Teorema de de Gua - De Gua's theorem

Tetraedro con esquina en ángulo recto en O

En matemáticas , el teorema de De Gua es un análogo tridimensional del teorema de Pitágoras que lleva el nombre de Jean Paul de Gua de Malves . Establece que si un tetraedro tiene una esquina en ángulo recto (como la esquina de un cubo ), entonces el cuadrado del área de la cara opuesta a la esquina en ángulo recto es la suma de los cuadrados de las áreas de las otras tres caras. :

${\ displaystyle A_ {ABC} ^ {2} = A _ {\ color {blue} ABO} ^ {2} + A _ {\ color {green} ACO} ^ {2} + A _ {\ color {red} BCO} ^ {2}}$

Generalizaciones

El teorema de Pitágoras y el teorema de de Gua son casos especiales ( n  = 2, 3) de un teorema general sobre n -simplices con una esquina en ángulo recto . Éste, a su vez, es un caso especial de un teorema aún más general de Donald R. Conant y William A. Beyer, que puede enunciarse de la siguiente manera.

Sea U un subconjunto medible de un subespacio afín k -dimensional de (so ). Para cualquier subconjunto con exactamente k elementos, sea ​​la proyección ortogonal de U sobre el tramo lineal de , donde y es la base estándar para . Luego ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle k \ leq n}$${\ Displaystyle I \ subseteq \ {1, \ ldots, n \}}$${\ Displaystyle U_ {I}}$${\ Displaystyle e_ {i_ {1}}, \ ldots, e_ {i_ {k}}}$${\ Displaystyle I = \ {i_ {1}, \ ldots, i_ {k} \}}$${\ Displaystyle e_ {1}, \ ldots, e_ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ Displaystyle {\ mbox {vol}} _ {k} ^ {2} (U) = \ sum _ {I} {\ mbox {vol}} _ {k} ^ {2} (U_ {I}), }$

donde es el volumen k -dimensional de U y la suma es sobre todos los subconjuntos con exactamente k elementos. ${\ Displaystyle {\ mbox {vol}} _ {k} (U)}$${\ Displaystyle I \ subseteq \ {1, \ ldots, n \}}$

El teorema de De Gua y su generalización (arriba) a n -simplices con ángulos rectos corresponden al caso especial donde k  =  n −1 y U es un ( n −1) -simplex en con vértices en los ejes de coordenadas . Por ejemplo, supongamos que n  = 3, k  = 2 y T es el triángulo en cuyos vértices A , B y C se extiende sobre los -, - y -axes, respectivamente. Los subconjuntos de con exactamente 2 elementos son , y . Por definición, es la proyección ortogonal de sobre el plano-, también lo es el triángulo con vértices O , B y C , donde O es el origen de . De manera similar, y , por lo que el teorema de Conant-Beyer dice ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ triangle ABC}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ Displaystyle x_ {1}}$${\ Displaystyle x_ {2}}$${\ Displaystyle x_ {3}}$${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle \ {1,2,3 \}}$${\ Displaystyle \ {2,3 \}}$${\ Displaystyle \ {1,3 \}}$${\ Displaystyle \ {1,2 \}}$${\ Displaystyle U _ {\ {2,3 \}}}$${\ Displaystyle U = \ triangle ABC}$${\ Displaystyle x_ {2} x_ {3}}$${\ Displaystyle U _ {\ {2,3 \}}}$${\ Displaystyle \ Triangle OBC}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ Displaystyle U _ {\ {1,3 \}} = \ triángulo AOC}$${\ Displaystyle U _ {\ {1,2 \}} = \ triángulo ABO}$

${\ Displaystyle {\ mbox {vol}} _ {2} ^ {2} (\ triangle ABC) = {\ mbox {vol}} _ {2} ^ {2} (\ triangle OBC) + {\ mbox {vol }} _ {2} ^ {2} (\ triangle AOC) + {\ mbox {vol}} _ {2} ^ {2} (\ triangle ABO),}$

que es el teorema de de Gua.

La generalización del teorema de De Gua a n -simplices con ángulos rectos también se puede obtener como un caso especial a partir de la fórmula del determinante de Cayley-Menger .

Historia

Jean Paul de Gua de Malves (1713-1785) publicó el teorema en 1783, pero al mismo tiempo otro matemático francés, Charles de Tinseau d'Amondans (1746-1818), también publicó una versión un poco más general . Sin embargo, el teorema también lo habían conocido mucho antes Johann Faulhaber (1580-1635) y René Descartes (1596-1650).

Ver también

• Área de vector y área proyectada
• Bivector

Notas

Referencias

• Weisstein, Eric W. "Teorema de Gua" . MathWorld .
• Sergio A. Alvarez: Nota sobre un teorema de Pitágoras n-dimensional , Universidad Carnegie Mellon.
• Teorema de De Gua, teorema de Pitágoras en 3-D - Ilustración gráfica y propiedades relacionadas del tetraedro.

Otras lecturas

• Kheyfits, Alexander (2004). "El teorema de cosenos para pirámides". The College Mathematics Journal . Asociación Matemática de América. 35 (5): 385–388. JSTOR  4146849 . Prueba del teorema de de Gua y de generalizaciones a tetraedros arbitrarios y pirámides.
• Lévy-Leblond, Jean-Marc (2020). "El teorema de cosenos para pirámides" . El inteligente matemático . SpringerLink.Aplicación del teorema de de Gua para probar un caso especial de la fórmula de Heron .