmutadores { a , b } = ab + ba , en lugar de los conmutadores [ a , b ] = ab - ba de la mecánica cuántica bosónica o estándar. Esas relaciones también son válidas para los campos fermiónicos que interactúan en la imagen de interacción , donde los campos evolucionan en el tiempo como si fueran libres y los efectos de la interacción están codificados en la evolución de los estados.

Son estas relaciones de anticonmutación las que implican estadísticas de Fermi-Dirac para los cuantos de campo. También dan como resultado el principio de exclusión de Pauli : dos partículas fermiónicas no pueden ocupar el mismo estado al mismo tiempo.

Campos de Dirac

El ejemplo destacado de un campo de fermiones spin-1/2 es el campo de Dirac (llamado así por Paul Dirac ), y denotado por . La ecuación de movimiento para una partícula de espín libre 1/2 es la ecuación de Dirac , ${\ Displaystyle \ psi (x)}$

${\ Displaystyle \ left (i \ gamma ^ {\ mu} \ parcial _ {\ mu} -m \ right) \ psi (x) = 0. \,}$

donde están las matrices gamma y es la masa. Las soluciones posibles más simples para esta ecuación son las soluciones de onda plana y . Estas soluciones de onda plana forman una base para los componentes de Fourier de , lo que permite la expansión general de la función de onda de la siguiente manera, ${\ Displaystyle \ gamma ^ {\ mu}}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle \ psi (x)}$${\ Displaystyle u (p) e ^ {- ip.x} \,}$${\ Displaystyle v (p) e ^ {ip.x} \,}$${\ Displaystyle \ psi (x)}$

${\ Displaystyle \ psi _ {\ alpha} (x) = \ int {\ frac {d ^ {3} p} {(2 \ pi) ^ {3}}} {\ frac {1} {\ sqrt {2E_ {p}}}} \ sum _ {s} \ left (a _ {\ mathbf {p}} ^ {s} u _ {\ alpha} ^ {s} (p) e ^ {- ip \ cdot x} + b_ {\ mathbf {p}} ^ {s \ dagger} v _ {\ alpha} ^ {s} (p) e ^ {ip \ cdot x} \ right). \,}$

u y v son espinores, marcados por espín, S e índices espinoriales . Para el electrón, una partícula de espín 1/2, s = +1/2 o s = −1 / 2. El factor de energía es el resultado de tener una medida de integración invariante de Lorentz. En la segunda cuantificación , se promueve a un operador, por lo que los coeficientes de sus modos de Fourier también deben ser operadores. Por tanto, y son operadores. Las propiedades de estos operadores se pueden discernir a partir de las propiedades del campo. y obedecer las relaciones anticonmutación: ${\ Displaystyle \ alpha \ in \ {0,1,2,3 \}}$${\ Displaystyle \ psi (x)}$${\ Displaystyle a _ {\ mathbf {p}} ^ {s}}$${\ Displaystyle b _ {\ mathbf {p}} ^ {s \ dagger}}$${\ Displaystyle \ psi (x)}$${\ Displaystyle \ psi (y) ^ {\ dagger}}$

${\ Displaystyle \ left \ {\ psi _ {\ alpha} (\ mathbf {x}), \ psi _ {\ beta} ^ {\ dagger} (\ mathbf {y}) \ right \} = \ delta ^ { (3)} (\ mathbf {x} - \ mathbf {y}) \ delta _ {\ alpha \ beta}.}$

Imponemos una relación anticonmutador (en contraposición a una relación de conmutación como hacemos para el campo bosónico ) para hacer compatibles los operadores con las estadísticas de Fermi-Dirac . Al introducir las expansiones para y , se pueden calcular las relaciones de anticonmutación para los coeficientes. ${\ Displaystyle \ psi (x)}$${\ Displaystyle \ psi (y)}$

${\ Displaystyle \ left \ {a _ {\ mathbf {p}} ^ {r}, a _ {\ mathbf {q}} ^ {s \ dagger} \ right \} = \ left \ {b _ {\ mathbf {p} } ^ {r}, b _ {\ mathbf {q}} ^ {s \ dagger} \ right \} = (2 \ pi) ^ {3} \ delta ^ {3} (\ mathbf {p} - \ mathbf { q}) \ delta ^ {rs}, \,}$

De manera análoga a los operadores de aniquilación y creación no relativistas y sus conmutadores, estas álgebras conducen a la interpretación física que crea un fermión de cantidad de movimiento py spin s, y crea un antifermión de cantidad de movimiento q y giro r . El campo general ahora se ve como una suma ponderada (por el factor de energía) sobre todos los espines y momentos posibles para crear fermiones y antifermiones. Su campo conjugado,, es lo opuesto, una suma ponderada de todos los espines y momentos posibles para aniquilar fermiones y antifermiones. ${\ Displaystyle a _ {\ mathbf {p}} ^ {s \ dagger}}$${\ Displaystyle b _ {\ mathbf {q}} ^ {r \ dagger}}$${\ Displaystyle \ psi (x)}$${\ Displaystyle {\ overline {\ psi}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ psi ^ {\ dagger} \ gamma ^ {0}}$

Con los modos de campo entendidos y el campo conjugado definido, es posible construir cantidades invariantes de Lorentz para campos fermiónicos. El más simple es la cantidad . Esto aclara el motivo de la elección . Esto se debe a que la transformada de Lorentz general no es unitaria, por lo que la cantidad no sería invariante bajo tales transformaciones, por lo que la inclusión de es para corregir esto. La otra cantidad invariante de Lorentz distinta de cero posible , hasta una conjugación general, construible a partir de los campos fermiónicos es . ${\ Displaystyle {\ overline {\ psi}} \ psi \,}$${\ Displaystyle {\ overline {\ psi}} = \ psi ^ {\ dagger} \ gamma ^ {0}}$${\ Displaystyle \ psi}$${\ Displaystyle \ psi ^ {\ dagger} \ psi}$${\ Displaystyle \ gamma ^ {0} \,}$${\ Displaystyle {\ overline {\ psi}} \ gamma ^ {\ mu} \ parcial _ {\ mu} \ psi}$

Dado que las combinaciones lineales de estas cantidades también son invariantes de Lorentz, esto conduce naturalmente a la densidad lagrangiana para el campo de Dirac por el requisito de que la ecuación de Euler-Lagrange del sistema recupere la ecuación de Dirac.

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {D} = {\ overline {\ psi}} \ left (i \ gamma ^ {\ mu} \ parcial _ {\ mu} -m \ right) \ psi \, }$

Tal expresión tiene sus índices suprimidos. Cuando se reintroduce, la expresión completa es

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {D} = {\ overline {\ psi}} _ {a} \ left (i \ gamma _ {ab} ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} - m \ mathbb {I} _ {ab} \ right) \ psi _ {b} \,}$

La densidad (de energía ) hamiltoniana también se puede construir definiendo primero el momento conjugado canónicamente a , llamado ${\ Displaystyle \ psi (x)}$${\ Displaystyle \ Pi (x):}$

${\ Displaystyle \ Pi \ {\ overset {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}} _ {D}} {\ parcial (\ parcial _ {0} \ psi)}} = i \ psi ^ {\ dagger} \ ,.}$

Con esa definición de , la densidad hamiltoniana es: ${\ Displaystyle \ Pi}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} _ {D} = {\ overline {\ psi}} \ left [-i {\ vec {\ gamma}} \ cdot {\ vec {\ nabla}} + m \ right ] \ psi \ ,,}$

donde es el gradiente estándar de las coordenadas espaciales y es un vector de las matrices espaciales . Es sorprendente que la densidad hamiltoniana no dependa directamente de la derivada temporal de , pero la expresión es correcta. ${\ Displaystyle {\ vec {\ nabla}}}$${\ Displaystyle {\ vec {\ gamma}}}$${\ Displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle \ psi}$

Dada la expresión para podemos construir el propagador de Feynman para el campo de fermiones: ${\ Displaystyle \ psi (x)}$

${\ Displaystyle D_ {F} (xy) = \ left \ langle 0 \ left | T (\ psi (x) {\ overline {\ psi}} (y)) \ right | 0 \ right \ rangle}$

definimos el producto ordenado por tiempo para fermiones con un signo menos debido a su naturaleza anticonmutación

${\ Displaystyle T \ left [\ psi (x) {\ overline {\ psi}} (y) \ right] \ {\ overset {\ text {def}} {=}} \ \ theta \ left (x ^ { 0} -y ^ {0} \ right) \ psi (x) {\ overline {\ psi}} (y) - \ theta \ left (y ^ {0} -x ^ {0} \ right) {\ overline {\ psi}} (y) \ psi (x).}$

Conectando nuestra expansión de onda plana para el campo de fermiones en la ecuación anterior, se obtiene:

${\ Displaystyle D_ {F} (xy) = \ int {\ frac {d ^ {4} p} {(2 \ pi) ^ {4}}} {\ frac {i ({p \! \! \! /} + m)} {p ^ {2} -m ^ {2} + i \ epsilon}} e ^ {- ip \ cdot (xy)}}$

donde hemos empleado la notación de barra de Feynman . Este resultado tiene sentido ya que el factor

${\ Displaystyle {\ frac {i ({p \! \! \! /} + m)} {p ^ {2} -m ^ {2}}}}$

es la inversa del operador que actúa en la ecuación de Dirac. Tenga en cuenta que el propagador de Feynman para el campo de Klein-Gordon tiene esta misma propiedad. Dado que todos los observables razonables (como energía, carga, número de partículas, etc.) se construyen a partir de un número par de campos de fermiones, la relación de conmutación desaparece entre dos observables cualesquiera en puntos del espacio-tiempo fuera del cono de luz. Como sabemos por la mecánica cuántica elemental, se pueden medir simultáneamente dos observables que se conmutan simultáneamente. Por lo tanto, hemos implementado correctamente la invariancia de Lorentz para el campo de Dirac y hemos conservado la causalidad . ${\ Displaystyle \ psi (x)}$

Las teorías de campo más complicadas que involucran interacciones (como la teoría de Yukawa o la electrodinámica cuántica ) también pueden analizarse mediante varios métodos perturbativos y no perturbativos.

Los campos de Dirac son un ingrediente importante del modelo estándar .

Ver también

• Ecuación de Dirac
• Teorema de estadística de espín
• Spinor

Referencias

• Edwards, D. (1981). "Los fundamentos matemáticos de la teoría cuántica de campos: fermiones, campos de calibre y supersimetría, parte I: teorías de campo de celosía". En t. J. Theor. Phys . 20 (7): 503–517. Código bibliográfico : 1981IJTP ... 20..503E . doi : 10.1007 / BF00669437 .
• Peskin, M y Schroeder, D. (1995). Introducción a la teoría cuántica de campos , Westview Press. (Consulte las páginas 35–63.)
• Srednicki, Mark (2007). Teoría cuántica de campos , Cambridge University Press, ISBN   978-0-521-86449-7 .
• Weinberg, Steven (1995). The Quantum Theory of Fields , (3 volúmenes) Cambridge University Press.