Constante de movimiento - Constant of motion

En mecánica , una constante de movimiento es una cantidad que se conserva durante todo el movimiento, imponiendo de hecho una restricción sobre el movimiento. Sin embargo, es una restricción matemática , la consecuencia natural de las ecuaciones de movimiento , más que una restricción física (que requeriría fuerzas de restricción adicionales ). Los ejemplos comunes incluyen energía , momento lineal , momento angular y el vector de Laplace-Runge-Lenz (para leyes de fuerza del inverso del cuadrado ).

Aplicaciones

Las constantes de movimiento son útiles porque permiten derivar las propiedades del movimiento sin resolver las ecuaciones del movimiento . En casos afortunados, incluso la trayectoria del movimiento puede derivarse como la intersección de isosuperficies correspondientes a las constantes de movimiento. Por ejemplo, la construcción de Poinsot muestra que la rotación sin torque de un cuerpo rígido es la intersección de una esfera (conservación del momento angular total) y un elipsoide (conservación de la energía), una trayectoria que de otra manera sería difícil de derivar y visualizar. Por tanto, la identificación de constantes de movimiento es un objetivo importante en mecánica .

Métodos para identificar constantes de movimiento.

Existen varios métodos para identificar constantes de movimiento.

• El enfoque más simple pero menos sistemático es la derivación intuitiva ("psíquica"), en la que se hipotetiza que una cantidad es constante (tal vez debido a datos experimentales ) y luego se muestra matemáticamente que se conserva a lo largo del movimiento.
• Las ecuaciones de Hamilton-Jacobi proporcionan un método sencillo y de uso común para identificar constantes de movimiento, particularmente cuando el hamiltoniano adopta formas funcionales reconocibles en coordenadas ortogonales .
• Otro enfoque es reconocer que una cantidad conservada corresponde a una simetría del Lagrangiano . El teorema de Noether proporciona una forma sistemática de derivar tales cantidades a partir de la simetría. Por ejemplo, la conservación de la energía resulta de la invariancia del Lagrangiano bajo cambios en el origen del tiempo , la conservación del momento lineal resulta de la invariancia del Lagrangiano bajo cambios en el origen del espacio ( simetría traslacional ) y la conservación del momento angular resulta de la invariancia del Lagrangiano bajo rotaciones . Lo contrario también es cierto; cada simetría del Lagrangiano corresponde a una constante de movimiento, a menudo llamada carga o corriente conservada .
• Una cantidad es una constante del movimiento si su derivada de tiempo total es cero${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle 0 = {\ frac {dA} {dt}} = {\ frac {\ parcial A} {\ parcial t}} + \ {A, H \},}$

que ocurre cuando el corchete de Poisson con el hamiltoniano es igual menos su derivada parcial con respecto al tiempo${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial A} {\ parcial t}} = - \ {A, H \}.}$

Otro resultado útil es el teorema de Poisson , que establece que si dos cantidades y son constantes de movimiento, también lo es su corchete de Poisson . ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle \ {A, B \}}$

Un sistema con n grados de libertad y n constantes de movimiento, tales que el corchete de Poisson de cualquier par de constantes de movimiento se desvanece, se conoce como un sistema completamente integrable . Se dice que tal colección de constantes de movimiento están en involución unas con otras.

En mecánica cuántica

Una cantidad observable Q será una constante de movimiento si conmuta con el hamiltoniano , H , y no depende explícitamente del tiempo. Esto es porque

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ langle \ psi | Q | \ psi \ rangle = {\ frac {-1} {i \ hbar}} \ langle \ psi | \ left [H, Q \ derecha] | \ psi \ rangle + \ langle \ psi | {\ frac {dQ} {dt}} | \ psi \ rangle \,}$

donde

${\ Displaystyle [H, Q] = HQ-QH \,}$

es la relación del conmutador.

Derivación

Digamos que hay una cantidad Q observable que depende de la posición, el momento y el tiempo,

${\ Displaystyle Q = Q (x, p, t) \,}$

Y también, que existe una función de onda que obedece a la ecuación de Schrödinger

${\ Displaystyle i \ hbar {\ frac {\ parcial \ psi} {\ parcial t}} = H \ psi. \,}$

Tomar la derivada en el tiempo del valor esperado de Q requiere el uso de la regla del producto y da como resultado

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ langle Q \ rangle \,}$	${\ Displaystyle = {\ frac {d} {dt}} \ langle \ psi | Q | \ psi \ rangle \,}$
	${\ displaystyle = \ langle {\ frac {d \ psi} {dt}} | Q | \ psi \ rangle + \ langle \ psi | {\ frac {dQ} {dt}} | \ psi \ rangle + \ langle \ psi | Q | {\ frac {d \ psi} {dt}} \ rangle \,}$
	${\ Displaystyle = {\ frac {-1} {i \ hbar}} \ langle H \ psi | Q | \ psi \ rangle + \ langle \ psi | {\ frac {dQ} {dt}} | \ psi \ rangle + {\ frac {1} {i \ hbar}} \ langle \ psi | Q | H \ psi \ rangle \,}$
	${\ Displaystyle = {\ frac {-1} {i \ hbar}} \ langle \ psi | HQ | \ psi \ rangle + \ langle \ psi | {\ frac {dQ} {dt}} | \ psi \ rangle + {\ frac {1} {i \ hbar}} \ langle \ psi | QH | \ psi \ rangle \,}$
	${\ Displaystyle = {\ frac {-1} {i \ hbar}} \ langle \ psi | \ left [H, Q \ right] | \ psi \ rangle + \ langle \ psi | {\ frac {dQ} {dt }} | \ psi \ rangle \,}$

Así que finalmente,

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ langle \ psi | Q | \ psi \ rangle = {\ frac {-1} {i \ hbar}} \ langle \ psi | \ left [H, Q \ derecha] | \ psi \ rangle + \ langle \ psi | {\ frac {dQ} {dt}} | \ psi \ rangle \,}$

Comentario

Para un estado arbitrario de un sistema de mecánica cuántica, si H y Q se conmutan, es decir, si

${\ Displaystyle \ left [H, Q \ right] = 0}$

y Q no depende explícitamente del tiempo, entonces

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ langle Q \ rangle = 0}$

Pero si es una función propia del hamiltoniano, entonces incluso si ${\ Displaystyle \ psi}$

${\ Displaystyle \ left [H, Q \ right] \ neq 0}$

todavía es el caso que

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ langle Q \ rangle = 0}$

siempre que Q sea independiente en el tiempo.

Derivación

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ langle Q \ rangle \,}$	${\ Displaystyle = {\ frac {-1} {i \ hbar}} \ langle \ psi | \ left [H, Q \ right] | \ psi \ rangle \,}$
	${\ Displaystyle = {\ frac {-1} {i \ hbar}} \ langle \ psi | HQ-QH | \ psi \ rangle \,}$

Ya que

${\ Displaystyle H | \ psi \ rangle = E | \ psi \ rangle \,}$

luego

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ langle Q \ rangle \,}$	${\ displaystyle = {\ frac {-1} {i \ hbar}} \ left (E \ langle \ psi | Q | \ psi \ rangle -E \ langle \ psi | Q | \ psi \ rangle \ right) \, }$
	${\ displaystyle = 0}$

Esta es la razón por la que los estados propios del hamiltoniano también se denominan estados estacionarios.

Relevancia para el caos cuántico

En general, un sistema integrable tiene constantes de movimiento distintas de la energía. Por el contrario, la energía es la única constante de movimiento en un sistema no integrable ; tales sistemas se denominan caóticos. En general, un sistema mecánico clásico sólo puede cuantificarse si es integrable; a partir de 2006, no existe un método consistente conocido para cuantificar sistemas dinámicos caóticos.

Integral de movimiento

Una constante de movimiento puede definirse en un campo de fuerza dado como cualquier función de las coordenadas del espacio de fase (posición y velocidad, o posición y momento) y el tiempo que es constante a lo largo de una trayectoria. Un subconjunto de las constantes de movimiento son las integrales de movimiento , o primeras integrales , definidas como cualquier función de solo las coordenadas del espacio de fase que son constantes a lo largo de una órbita. Toda integral de movimiento es una constante de movimiento, pero lo contrario no es cierto porque una constante de movimiento puede depender del tiempo. Ejemplos de integrales de movimiento son el vector de momento angular , o un hamiltoniano sin dependencia del tiempo, como . Un ejemplo de una función que es una constante de movimiento pero no una integral de movimiento sería la función de un objeto que se mueve a una velocidad constante en una dimensión. ${\ Displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {x} \ times \ mathbf {v}}$${\ Displaystyle H (\ mathbf {x}, \ mathbf {v}) = {\ frac {1} {2}} v ^ {2} + \ Phi (\ mathbf {x})}$${\ Displaystyle C (x, v, t) = x-vt}$

Observables de Dirac

Para extraer información física de las teorías de calibre , se construyen observables invariantes de calibre o se fija un calibre. En un lenguaje canónico, esto generalmente significa construir funciones que Poisson conmuta en la superficie de restricción con el medidor generando restricciones de primera clase o fijar el flujo de este último al señalar puntos dentro de cada órbita de medidor . Tales observables invariantes de calibre son, por lo tanto, las "constantes de movimiento" de los generadores de calibre y se denominan observables de Dirac.

Referencias

• Griffiths, David J. (2004). Introducción a la Mecánica Cuántica (2ª ed.) . Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.