Distribución elíptica - Elliptical distribution

En probabilidad y estadística , una distribución elíptica es cualquier miembro de una amplia familia de distribuciones de probabilidad que generalizan la distribución normal multivariada . Intuitivamente, en el caso simplificado de dos y tres dimensiones, la distribución conjunta forma una elipse y un elipsoide, respectivamente, en gráficos de isodensidad.

En estadística , la distribución normal se usa en el análisis multivariado clásico , mientras que las distribuciones elípticas se usan en el análisis multivariado generalizado , para el estudio de distribuciones simétricas con colas que son pesadas , como la distribución t multivariada , o ligeras (en comparación con la distribución normal). distribución). Algunos métodos estadísticos que originalmente fueron motivados por el estudio de la distribución normal tienen un buen desempeño para distribuciones elípticas generales (con varianza finita), particularmente para distribuciones esféricas (que se definen a continuación). Las distribuciones elípticas también se utilizan en estadísticas sólidas para evaluar los procedimientos estadísticos multivariados propuestos.

Definición

Las distribuciones elípticas se definen en términos de la función característica de la teoría de la probabilidad. Un vector aleatorio en un espacio euclidiano tiene una distribución elíptica si su función característica satisface la siguiente ecuación funcional (para cada vector columna ) ${\displaystyle X}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle t}$

${\displaystyle \phi _{X-\mu }(t)=\psi (t'\Sigma t)}$

para algún parámetro de ubicación , alguna matriz definida no negativa y alguna función escalar . La definición de distribuciones elípticas para vectores aleatorios reales se ha ampliado para acomodar vectores aleatorios en espacios euclidianos sobre el campo de números complejos , lo que facilita las aplicaciones en el análisis de series de tiempo . Hay métodos computacionales disponibles para generar vectores pseudoaleatorios a partir de distribuciones elípticas, para su uso en simulaciones de Monte Carlo, por ejemplo. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \psi }$

Algunas distribuciones elípticas se definen alternativamente en términos de sus funciones de densidad . Una distribución elíptica con una función de densidad f tiene la forma:

${\displaystyle f(x)=k\cdot g((x-\mu )'\Sigma ^{-1}(x-\mu ))}$

donde es la constante de normalización , es un vector aleatorio -dimensional con vector mediano (que también es el vector medio si el último existe), y es una matriz definida positiva que es proporcional a la matriz de covarianza si existe este último. ${\displaystyle k}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \Sigma }$

Ejemplos de

Los ejemplos incluyen las siguientes distribuciones de probabilidad multivariante:

• Distribución normal multivariante
• Multivariante t -distribución
• Distribución estable simétrica multivariante
• Distribución de Laplace simétrica multivariante
• Distribución logística multivariante
• Distribución hiperbólica general simétrica multivariante

Propiedades

En el caso bidimensional, si la densidad existe, cada locus de isodensidad (el conjunto de x ₁ , x ₂ pares que dan un valor particular de ) es una elipse o una unión de elipses (de ahí el nombre distribución elíptica). Más generalmente, para n arbitrario , los loci de isodensidad son uniones de elipsoides . Todos estos elipsoides o elipses tienen el centro común μ y son copias escaladas (homotetas) entre sí. ${\displaystyle f(x)}$

La distribución normal multivariante es el caso especial en el que . Mientras que la normal multivariante no está acotada (cada elemento de puede tomar valores positivos o negativos arbitrariamente grandes con una probabilidad distinta de cero, porque para todas las no negativas ), en general las distribuciones elípticas pueden ser acotadas o no acotadas; dicha distribución está acotada si para todo mayor que algún valor. ${\displaystyle g(z)=e^{-z/2}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle e^{-z/2}>0}$${\displaystyle z}$${\displaystyle g(z)=0}$${\displaystyle z}$

Existen distribuciones elípticas que tienen media indefinida , como la distribución de Cauchy (incluso en el caso univariante). Debido a que la variable x entra en la función de densidad de forma cuadrática, todas las distribuciones elípticas son simétricas sobre${\displaystyle \mu .}$

Si dos subconjuntos de un vector aleatorio conjuntamente elíptico no están correlacionados , entonces, si sus medias existen, son medias independientes entre sí (la media de cada subvector condicionada al valor del otro subvector es igual a la media incondicional).

Si el vector aleatorio X está distribuido elípticamente, entonces también lo está DX para cualquier matriz D con rango de fila completo . Por tanto, cualquier combinación lineal de los componentes de X es elíptica (aunque no necesariamente con la misma distribución elíptica), y cualquier subconjunto de X es elíptico.

Aplicaciones

Las distribuciones elípticas se utilizan en estadística y en economía.

En economía matemática, las distribuciones elípticas se han utilizado para describir carteras en finanzas matemáticas .

Estadísticas: análisis multivariado generalizado

En estadística, la multivariado normal de distribución (de Gauss) se utiliza en clásico análisis multivariado , en el que están motivados mayoría de los métodos para la estimación y prueba de hipótesis para la distribución normal. A diferencia del análisis multivariado clásico, el análisis multivariado generalizado se refiere a la investigación sobre distribuciones elípticas sin la restricción de la normalidad.

Para distribuciones elípticas adecuadas, algunos métodos clásicos siguen teniendo buenas propiedades. Bajo supuestos de varianza finita, se cumple una extensión del teorema de Cochran (sobre la distribución de formas cuadráticas).

Distribución esférica

Una distribución elíptica con media cero y varianza en la forma donde está la matriz identidad se llama distribución esférica . Para las distribuciones esféricas, se han ampliado los resultados clásicos sobre la validez de la estimación de parámetros y la prueba de hipótesis. Resultados similares son válidos para modelos lineales y, de hecho, también para modelos complicados (especialmente para el modelo de curva de crecimiento ). El análisis de modelos multivariados utiliza álgebra multilineal (particularmente productos de Kronecker y vectorización ) y cálculo de matrices . ${\displaystyle \alpha I}$${\displaystyle I}$

Estadísticas sólidas: asintóticas

Otro uso de las distribuciones elípticas es en estadísticas robustas , en las que los investigadores examinan cómo se desempeñan los procedimientos estadísticos en la clase de distribuciones elípticas, para obtener información sobre el desempeño de los procedimientos en problemas aún más generales, por ejemplo, mediante el uso de la teoría limitante de la estadística (" asintóticos ").

Economía y Finanzas

Las distribuciones elípticas son importantes en la teoría de carteras porque, si los rendimientos de todos los activos disponibles para la formación de carteras se distribuyen conjuntamente de forma elíptica, todas las carteras se pueden caracterizar completamente por su ubicación y escala, es decir, dos carteras cualesquiera con idéntica ubicación y escala de cartera. rendimiento tienen distribuciones idénticas del rendimiento de la cartera. Varias características del análisis de cartera, incluidos los teoremas de separación de fondos mutuos y el Modelo de fijación de precios de activos de capital , son válidos para todas las distribuciones elípticas.

Notas

Referencias

Otras lecturas