Teorema de Blaschke-Lebesgue - Blaschke–Lebesgue theorem

Un triángulo de Reuleaux , una curva de ancho constante cuya área es mínima entre todos los conjuntos convexos con el mismo ancho

En geometría plana, el teorema de Blaschke-Lebesgue establece que el triángulo de Reuleaux tiene la menor área de todas las curvas de ancho constante dado . En la forma en que cada curva de un ancho dado tiene un área al menos tan grande como el triángulo de Reuleaux, también se conoce como desigualdad de Blaschke-Lebesgue . Lleva el nombre de Wilhelm Blaschke y Henri Lebesgue , quienes lo publicaron por separado a principios del siglo XX.

Declaración

El ancho de un conjunto convexo en el plano euclidiano se define como la distancia mínima entre dos líneas paralelas cualesquiera que lo encierran. Las dos líneas de distancia mínima son necesariamente líneas tangentes a , en lados opuestos. Una curva de ancho constante es el límite de un conjunto convexo con la propiedad de que, para cada dirección de líneas paralelas, las dos líneas tangentes con esa dirección que son tangentes a los lados opuestos de la curva están a una distancia igual al ancho. Estas curvas incluyen tanto el círculo como el triángulo de Reuleaux , un triángulo curvo formado por arcos de tres círculos de igual radio, cada uno centrado en un punto de cruce de los otros dos círculos. El área encerrada por un triángulo de Reuleaux con ancho es ${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle w}$

${\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} (\ pi - {\ sqrt {3}}) w ^ {2} \ approx 0,70477w ^ {2}.}$

El teorema de Blaschke-Lebesgue establece que esta es el área mínima única posible de una curva de ancho constante, y la desigualdad de Blaschke-Lebesgue establece que todo conjunto convexo de ancho tiene un área al menos así de grande, con igualdad solo cuando el conjunto está limitado por un triángulo de Reuleaux. ${\ Displaystyle w}$

Historia

El teorema de Blaschke-Lebesgue fue publicado de forma independiente en 1914 por Henri Lebesgue y en 1915 por Wilhelm Blaschke . Desde su trabajo, se han publicado varias otras pruebas.

En otros planos

El mismo teorema también es cierto en el plano hiperbólico . Para cualquier función de distancia convexa en el plano (una distancia definida como la norma de la diferencia vectorial de puntos, para cualquier norma), se cumple un teorema análogo, según el cual la curva de área mínima de ancho constante es una intersección de tres métricas discos, cada uno centrado en un punto límite de los otros dos.

Solicitud

El teorema de Blaschke-Lebesgue se ha utilizado para proporcionar una estrategia eficiente para generalizaciones del juego de Battleship , en el que un jugador tiene una nave formada por intersección de la cuadrícula entera con un conjunto convexo y el otro jugador, después de haber encontrado un punto en este barco, tiene como objetivo determinar su ubicación utilizando el menor número posible de disparos fallidos. Para un barco con puntos de cuadrícula, es posible limitar el número de disparos fallidos por . ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle O (\ log \ log n)}$

Problemas relacionados

Por la desigualdad isoperimétrica , la curva de ancho constante en el plano euclidiano con el área más grande es un círculo . El perímetro de una curva de ancho constante es , independientemente de su forma; este es el teorema de Barbier . ${\ Displaystyle w}$${\ Displaystyle \ pi w}$

Se desconoce qué superficies de ancho constante en el espacio tridimensional tienen el volumen mínimo. Bonnesen y Fenchel conjeturaron en 1934 que los minimizadores son los dos cuerpos de Meissner obtenidos al redondear algunos de los bordes de un tetraedro de Reuleaux , pero esto sigue sin probarse.

Referencias