Ley de Curie-Weiss - Curie–Weiss law

La ley de Curie-Weiss describe la susceptibilidad magnética $χ$ de un ferromagnético en la región paramagnética por encima del punto de Curie :

{\ Displaystyle \ chi = {\ frac {C} {T-T _ {\ rm {C}}}}}

donde $C$ es una constante de Curie específica del material , $T$ es la temperatura absoluta y $T$ $C$ es la temperatura de Curie , ambas medidas en kelvin . La ley predice una singularidad en la susceptibilidad a $T =$ $C$ . Por debajo de esta temperatura, el ferromagnético tiene una magnetización espontánea .

Breve resumen de conceptos relacionados

El momento magnético de un imán es una cantidad que determina el par que experimentará en un campo magnético externo . Un bucle de corriente eléctrica , un imán de barra, un electrón , una molécula y un planeta tienen momentos magnéticos.

La magnetización o polarización magnética de un material magnético es el campo vectorial que expresa la densidad de momentos magnéticos permanentes o inducidos . Los momentos magnéticos pueden originarse a partir de corrientes eléctricas microscópicas provocadas por el movimiento de los electrones en los átomos individuales , o el giro de los electrones o los núcleos. La magnetización neta resulta de la respuesta de un material a un campo magnético externo , junto con cualquier momento magnético desequilibrado que pueda estar presente incluso en ausencia del campo magnético externo , por ejemplo, en hierro suficientemente frío . Este último se llama magnetización espontánea . Otros materiales que comparten esta propiedad con el hierro, como el níquel y la magnetita , se denominan ferromagnetos . La temperatura umbral por debajo de la cual un material es ferromagnético se llama temperatura de Curie y varía entre materiales.

Limitaciones

En muchos materiales, la ley de Curie-Weiss no describe la susceptibilidad en la vecindad inmediata del punto de Curie, ya que se basa en una aproximación de campo medio . En cambio, hay un comportamiento crítico de la forma

{\ Displaystyle \ chi \ propto {\ frac {1} {(T-T _ {\ rm {C}}) ^ {\ gamma}}}}

con el exponente crítico $γ$ . Sin embargo, a temperaturas $T ≫ T$ $C,$ la expresión de la ley de Curie-Weiss sigue siendo cierta, pero con $T$ $C$ reemplazada por una temperatura $Θ$ que es algo más alta que la temperatura real de Curie. Algunos autores llaman $Θ$ la constante de Weiss para distinguirla de la temperatura del punto Curie real.

Enfoques clásicos de la susceptibilidad magnética y el teorema de Bohr-van Leeuwen

De acuerdo con el teorema de Bohr-van Leeuwen , cuando la mecánica estadística y la mecánica clásica se aplican de manera consistente, el promedio térmico de la magnetización es siempre cero. El magnetismo no se puede explicar sin la mecánica cuántica. Sin embargo, enumeramos algunos enfoques clásicos, ya que son fáciles de entender y relacionar a pesar de que son incorrectos.

El momento magnético de un átomo libre se debe al momento angular orbital y al giro de sus electrones y núcleo. Cuando los átomos son tales que sus capas están completamente llenas, no tienen ningún momento dipolar magnético neto en ausencia de un campo magnético externo. Cuando está presente, dicho campo distorsiona las trayectorias (concepto clásico) de los electrones de modo que el campo aplicado podría oponerse como predice la ley de Lenz . En otras palabras, el dipolo magnético neto inducido por el campo externo está en la dirección opuesta, y tales materiales son repelidos por él. Estos se denominan materiales diamagnéticos .

A veces, un átomo tiene un momento dipolar magnético neto incluso en ausencia de un campo magnético externo. Las contribuciones de los electrones individuales y el núcleo al momento angular total no se cancelan entre sí. Esto sucede cuando las capas de los átomos no están completamente llenas ( regla de Hund ). Sin embargo, una colección de tales átomos puede no tener ningún momento magnético neto ya que estos dipolos no están alineados. Un campo magnético externo puede servir para alinearlos hasta cierto punto y desarrollar un momento magnético neto por volumen. Tal alineación depende de la temperatura ya que la agitación térmica actúa para desorientar los dipolos. Dichos materiales se denominan paramagnéticos .

En algunos materiales, los átomos (con momentos dipolares magnéticos netos) pueden interactuar entre sí para alinearse incluso en ausencia de cualquier campo magnético externo cuando la agitación térmica es lo suficientemente baja. La alineación puede ser paralela ( ferromagnetismo ) o antiparalela. En el caso de antiparalelo, los momentos dipolares pueden o no cancelarse entre sí ( antiferromagnetismo , ferrimagnetismo ).

Enfoque de matriz de densidad para la susceptibilidad magnética

Tomamos una situación muy simple en la que cada átomo puede aproximarse como un sistema de dos estados. La energía térmica es tan baja que el átomo se encuentra en el estado fundamental. En este estado fundamental, se supone que el átomo no tiene momento angular orbital neto, sino solo un electrón desapareado para darle un giro de la mitad. En presencia de un campo magnético externo, el estado fundamental se dividirá en dos estados que tienen una diferencia de energía proporcional al campo aplicado. El espín del electrón desapareado es paralelo al campo en el estado de mayor energía y antiparalelo en el inferior.

Una matriz de densidad , , es una matriz que describe un sistema cuántico en un estado mixto, un conjunto estadístico de varios estados cuánticos (aquí varios átomos de 2-estatales similares). Esto debe contrastarse con un vector de estado único que describe un sistema cuántico en estado puro. El valor esperado de una medición , sobre el conjunto es . En términos de un conjunto completo de estados`` se puede escribir ${\ Displaystyle \ rho}$ ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle \ langle A \ rangle = \ operatorname {Tr} (A \ rho)}$ ${\ Displaystyle | i \ rangle}$

{\ Displaystyle \ rho = \ sum _ {ij} \ rho _ {ij} | i \ rangle \ langle j |.}

La ecuación de Von Neumann nos dice cómo evoluciona la matriz de densidad con el tiempo.

{\ Displaystyle i \ hbar {\ frac {d} {dt}} \ rho (t) = [H, \ rho (t)]}

En equilibrio, uno tiene y las matrices de densidad permitidas son . El conjunto canónico tiene dónde . ${\ Displaystyle [H, \ rho] = 0}$ ${\ Displaystyle f (H)}$ ${\ Displaystyle \ rho = \ exp (-H / T) / Z}$ ${\ Displaystyle Z = \ operatorname {Tr} \ exp (-H / T)}$

Para el sistema de 2 estados, podemos escribir . Aquí está la relación giromagnética . Por lo tanto , y ${\ Displaystyle H = - \ gamma \ hbar B \ sigma _ {3}}$ ${\ Displaystyle \ gamma}$ ${\ Displaystyle Z = 2 \ cosh (\ gamma \ hbar B / (2T))}$

{\ Displaystyle \ rho (B, T) = {\ frac {1} {2 \ cosh (\ gamma \ hbar B / (2T))}} {\ begin {pmatrix} \ exp (- \ gamma \ hbar B / (2T)) & 0 \\ 0 & \ exp (\ gamma \ hbar B / (2T)) \ end {pmatrix}}.}

A partir del cual

{\ Displaystyle \ langle J_ {x} \ rangle = \ langle J_ {y} \ rangle = 0, \ langle J_ {z} \ rangle = - {\ frac {\ hbar} {2}} \ tanh (\ gamma \ hbar B / (2T)).}

Explicación del para y el diamagnetismo utilizando la teoría de la perturbación.

En presencia de un campo magnético externo uniforme a lo largo de la dirección z, el hamiltoniano del átomo cambia por ${\ Displaystyle B}$

{\ Displaystyle \ Delta H = \ alpha J_ {z} B + \ beta B ^ {2} \ sum _ {i} (x_ {i} ^ {2} + y_ {i} ^ {2}),}

donde hay números reales positivos que son independientes de qué átomo estamos mirando pero dependen de la masa y la carga del electrón. corresponde a los electrones individuales del átomo. ${\ Displaystyle \ alpha, \ beta}$ ${\ Displaystyle i}$

Aplicamos la teoría de la perturbación de segundo orden a esta situación. Esto se justifica por el hecho de que incluso para las intensidades de campo más altas alcanzables en la actualidad, los cambios en el nivel de energía debido a son bastante pequeños con respecto a las energías de excitación atómica. La degeneración del hamiltoniano original se maneja eligiendo una base que se diagonaliza en los subespacios degenerados. Sea tal base para el estado del átomo (más bien los electrones en el átomo). Sea el cambio de energía en . Entonces obtenemos ${\ Displaystyle \ Delta H}$ ${\ Displaystyle \ Delta H}$ ${\ Displaystyle | n \ rangle}$ ${\ Displaystyle \ Delta E_ {n}}$ ${\ Displaystyle | n \ rangle}$

{\ Displaystyle \ Delta E_ {n} = \ langle n | \ Delta H | n \ rangle + \ sum _ {m, E_ {m} \ neq E_ {n}} {\ frac {| \ langle n | \ Delta H | m \ rangle | ^ {2}} {E_ {n} -E_ {m}}}.}

En nuestro caso podemos ignorar y términos de orden superior. Obtenemos ${\ Displaystyle B ^ {3}}$

{\ Displaystyle \ Delta E_ {n} = \ alpha B \ langle n | J_ {z} | n \ rangle + \ alpha ^ {2} B ^ {2} \ sum _ {m, E_ {m} \ neq E_ {n}} {\ frac {| \ langle n | J_ {z} | m \ rangle | ^ {2}} {E_ {n} -E_ {m}}} + \ beta B ^ {2} \ sum _ {i} \ langle n | x_ {i} ^ {2} + y_ {i} ^ {2} | n \ rangle.}

En el caso del material diamagnético, los dos primeros términos están ausentes ya que no tienen ningún momento angular en su estado fundamental. En el caso de material paramagnético, los tres términos contribuyen.

Adición de interacción espín-espín en el modelo hamiltoniano: Ising

Hasta ahora, hemos asumido que los átomos no interactúan entre sí. Aunque esta es una suposición razonable en el caso de sustancias diamagnéticas y paramagnéticas, esta suposición falla en el caso del ferromagnetismo, donde los espines del átomo intentan alinearse entre sí en la medida permitida por la agitación térmica. En este caso, tenemos que considerar el hamiltoniano del conjunto del átomo. Tal hamiltoniano contendrá todos los términos descritos anteriormente para átomos individuales y términos correspondientes a la interacción entre los pares del átomo. El modelo de Ising es una de las aproximaciones más simples de dicha interacción por pares.

{\ Displaystyle H _ {\ text {pares}} = - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {R, R '} S (R) \ cdot S (R') J (R-R ') }

Aquí están los dos átomos de un par . Su interacción está determinada por su vector de distancia . Para simplificar el cálculo, a menudo se supone que la interacción ocurre solo entre átomos vecinos y es una constante. El efecto de tal interacción a menudo se aproxima como un campo medio y, en nuestro caso, el campo de Weiss . ${\ Displaystyle R, R '}$ ${\ Displaystyle J}$ ${\ displaystyle R-R '}$ ${\ Displaystyle J}$

Modificación de la ley de Curie debido al campo Weiss

La ley de Curie-Weiss es una versión adaptada de la ley de Curie, que para un material paramagnético puede escribirse en unidades SI de la siguiente manera, asumiendo : ${\ Displaystyle \ chi \ ll 1}$

${\ Displaystyle \ chi = {\ frac {M} {H}} \ approx {\ frac {M \ mu _ {0}} {B}} = {\ frac {C} {T}}.}$

Aquí μ ₀ es la permeabilidad del espacio libre ; M la magnetización ( momento magnético por unidad de volumen), $B = μ 0 H$ es el campo magnético y C la constante de Curie específica del material :

{\ Displaystyle C = {\ frac {\ mu _ {0} \ mu _ {\ rm {B}} ^ {2}} {3k _ {\ rm {B}}}} Ng ^ {2} J (J + 1),}

donde $k B$ es la constante de Boltzmann , $N$ el número de átomos magnéticos (o moléculas) por unidad de volumen, $g$ el factor g de Landé , $μ B$ el magnetón de Bohr , $J$ el número cuántico del momento angular .

Para la ley de Curie-Weiss, el campo magnético total es $B + λM$ donde $λ$ es la constante del campo molecular de Weiss y luego

{\ Displaystyle \ chi = {\ frac {M \ mu _ {0}} {B}}}

→

{\ Displaystyle {\ frac {M \ mu _ {0}} {B + \ lambda M}} = {\ frac {C} {T}}}

que se puede reorganizar para obtener

{\ Displaystyle \ chi = {\ frac {C} {T - {\ frac {C \ lambda} {\ mu _ {0}}}}}}

que es la ley de Curie-Weiss

{\ Displaystyle \ chi = {\ frac {C} {T-T _ {\ rm {C}}}}}

donde la temperatura de Curie $T C$ es

{\ Displaystyle T _ {\ rm {C}} = {\ frac {C \ lambda} {\ mu _ {0}}}}

Ver también

Notas

Referencias

Kittel, Charles (1996). Introducción a la física del estado sólido (7ª ed.). Nueva York [ua]: Wiley. ISBN 978-0471111818 .
Hall, HE Hook, JR (1994). Física del estado sólido (2ª ed.). Chichester: Wiley. ISBN 0471928054 .
Levy, Robert A (1968). Principios de la física del estado sólido . Prensa académica. ISBN 978-0124457508 .
Neil Ashcroft , David Mermin . Física del estado sólido .
http://theory.tifr.res.in/~sgupta/courses/qm2013/hand5.pdf

enlaces externos

Magnetismo: modelos y mecanismos en E. Pavarini, E. Koch y U. Schollwöck: fenómenos emergentes en materia correlacionada, Jülich 2013, ISBN 978-3-89336-884-6

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