Lista de declaraciones independientes de ZFC - List of statements independent of ZFC

Los enunciados matemáticos que se discuten a continuación son demostrablemente independientes de ZFC (la teoría canónica de conjuntos axiomáticos de las matemáticas contemporáneas, que consta de los axiomas de Zermelo-Fraenkel más el axioma de elección ), asumiendo que ZFC es consistente . Una declaración es independiente de ZFC (a veces expresada como "indecidible en ZFC") si no se puede probar ni refutar a partir de los axiomas de ZFC.

Teoría de conjuntos axiomáticos

En 1931, Kurt Gödel demostró el primer resultado de independencia de ZFC, a saber, que la consistencia de ZFC en sí era independiente de ZFC ( el segundo teorema de incompletitud de Gödel ).

Las siguientes declaraciones son independientes de ZFC, entre otras:

  • la consistencia de ZFC;
  • la hipótesis del continuo o CH (Gödel produjo un modelo de ZFC en el que CH es verdadero, mostrando que CH no puede ser refutado en ZFC; Paul Cohen inventó más tarde el método de forzar a exhibir un modelo de ZFC en el que CH falla, mostrando que CH no puede ser probado en ZFC. Los siguientes cuatro resultados de independencia también se deben a Gödel / Cohen.);
  • la hipótesis del continuo generalizado (GCH);
  • un enunciado independiente relacionado es que si un conjunto x tiene menos elementos que y , entonces x también tiene menos subconjuntos que y . En particular, esta afirmación falla cuando las cardinalidades de los grupos eléctricos de x e y coinciden;
  • el axioma de constructibilidad ( V = L );
  • el principio del diamante (◊);
  • Axioma de Martin (MA);
  • MA + ¬CH (independencia mostrada por Solovay y Tennenbaum ).
Diagrama que muestra las cadenas de implicaciones

Tenemos las siguientes cadenas de implicaciones:

V = L → ◊ → CH,
V = L → GCH → CH,
CH → MA,

y (ver sección sobre teoría de órdenes):

◊ → ¬ SH ,
MA + ¬CH → COME → SH.

Varias declaraciones relacionadas con la existencia de grandes cardenales no pueden probarse en ZFC (asumiendo que ZFC es consistente). Estos son independientes de ZFC siempre que sean consistentes con ZFC, que la mayoría de los teóricos de conjuntos de trabajo creen que es el caso. Estas declaraciones son lo suficientemente fuertes como para implicar la consistencia de ZFC. Esto tiene la consecuencia (a través del segundo teorema de incompletitud de Gödel ) que su consistencia con ZFC no se puede probar en ZFC (asumiendo que ZFC es consistente). Las siguientes declaraciones pertenecen a esta clase:

Se puede demostrar que las siguientes declaraciones son independientes de ZFC asumiendo la consistencia de un gran cardenal adecuado:

Teoría de conjuntos de la línea real

Hay muchos invariantes cardinales de la línea real, conectados con la teoría de la medida y enunciados relacionados con el teorema de la categoría de Baire , cuyos valores exactos son independientes de ZFC. Si bien se pueden demostrar relaciones no triviales entre ellos, la mayoría de los invariantes cardinales pueden ser cualquier cardinal regular entre 1 y 2 0 . Ésta es un área importante de estudio en la teoría de conjuntos de la línea real (ver diagrama de Cichon ). MA tiene una tendencia a establecer invariantes cardinales más interesantes iguales a 2 0 .

Un subconjunto X de la línea real es un conjunto cero de medida fuerte si para cada secuencia ( ε n ) de reales positivos existe una secuencia de intervalos ( I n ) que cubre X y tal que I n tiene una longitud como máximo ε n . La conjetura de Borel, que todo conjunto de ceros de medida fuerte es contable, es independiente de ZFC.

Un subconjunto X de la línea real es -dense si cada intervalo abierto contiene elementos -muchos de X . Si todos los conjuntos densos son de orden isomórfico es independiente de ZFC.

Teoría del orden

El problema de Suslin pregunta si una breve lista específica de las propiedades caracteriza al conjunto ordenado de números reales R . Esto es indecidible en ZFC. Una línea de Suslin es un conjunto ordenado que satisface esta lista específica de propiedades, pero no es el fin-isomorfo a R . El principio del diamante ◊ prueba la existencia de una línea de Suslin, mientras que MA + ¬CH implica EATS ( cada árbol de Aronszajn es especial ), lo que a su vez implica (pero no es equivalente a) la inexistencia de líneas de Suslin. Ronald Jensen demostró que CH no implica la existencia de una línea Suslin.

La existencia de árboles Kurepa es independiente de ZFC, asumiendo la consistencia de un cardenal inaccesible .

La existencia de una partición del número ordinal en dos colores sin un subconjunto cerrado secuencialmente incontable monocromático es independiente de ZFC, ZFC + CH y ZFC + ¬CH, asumiendo la consistencia de un cardenal Mahlo . Este teorema de Shelah responde a una pregunta de H. Friedman .

Álgebra abstracta

En 1973, Saharon Shelah demostró que el problema de Whitehead ("¿es cada grupo abeliano A con Ext 1 (A, Z ) = 0 un grupo abeliano libre ?") Es independiente de ZFC. Un grupo abeliano con Ext 1 (A, Z ) = 0 se denomina grupo Whitehead; MA + ¬CH prueba la existencia de un grupo Whitehead no libre, mientras que V = L prueba que todos los grupos Whitehead son libres. En una de las primeras aplicaciones del forzamiento adecuado , Shelah construyó un modelo de ZFC + CH en el que hay un grupo Whitehead no libre.

Considere el anillo A = R [ x , y , z ] de polinomios en tres variables sobre los números reales y su campo de fracciones M = R ( x , y , z ). La dimensión proyectiva de M como módulo A es 2 o 3, pero es independiente de ZFC si es igual a 2; es igual a 2 si y solo si CH se cumple.

Un producto directo de innumerables campos tiene una dimensión global 2 si y solo si se cumple la hipótesis del continuo.

Teoría de los números

Se puede escribir un polinomio concreto pZ [ x 1 , ..., x 9 ] tal que el enunciado "hay enteros m 1 , ..., m 9 con p ( m 1 , ..., m 9 ) = 0 "no se puede probar ni refutar en ZFC (asumiendo que ZFC es consistente). Esto se sigue de la resolución de Yuri Matiyasevich del décimo problema de Hilbert ; el polinomio se construye de modo que tenga una raíz entera si y solo si ZFC es inconsistente.

Teoría de la medida

Una versión más sólida del teorema de Fubini para funciones positivas, donde ya no se supone que la función sea medible sino simplemente que las dos integrales iteradas están bien definidas y existen, es independiente de ZFC. Por un lado, CH implica que existe una función en el cuadrado unitario cuyas integrales iteradas no son iguales; la función es simplemente la función indicadora de un ordenamiento de [0, 1] equivalente a un ordenamiento correcto del cardinal ω 1 . Se puede construir un ejemplo similar usando MA . Por otro lado, Friedman demostró por primera vez la consistencia del fuerte teorema de Fubini . También se puede deducir de una variante del axioma de simetría de Freiling .

Topología

La conjetura del espacio de Moore normal, es decir, que todo espacio de Moore normal es metrizable , puede refutarse asumiendo CH o MA + ¬CH, y puede demostrarse asumiendo un determinado axioma que implica la existencia de grandes cardinales. Por lo tanto, concedidos grandes cardenales, la conjetura del espacio normal de Moore es independiente de ZFC.

Varias afirmaciones sobre finito, puntos P, puntos Q, ...

Espacios S y L

Análisis funcional

Garth Dales y Robert M. Solovay demostraron en 1976 que la conjetura de Kaplansky , a saber, que todo homomorfismo de álgebra del álgebra de Banach C (X) (donde X es un espacio compacto de Hausdorff ) en cualquier otro álgebra de Banach debe ser continuo, es independiente de ZFC. CH implica que para cualquier X infinito existe un homomorfismo discontinuo en cualquier álgebra de Banach.

Considere el álgebra B ( H ) de operadores lineales acotados en el espacio H de Hilbert separable de dimensión infinita . Los operadores compactos forman un ideal de dos caras en B ( H ). La cuestión de si este ideal es la suma de dos ideales propiamente más pequeños es independiente de ZFC, como lo demostraron Andreas Blass y Saharon Shelah en 1987.

Charles Akemann y Nik Weaver demostraron en 2003 que la afirmación "existe un contraejemplo del problema de Naimark que es generado por ℵ 1 , elementos" es independiente de ZFC.

Miroslav Bačák y Petr Hájek demostraron en 2008 que la afirmación "cada espacio Asplund de carácter de densidad ω 1 tiene una renorización con la propiedad de intersección de Mazur " es independiente de ZFC. El resultado se muestra utilizando el axioma máximo de Martín , mientras que Mar Jiménez y José Pedro Moreno (1997) habían presentado un contraejemplo asumiendo CH.

Como lo muestran Ilijas Farah y N. Christopher Phillips y Nik Weaver , la existencia de automorfismos externos del álgebra de Calkin depende de suposiciones teóricas establecidas más allá de ZFC.

Teoría de modelos

La conjetura de Chang es independiente de ZFC asumiendo la consistencia de un cardenal de Erdős .

Teoría de la computabilidad

Marcia Groszek y Theodore Slaman dieron ejemplos de declaraciones independientes de ZFC sobre la estructura de los grados de Turing. En particular, si existe un conjunto de grados de tamaño máximamente independiente menor que el continuo.

Referencias

enlaces externos