Funciones elípticas de Dixon - Dixon elliptic functions

Las funciones elípticas de Dixon cm, sm aplicadas a un argumento de valor real x . Ambas funciones son periódicas con período real

{\ Displaystyle \ pi _ {3} \ aproximadamente 5.29991625}

En matemáticas, las funciones elípticas de Dixon sm y cm son dos funciones elípticas ( funciones meromórficas doblemente periódicas en el plano complejo ) que se asignan desde cada hexágono regular en un mosaico hexagonal hasta el plano complejo completo. Debido a que estas funciones satisfacen la identidad , como funciones reales parametrizan la curva cúbica de Fermat , así como las funciones trigonométricas seno y coseno parametrizan el círculo unitario . ${\ Displaystyle \ operatorname {cm} ^ {3} z + \ operatorname {sm} ^ {3} z = 1}$ ${\ Displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} = 1}$ ${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$

Fueron nombrados sm y cm por Alfred Dixon en 1890, por analogía con las funciones trigonométricas seno y coseno y las funciones elípticas de Jacobi sn y cn; Göran Dillner los describió a principios de 1873.

Definición

Las funciones sm y cm se pueden definir como las soluciones al problema del valor inicial :

{\ Displaystyle {\ frac {d} {dz}} \ operatorname {cm} z = - \ operatorname {sm} ^ {2} z, \ {\ frac {d} {dz}} \ operatorname {sm} z = \ operatorname {cm} ^ {2} z, \ \ operatorname {cm} (0) = 1, \ \ operatorname {sm} (0) = 0}

O como la inversa del mapeo de Schwarz-Christoffel del disco unitario complejo a un triángulo equilátero, la integral abeliana :

{\ Displaystyle z = \ int _ {0} ^ {\ operatorname {sm} z} {\ frac {dw} {(1-w ^ {3}) ^ {2/3}}} = \ int _ {\ nombre de operador {cm} z} ^ {1} {\ frac {dw} {(1-w ^ {3}) ^ {2/3}}}}

Parametrización de la curva de Fermat cúbica

La función parametriza la curva de Fermat cúbica, con el área del sector igual a la mitad del argumento .

{\ Displaystyle t \ mapsto (\ operatorname {cm} t, \ operatorname {sm} t)}

{\ Displaystyle t}

Tanto sm como cm tienen un período a lo largo del eje real de con la función beta : ${\ Displaystyle \ pi _ {3} = \ mathrm {B} {\ bigl (} {\ tfrac {1} {3}}, {\ tfrac {1} {3}} {\ bigr)} \ approx 5.29991625}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {B}}$

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ tfrac {1} {3}} \ pi _ {3} & = \ int _ {- \ infty} ^ {0} {\ frac {dx} {(1-x ^ {3}) ^ {2/3}}} = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {dx} {(1-x ^ {3}) ^ {2/3}}} = \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {(1-x ^ {3}) ^ {2/3}}} \\ [8mu] & \ approx 1.76663875 \ end {alineado}}}

Satisfacen la identidad . La función paramétrica parametriza la cúbica curva de Fermat con que representa el área firmado se extiende entre el segmento desde el origen hasta , el segmento desde el origen hasta , y la curva de Fermat, análoga a la relación entre el argumento de las funciones trigonométricas y el área de una sector del círculo unitario. Para ver por qué, aplique el teorema de Green : ${\ Displaystyle \ operatorname {cm} ^ {3} z + \ operatorname {sm} ^ {3} z = 1}$ ${\ Displaystyle t \ mapsto (\ operatorname {cm} t, \, \ operatorname {sm} t),}$ ${\ Displaystyle t \ in {\ bigl [} {- {\ tfrac {1} {3}}} \ pi _ {3}, {\ tfrac {2} {3}} \ pi _ {3} {\ bigr ]}}$ ${\ Displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} = 1,}$ ${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} t}$ ${\ Displaystyle (1, \, 0)}$ ${\ Displaystyle (\ operatorname {cm} t, \, \ operatorname {sm} t)}$

{\ displaystyle A = {\ tfrac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {t} (x \ mathop {dy} -y \ mathop {dx}) = {\ tfrac {1} {2} } \ int _ {0} ^ {t} (\ operatorname {cm} ^ {3} t + \ operatorname {sm} ^ {3} t) \ mathop {dt} = {\ tfrac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {t} dt = {\ tfrac {1} {2}} t.}

Tenga en cuenta que el área entre y se puede dividir en tres partes, cada una de las siguientes áreas : ${\ Displaystyle x + y = 0}$ ${\ Displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} = 1}$ ${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {6}} \ pi _ {3}}$

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ tfrac {1} {2}} \ pi _ {3} & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ bigl (} (1-x ^ {3}) ^ {1/3} + x {\ bigr)} \ mathop {dx} \\ [8mu] {\ tfrac {1} {6}} \ pi _ {3} & = \ int _ {- \ infty} ^ {0} {\ bigl (} (1-x ^ {3}) ^ {1/3} + x {\ bigr)} \ mathop {dx} = \ int _ {0} ^ {1} (1-x ^ {3}) ^ {1/3} \ mathop {dx}. \ End {alineado}}}

Simetrías

La función tiene ceros en los puntos de valor complejo para cualquier números enteros y , cuando es un cubo de la raíz de la unidad , (es decir, es un número entero Eisenstein ). La función tiene ceros en los puntos con valores complejos . Ambas funciones tienen polos en los puntos de valor complejo . ${\ Displaystyle \ operatorname {sm} z}$ ${\ Displaystyle z = {\ tfrac {1} {\ sqrt {3}}} \ pi _ {3} i (a + b \ omega)}$ ${\ Displaystyle a}$ ${\ Displaystyle b}$ ${\ Displaystyle \ omega}$ ${\ Displaystyle \ omega = \ exp {\ tfrac {2} {3}} i \ pi = - {\ tfrac {1} {2}} + {\ tfrac {\ sqrt {3}} {2}} i}$ ${\ Displaystyle a + b \ omega}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {cm} z}$ ${\ Displaystyle z = {\ tfrac {1} {3}} \ pi _ {3} + {\ tfrac {1} {\ sqrt {3}}} \ pi _ {3} i (a + b \ omega) }$ ${\ Displaystyle z = - {\ tfrac {1} {3}} \ pi _ {3} + {\ tfrac {1} {\ sqrt {3}}} \ pi _ {3} i (a + b \ omega )}$

Reflexiones, rotaciones y traslaciones fundamentales

{\ Displaystyle \ operatorname {cm} {\ bar {z}} = {\ overline {\ operatorname {cm} z}}}

{\ Displaystyle \ operatorname {sm} {\ bar {z}} = {\ overline {\ operatorname {sm} z}}}

{\ Displaystyle \ operatorname {cm} (-z) = {\ frac {1} {\ operatorname {cm} z}} = \ operatorname {sm} {\ bigl (} z + {\ tfrac {1} {3}} \ pi _ {3} {\ bigr)}}

{\ Displaystyle \ operatorname {sm} (-z) = - {\ frac {\ operatorname {sm} z} {\ operatorname {cm} z}} = {\ frac {1} {\ operatorname {sm} {\ bigl (} z - {\ tfrac {1} {3}} \ pi _ {3} {\ bigr)}}} = \ operatorname {cm} {\ bigl (} z + {\ tfrac {1} {3}} \ pi _ {3} {\ bigr)}}

{\ Displaystyle \ operatorname {cm} \ omega z = \ operatorname {cm} z = \ operatorname {cm} \ omega ^ {2} z}

{\ Displaystyle \ operatorname {sm} \ omega z = \ omega \ operatorname {sm} z = \ omega ^ {2} \ operatorname {sm} \ omega ^ {2} z}

{\ Displaystyle \ operatorname {cm} {\ bigl (} z + \ pi _ {3} (a + b \ omega) {\ bigr)} = \ operatorname {cm} z}

{\ Displaystyle \ operatorname {sm} {\ bigl (} z + \ pi _ {3} (a + b \ omega) {\ bigr)} = \ operatorname {sm} z,}

donde es cualquier número entero de Eisenstein.

{\ Displaystyle a + b \ omega}

Valores específicos

{\ Displaystyle \ operatorname {cm} {\ bigl (} {- {\ tfrac {1} {3}}} \ pi _ {3} {\ bigr)} = \ operatorname {sm} {\ bigl (} {- {\ tfrac {1} {3}}} \ pi _ {3} {\ bigr)} = \ infty}

{\ Displaystyle \ operatorname {cm} (0) = \ operatorname {sm} {\ bigl (} {\ tfrac {1} {3}} \ pi _ {3} {\ bigr)} = 1}

{\ Displaystyle \ operatorname {cm} {\ bigl (} {\ tfrac {1} {3}} \ pi _ {3} {\ bigr)} = \ operatorname {sm} (0) = 0}

{\ Displaystyle \ operatorname {cm} {\ bigl (} {\ tfrac {1} {2}} \ pi _ {3} {\ bigr)} = \ operatorname {sm} {\ bigl (} {- {\ tfrac {1} {6}}} \ pi _ {3} {\ bigr)} = - 1}

{\ Displaystyle \ operatorname {cm} {\ bigl (} {\ tfrac {1} {6}} \ pi _ {3} {\ bigr)} = \ operatorname {sm} {\ bigl (} {\ tfrac {1 } {6}} \ pi _ {3} {\ bigr)} = 2 ^ {- 1/3}}

{\ Displaystyle \ operatorname {cm} {\ bigl (} {- {\ tfrac {1} {6}}} \ pi _ {3} {\ bigr)} = \ operatorname {sm} {\ bigl (} {\ tfrac {1} {2}} \ pi _ {3} {\ bigr)} = 2 ^ {1/3}}

Identidades de suma y diferencia

Las funciones elípticas de Dixon satisfacen las identidades de suma y diferencia del argumento:

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ operatorname {cm} (u + v) & = {\ frac {\ operatorname {sm} u \, \ operatorname {cm} u- \ operatorname {sm} v \, \ operatorname {cm} v} {\ operatorname {sm} u \, \ operatorname {cm} ^ {2} v- \ operatorname {cm} ^ {2} u \, \ operatorname {sm} v}} \\ [8mu] \ operatorname {cm} (uv) & = {\ frac {\ operatorname {cm} ^ {2} u \, \ operatorname {cm} v- \ operatorname {sm} u \, \ operatorname {sm} ^ {2} v} {\ operatorname {cm} u \, \ operatorname {cm} ^ {2} v- \ operatorname {sm} ^ {2} u \, \ operatorname {sm} v}} \\ [8mu] \ operatorname { sm} (u + v) & = {\ frac {\ operatorname {sm} ^ {2} u \, \ operatorname {cm} v- \ operatorname {cm} u \, \ operatorname {sm} ^ {2} v } {\ operatorname {sm} u \, \ operatorname {cm} ^ {2} v- \ operatorname {cm} ^ {2} u \, \ operatorname {sm} v}} \\ [8mu] \ operatorname {sm } (uv) & = {\ frac {\ operatorname {sm} u \, \ operatorname {cm} u- \ operatorname {sm} v \, \ operatorname {cm} v} {\ operatorname {cm} u \, \ nombre de operador {cm} ^ {2} v- \ nombre de operador {sm} ^ {2} u \, \ nombre de operador {sm} v}} \ end {alineado}}}

Expansión de la serie Power

Los coeficientes y las expansiones de las series de potencias ${\ Displaystyle c_ {n}}$ ${\ Displaystyle s_ {n}}$

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ operatorname {cm} z & = c_ {0} + c_ {1} z ^ {3} + c_ {2} z ^ {6} + c_ {3} z ^ {9} + \ cdots + c_ {n} z ^ {3n} + \ cdots \\ [4mu] \ operatorname {sm} z & = s_ {0} z + s_ {1} z ^ {4} + s_ {2} z ^ {7} + s_ {3} z ^ {10} + \ cdots + s_ {n} z ^ {3n + 1} + \ cdots \ end {alineado}}}

satisfacer la recurrencia ${\ Displaystyle c_ {0} = s_ {0} = 1,}$

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} c_ {n} & = - {\ frac {1} {3n}} \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} s_ {k} s_ {n-1- k} \\ [4mu] s_ {n} & = {\ frac {1} {3n + 1}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} c_ {k} c_ {nk} \ end {alineado} }}

Estas recurrencias dan como resultado:

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ operatorname {cm} z & = 1 - {\ frac {1} {3}} z ^ {3} + {\ frac {1} {18}} z ^ {6} - {\ frac {23} {2268}} z ^ {9} + {\ frac {25} {13608}} z ^ {12} - {\ frac {619} {1857492}} z ^ {15} + \ cdots \\ [8mu] \ operatorname {sm} z & = z - {\ frac {1} {6}} z ^ {4} + {\ frac {2} {63}} z ^ {7} - {\ frac { 13} {2268}} z ^ {10} + {\ frac {23} {22113}} z ^ {13} - {\ frac {2803} {14859936}} z ^ {16} + \ cdots \ end {alineado }}}

Expresión usando una función elíptica de Weierstrass

Curva elíptica para la función ℘ de Weierstrass relacionada con las funciones elípticas de Dixon.

{\ Displaystyle y ^ {2} = 4x ^ {2} - {\ tfrac {1} {27}}}

{\ Displaystyle z \ mapsto \ wp {\ bigl (} z; 0, {\ tfrac {1} {27}} {\ bigr)}}

La función elíptica equianarmónica de Weierstrass con rejilla y una escala de los enteros de Eisenstein, se puede definir como: ${\ Displaystyle \ wp (z) = \ wp {\ bigl (} z; 0, {\ tfrac {1} {27}} {\ bigr)},}$ ${\ Displaystyle \ Lambda = \ pi _ {3} \ mathbb {Z} \ oplus \ pi _ {3} \ omega \ mathbb {Z}}$

{\ Displaystyle \ wp (z) = {\ frac {1} {z ^ {2}}} + \ sum _ {\ lambda \ in \ Lambda \ setminus \ {0 \}} \! \ left ({\ frac {1} {(z- \ lambda) ^ {2}}} - {\ frac {1} {\ lambda ^ {2}}} \ right)}

La función resuelve la ecuación diferencial: ${\ Displaystyle \ wp (z)}$

{\ Displaystyle \ wp '(z) ^ {2} = 4 \ wp (z) ^ {3} - {\ tfrac {1} {27}}}

También podemos escribirlo como el inverso de la integral:

{\ Displaystyle z = \ int _ {\ infty} ^ {\ wp (z)} {\ frac {dw} {\ sqrt {4w ^ {3} - {\ tfrac {1} {27}}}}}}

En términos de , las funciones elípticas de Dixon se pueden escribir: ${\ Displaystyle \ wp (z)}$

{\ Displaystyle \ operatorname {cm} z = {\ frac {3 \ wp '(z) +1} {3 \ wp' (z) -1}}, \ \ operatorname {sm} z = {\ frac {- 6 \ wp (z)} {3 \ wp '(z) -1}}}

Asimismo, la función elíptica de Weierstrass se puede escribir en términos de funciones elípticas de Dixon: ${\ Displaystyle \ wp (z) = \ wp {\ bigl (} z; 0, {\ tfrac {1} {27}} {\ bigr)}}$

{\ Displaystyle \ wp '(z) = {\ frac {\ operatorname {cm} z + 1} {3 (\ operatorname {cm} z-1)}}, \ \ wp (z) = {\ frac {- \ operatorname {sm} z} {3 (\ operatorname {cm} z-1)}}}

Proyecciones de mapas del mundo

Una proyección cartográfica conforme del globo terráqueo en un octaedro. Debido a que el octaedro tiene caras de triángulos equiláteros, esta proyección se puede describir en términos de funciones sm y cm.

Las funciones elípticas de Dixon son mapas conformes desde un triángulo equilátero a un disco y, por lo tanto, son útiles para construir proyecciones cartográficas conformes que involucran triángulos equiláteros, por ejemplo, proyectando la esfera sobre un triángulo, hexágono, tetraedro , octaedro o icosaedro.

Trigonometría generalizada

Varias definiciones de funciones trigonométricas generalizadas incluyen el seno y coseno trigonométricos habituales como un caso, y las funciones sm y cm como un caso. ${\ Displaystyle n = 2}$ ${\ Displaystyle n = 3}$

Por ejemplo, definir y las inversas de una integral: ${\ Displaystyle \ pi _ {n} = \ mathrm {B} {\ bigl (} {\ tfrac {1} {n}}, {\ tfrac {1} {n}} {\ bigr)}}$ ${\ Displaystyle \ sin _ {n} z, \, \ cos _ {n} z}$

{\ Displaystyle z = \ int _ {0} ^ {\ sin _ {n} z} {\ frac {dw} {(1-w ^ {n}) ^ {(n-1) / n}}} = \ int _ {\ cos _ {n} z} ^ {1} {\ frac {dw} {(1-w ^ {n}) ^ {(n-1) / n}}}}

El área en el cuadrante positivo debajo de la curva es ${\ Displaystyle x ^ {n} + y ^ {n} = 1}$

{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} (1-x ^ {n}) ^ {1 / n} \ mathop {dx} = {\ frac {\ pi _ {n}} {2n}}}

.

Ver también

enlaces externos

Desmos parcelas:
- Funciones elípticas de Dixon de valor real https://www.desmos.com/calculator/5s4gdcnxh2 .
- Parametrización de la curva de Fermat cúbica, https://www.desmos.com/calculator/elqqf4nwas
Páginas de la Enciclopedia en línea de secuencias de enteros
:
- “Coeficiente de x ^ (3n + 1) / (3n + 1)! en la expansión de Maclaurin de la función elíptica de Dixon sm (x, 0) ". https://oeis.org/A104133
- “Coeficiente de x ^ (3n) / (3n)! en la expansión de Maclaurin de la función elíptica de Dixon cm (x, 0) ”. https://oeis.org/A104134
- "Pi (3): período real fundamental de las funciones elípticas dixonianas sm (z) y cm (z)". https://oeis.org/A197374
Debates de Mathematics Stack Exchange :
- "Activado , las funciones elípticas de Dixonian y las funciones theta cúbicas de Borwein", https://math.stackexchange.com/questions/2090523/ ${\ Displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} = z ^ {3}}$
- "Funciones doblemente periódicas como teselaciones (distintas de paralelogramos)", https://math.stackexchange.com/questions/35671/

Notas

Referencias

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