Problema constante - Constant problem

En matemáticas , el problema constante es el de decidir si una expresión dada es igual a cero .

El problema

Este problema también se conoce como problema de identidad o método de estimaciones cero . No tiene una declaración formal como tal, pero se refiere a un problema general que prevalece en la teoría de números trascendental . A menudo, las pruebas en la teoría de la trascendencia son pruebas por contradicción . Específicamente, usan alguna función auxiliar para crear un número entero n  ≥ 0, que se muestra para satisfacer n  <1. Claramente, esto significa que n debe tener el valor cero, por lo que surge una contradicción si se puede demostrar que, de hecho, n es no cero.

En muchas pruebas de trascendencia, demostrar que n  ≠ 0 es muy difícil y, por lo tanto, se ha trabajado mucho para desarrollar métodos que puedan usarse para demostrar la no desaparición de ciertas expresiones. La mera generalidad del problema es lo que hace que sea difícil probar resultados generales o encontrar métodos generales para atacarlo. El número n que surge puede involucrar integrales , límites , polinomios , otras funciones y determinantes de matrices .

Resultados

En ciertos casos, existen algoritmos u otros métodos para probar que una expresión dada no es cero, o para mostrar que el problema es indecidible . Por ejemplo, si x 1 , ...,  x n son números reales , entonces existe un algoritmo para decidir si hay enteros a 1 , ...,  a n tales que

Si la expresión que nos interesa contiene una función oscilante, como la función seno o coseno , entonces se ha demostrado que el problema es indecidible, resultado conocido como teorema de Richardson . En general, se requieren métodos específicos de la expresión en estudio para demostrar que no puede ser cero.

Ver también

Referencias

  1. ^ Richardson, Daniel (1968). "Algunos problemas insolubles que involucran funciones elementales de una variable real". Revista de lógica simbólica . 33 : 514–520. doi : 10.2307 / 2271358 . JSTOR  2271358 .
  2. ^ Bailey, David H. (enero de 1988). "Resultados numéricos sobre la trascendencia de constantes que implican π, ey la constante de Euler" (PDF) . Matemáticas de la Computación . 50 (20): 275–281. doi : 10.1090 / S0025-5718-1988-0917835-1 .