Principio del diamante - Diamond principle

En matemáticas , y particularmente en la teoría de conjuntos axiomáticos , el principio de diamante ◊ es un principio combinatorio introducido por Ronald Jensen en Jensen (1972) que se mantiene en el universo construible ( L ) y que implica la hipótesis del continuo . Jensen extrajo el principio del diamante de su prueba de que el axioma de constructibilidad ( V = L ) implica la existencia de un árbol de Suslin .

Definiciones

El principio del diamante ◊ dice que existe un ◊-secuencia , en otras palabras, establece A _α ⊆ α para α < ω ₁ tal que para cualquier subconjunto A deω ₁ el conjunto de α con A ∩ α = A _α esestacionarioen ω ₁ .

Hay varias formas equivalentes del principio del diamante. Uno establece que hay una colección contable A _α de subconjuntos de α para cada ordinal numerable α tal que para cualquier subconjunto A de ω ₁ hay un subconjunto estacionario C de ω ₁ tal que para todo α en C tenemos A ∩ α ∈ A _α y C ∩ α ∈ A _α . Otra forma equivalente establece que existen conjuntos A _α ⊆ α para α < ω ₁ tal que para cualquier subconjunto A de ω ₁ hay al menos un α infinito con A ∩ α = A _α .

Más en general, para un determinado número cardinal κ y un conjunto estacionario S ⊆ κ , la declaración ◊ _S (a veces escrito ◊ ( S ) o ◊ _κ ( S ) ) es la afirmación de que hay una secuencia ⟨ A _α  : α ∈ S ⟩ Tal que

• cada A _α ⊆ α
• para cada A ⊆ κ , { α ∈ S  : A ∩ α = A _α } es estacionario en κ

El principio ◊ _{ω 1} es el mismo que ◊ .

El principio de diamante más ◊ ⁺ establece que existe una secuencia ◊ ⁺ , en otras palabras, una colección contable A _α de subconjuntos de α para cada α ordinal contable de manera que para cualquier subconjunto A de ω ₁ hay un subconjunto C cerrado e ilimitado. de ω ₁ tal que para todo α en C tenemos A ∩ α ∈ A _α y C ∩ α ∈ A _α .

Propiedades y uso

Jensen (1972) mostró que el principio del diamante ◊ implica la existencia de árboles de Suslin . También mostró que V = L implica el principio del diamante más, que implica el principio del diamante, que implica CH . En particular, el principio del diamante y el principio del diamante más son independientes de los axiomas de ZFC. También ♣ + CH implica ◊ , pero Shelah dio modelos de ♣ + ¬ CH , por lo que ◊ y ♣ no son equivalentes (más bien, ♣ es más débil que ◊ ).

El principio del diamante ◊ no implica la existencia de un árbol Kurepa , pero el principio ◊ ⁺ más fuerte implica tanto el principio ◊ como la existencia de un árbol Kurepa.

Akemann y Weaver (2004) utilizado ◊ para construir una C * álgebra que actúa como un contraejemplo a un problema de Naimark .

Para todos los cardinales κ y subconjuntos estacionarios S ⊆ κ ⁺ , ◊ _{S se} cumple en el universo construible . Shelah (2010) demostró que para κ > ℵ ₀ , ◊ _{κ ⁺} ( S ) se sigue de 2 ^κ = κ ⁺ para S estacionario que no contienen ordinales de cofinalidad κ .

Shelah demostró que el principio del diamante resuelve el problema de Whitehead al implicar que todos los grupos de Whitehead son libres.

Ver también

• Lista de declaraciones independientes de ZFC
• Declaraciones verdaderas en L

Referencias