Dedekind-infinite set - Dedekind-infinite set

En las matemáticas , un conjunto A es Dedekind-infinito (llamado así por el matemático alemán Richard Dedekind ) si algún adecuada subconjunto B de A es equinumerous a una . Explícitamente, esto significa que existe una función biyectiva a partir de A a algún subconjunto apropiado B de A . Un conjunto es Dedekind-finito si no es Dedekind-infinito (es decir, no existe tal biyección). Propuesto por Dedekind en 1888, Dedekind-infiniteness fue la primera definición de "infinito" que no se basó en la definición de los números naturales .

Un ejemplo simple es el conjunto de números naturales . De la paradoja de Galileo , existe una biyección que asigna cada número natural n a su cuadrado n 2 . Dado que el conjunto de cuadrados es un subconjunto propio de , es Dedekind-infinite.

Hasta que la crisis fundamental de las matemáticas mostró la necesidad de un tratamiento más cuidadoso de la teoría de conjuntos, la mayoría de los matemáticos asumieron que un conjunto es infinito si y solo si es Dedekind-infinito. A principios del siglo XX, la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , hoy la forma más comúnmente utilizada de teoría de conjuntos axiomáticos , se propuso como un sistema axiomático para formular una teoría de conjuntos libre de paradojas como la paradoja de Russell . Usando los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección originalmente muy controvertido incluido ( ZFC ), se puede demostrar que un conjunto es Dedekind-finito si y solo si es finito en el sentido habitual. Sin embargo, existe un modelo de teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección ( ZF ) en el que existe un conjunto infinito, Dedekind-finito, que muestra que los axiomas de ZF no son lo suficientemente fuertes para demostrar que todo conjunto que es Dedekind -finito es finito. Existen definiciones de finitud e infinitud de conjuntos además de la dada por Dedekind que no dependen del axioma de elección.

Una noción vagamente relacionada es la de un anillo finito de Dedekind . Un anillo se dice que es un anillo de Dedekind-finito si ab = 1 implica ba = 1 para cualquier par de elementos de anillo a y b . Estos anillos también se han denominado anillos directamente finitos .

Comparación con la definición habitual de conjunto infinito

Esta definición de " conjunto infinito " debe compararse con la definición habitual: un conjunto A es infinito cuando no se puede poner en biyección con un ordinal finito , es decir, un conjunto de la forma {0, 1, 2, ..., n −1} para algún número natural n - un conjunto infinito es uno que es literalmente "no finito", en el sentido de biyección.

Durante la segunda mitad del siglo XIX, la mayoría de los matemáticos simplemente asumieron que un conjunto es infinito si y solo si es Dedekind-infinito. Sin embargo, esta equivalencia no se puede probar con los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección (AC) (normalmente denominado " ZF "). No se necesita toda la fuerza de AC para probar la equivalencia; de hecho, la equivalencia de las dos definiciones es estrictamente más débil que el axioma de elección contable (CC). (Consulte las referencias a continuación).

Conjuntos infinitos de Dedekind en ZF

Un conjunto A es infinito de Dedekind si satisface alguna, y luego todas, de las siguientes condiciones equivalentes (sobre ZF ):

es doblemente Dedekind-infinito si:

  • hay una función f  : A → A que es sobreyectiva pero no inyectiva;

es débilmente Dedekind-infinito si satisface alguna, y luego todas, de las siguientes condiciones equivalentes (sobre ZF ):

  • existe un mapa suprayectivo de A en un conjunto infinito numerable;
  • el conjunto de poder de A es Dedekind-infinito;

y es infinito si:

  • para cualquier número natural n , no hay una biyección de {0, 1, 2, ..., n-1} a A .

Entonces, ZF demuestra las siguientes implicaciones: Dedekind-infinito ⇒ doble Dedekind-infinito ⇒ débilmente Dedekind-infinito ⇒ infinito.

Existen modelos de ZF que tienen un conjunto infinito de Dedekind-finito. Deje un ser dicho conjunto, y dejar que B sea el conjunto de finitos inyectivos secuencias de A . Dado que A es infinito, la función "soltar el último elemento" de B a sí misma es sobreyectiva pero no inyectiva, por lo que B es doblemente infinito de Dedekind. Sin embargo, dado que A es finito de Dedekind, entonces también lo es B (si B tuviera un subconjunto infinito numerable, entonces usando el hecho de que los elementos de B son secuencias inyectivas, uno podría exhibir un subconjunto infinito numerable de A ).

Cuando los conjuntos tienen estructuras adicionales, a veces se puede demostrar que ambos tipos de infinitud son equivalentes sobre ZF . Por ejemplo, ZF demuestra que un conjunto bien ordenado es Dedekind-infinito si y solo si es infinito.

Historia

El término lleva el nombre del matemático alemán Richard Dedekind , quien introdujo explícitamente la definición por primera vez. Es notable que esta definición fue la primera definición de "infinito" que no se basó en la definición de los números naturales (a menos que uno siga a Poincaré y considere la noción de número como anterior incluso a la noción de conjunto). Aunque Bernard Bolzano conocía tal definición, los términos de su exilio político de la Universidad de Praga en 1819 le impidieron publicar su trabajo en las revistas más oscuras. Además, la definición de Bolzano era más exactamente una relación que mantenía entre dos conjuntos infinitos, en lugar de una definición de un conjunto infinito per se .

Durante mucho tiempo, muchos matemáticos ni siquiera consideraron la idea de que pudiera haber una distinción entre las nociones de conjunto infinito y conjunto infinito de Dedekind. De hecho, la distinción no se hizo realidad hasta que Ernst Zermelo formuló el CA de forma explícita. Bertrand Russell y Alfred North Whitehead estudiaron la existencia de conjuntos infinitos de Dedekind-finitos en 1912; estos conjuntos fueron al principio llamados cardenales mediatos o cardenales de Dedekind .

Con la aceptación general del axioma de elección entre la comunidad matemática, estos problemas relacionados con los conjuntos infinitos y Dedekind-infinitos se han vuelto menos centrales para la mayoría de los matemáticos. Sin embargo, el estudio de los conjuntos infinitos de Dedekind jugó un papel importante en el intento de aclarar el límite entre lo finito y lo infinito, y también un papel importante en la historia de la CA.

Relación con el axioma de elección

Dado que cada conjunto infinito bien ordenado es Dedekind-infinito, y dado que AC es equivalente al teorema del buen orden que establece que todo conjunto puede estar bien ordenado, claramente el AC general implica que todo conjunto infinito es Dedekind-infinito. Sin embargo, la equivalencia de las dos definiciones es mucho más débil que la fuerza total de AC.

En particular, existe un modelo de ZF en el que existe un conjunto infinito sin subconjunto infinito numerable . Por lo tanto, en este modelo, existe un conjunto infinito, Dedekind-finito. Por lo anterior, dicho conjunto no se puede ordenar bien en este modelo.

Si asumimos el axioma CC (es decir, AC ω ), entonces se deduce que todo conjunto infinito es Dedekind-infinito. Sin embargo, la equivalencia de estas dos definiciones es de hecho estrictamente más débil incluso que la CC. Explícitamente, existe un modelo de ZF en el que cada conjunto infinito es Dedekind-infinito, pero el CC falla (asumiendo la consistencia de ZF ).

Prueba de equivalencia al infinito, asumiendo el axioma de elección contable

Que todo conjunto infinito de Dedekind es infinito puede demostrarse fácilmente en ZF: todo conjunto finito tiene por definición una biyección con algún ordinal finito n , y se puede probar por inducción sobre n que esto no es infinito de Dedekind.

Utilizando el axioma de elección contable (denotación: axioma CC) se puede probar lo contrario, es decir, que todo conjunto infinito X es Dedekind-infinito, como sigue:

Primero, defina una función sobre los números naturales (es decir, sobre los ordinales finitos) f  : N → Potencia (Potencia ( X )) , de modo que para cada número natural n , f ( n ) sea el conjunto de subconjuntos finitos de X de tamaño n (es decir, que tienen una biyección con el ordinal finito n ). f ( n ) nunca está vacío, o de lo contrario X sería finito (como se puede demostrar por inducción en n ).

La imagen de f es el conjunto contable { f ( n ) | n ∈ N }, cuyos miembros son en sí mismos conjuntos infinitos (y posiblemente incontables). Al utilizar el axioma de elección contable podemos elegir un miembro de cada uno de estos conjuntos, y esta persona es en sí mismo un subconjunto finito de X . Más precisamente, según el axioma de elección contable, existe un conjunto (contable), G = { g ( n ) | n ∈ N }, de modo que para cada número natural n , g ( n ) es un miembro de f ( n ) y, por lo tanto, es un subconjunto finito de X de tamaño n .

Ahora, definimos T como la unión de los miembros del G . U es un subconjunto numerable infinito de X , y una biyección de los números naturales a U , h  : N → U , se puede definir fácilmente. Ahora podemos definir una biyección B  : X → X ∖ h (0) que toma todos los miembros que no están en U a sí mismos, y toma h ( n ) para cada número natural ah ( n + 1) . Por tanto, X es Dedekind-infinito, y hemos terminado.

Generalizaciones

Expresado en términos teóricos de categorías, un conjunto A es finito de Dedekind si en la categoría de conjuntos, todo monomorfismo f  : A → A es un isomorfismo. Un anillo regular de von Neumann R tiene la propiedad análoga en la categoría de módulos R (izquierdo o derecho) si y solo si en R , xy = 1 implica yx = 1 . De manera más general, un anillo finito de Dedekind es cualquier anillo que satisfaga la última condición. Tenga en cuenta que un anillo puede ser Dedekind-finito incluso si su conjunto subyacente es Dedekind-infinito, por ejemplo, los números enteros.

Notas

Referencias

  • Faith, Carl Clifton. Estudios y monografías matemáticas . Volumen 65. Sociedad Matemática Estadounidense. 2ª ed. Librería AMS, 2004. ISBN  0-8218-3672-2
  • Moore, Gregory H., Axiom of Choice de Zermelo , Springer-Verlag, 1982 (agotado), ISBN  0-387-90670-3 , en particular pp. 22-30 y tablas 1 y 2 en p. 322-323
  • Jech, Thomas J. , El axioma de la elección , Publicaciones de Dover, 2008, ISBN  0-486-46624-8
  • Lam, Tsit-Yuen. Un primer curso en anillos no conmutativos . Volumen 131 de Textos de posgrado en matemáticas . 2ª ed. Springer, 2001. ISBN  0-387-95183-0
  • Herrlich, Horst, Axiom of Choice , Springer-Verlag, 2006, Lecture Notes in Mathematics 1876, ISSN edición impresa 0075–8434, ISSN edición electrónica: 1617-9692, en particular la Sección 4.1.