Geometría euclidiana - Euclidean geometry

Detalle de Raphael 's la escuela de Atenas con un matemático griego - quizá representando Euclides o Arquímedes  - usando un compás para dibujar una construcción geométrica.

La geometría euclidiana es un sistema matemático atribuido al matemático griego alejandrino Euclides , que describió en su libro de texto sobre geometría : los elementos . El método de Euclides consiste en asumir un pequeño conjunto de axiomas intuitivamente atractivos y deducir muchas otras proposiciones ( teoremas ) de estos. Aunque muchos de los resultados de Euclides habían sido establecidos por matemáticos anteriores, Euclides fue el primero en mostrar cómo estas proposiciones podían encajar en un sistema lógico y deductivo comprensivo . Los Elementos comienzan con la geometría plana , que todavía se enseña en la escuela secundaria (escuela secundaria) como el primer sistema axiomático y los primeros ejemplos de pruebas matemáticas . Continúa con la geometría sólida de tres dimensiones . Gran parte de los Elementos establece los resultados de lo que ahora se llama álgebra y teoría de números , explicados en lenguaje geométrico.

Durante más de dos mil años, el adjetivo "euclidiano" fue innecesario porque no se había concebido ningún otro tipo de geometría. Los axiomas de Euclides parecían tan intuitivamente obvios (con la posible excepción del postulado paralelo ) que cualquier teorema probado a partir de ellos se consideraba verdadero en un sentido absoluto, a menudo metafísico. Hoy, sin embargo, se conocen muchas otras geometrías no euclidianas autoconsistentes , y las primeras se descubrieron a principios del siglo XIX. Una implicación de la teoría de la relatividad general de Albert Einstein es que el espacio físico en sí no es euclidiano, y el espacio euclidiano es una buena aproximación para él solo en distancias cortas (en relación con la fuerza del campo gravitacional ).

La geometría euclidiana es un ejemplo de geometría sintética , ya que procede lógicamente de axiomas que describen propiedades básicas de objetos geométricos como puntos y líneas, a proposiciones sobre esos objetos, todo sin el uso de coordenadas para especificar esos objetos. Esto contrasta con la geometría analítica , que usa coordenadas para traducir proposiciones geométricas en fórmulas algebraicas.

Los elementos

Los Elementos es principalmente una sistematización de conocimientos previos de geometría. Su mejora con respecto a los tratamientos anteriores se reconoció rápidamente, con el resultado de que había poco interés en preservar los anteriores, y ahora casi todos se han perdido.

Hay 13 libros en los Elementos :

Los libros I – IV y VI discuten la geometría plana. Se prueban muchos resultados sobre figuras planas, por ejemplo, "En cualquier triángulo, dos ángulos tomados juntos de cualquier manera son menos que dos ángulos rectos". (Libro I, proposición 17) y el teorema de Pitágoras "En triángulos rectángulos, el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que contienen el ángulo recto". (Libro I, proposición 47)

Los libros V y VII-X tratan de la teoría de números, y los números se tratan geométricamente como longitudes de segmentos de línea o áreas de regiones. Se introducen nociones como números primos y números racionales e irracionales . Está probado que hay infinitos números primos.

Los libros XI-XIII se refieren a la geometría sólida . Un resultado típico es la relación 1: 3 entre el volumen de un cono y un cilindro con la misma altura y base. Se construyen los sólidos platónicos .

Axiomas

El postulado paralelo (Postulado 5): Si dos líneas se cruzan con una tercera de tal manera que la suma de los ángulos internos en un lado es menor que dos ángulos rectos, entonces las dos líneas inevitablemente deben cruzarse entre sí en ese lado si se extienden mucho. suficiente.

La geometría euclidiana es un sistema axiomático , en el que todos los teoremas ("enunciados verdaderos") se derivan de un pequeño número de axiomas simples. Hasta el advenimiento de la geometría no euclidiana , estos axiomas se consideraban obviamente verdaderos en el mundo físico, por lo que todos los teoremas serían igualmente verdaderos. Sin embargo, el razonamiento de Euclides desde los supuestos hasta las conclusiones sigue siendo válido independientemente de su realidad física.

Cerca del comienzo del primer libro de los Elementos , Euclides da cinco postulados (axiomas) para la geometría plana, expresados ​​en términos de construcciones (según la traducción de Thomas Heath):

Postule lo siguiente:
  1. Dibujar una línea recta desde cualquier punto a cualquier punto.
  2. Producir (extender) una línea recta finita continuamente en línea recta.
  3. Para describir un círculo con cualquier centro y distancia (radio).
  4. Que todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
  5. [El postulado de las paralelas ]: que, si una línea recta que cae sobre dos líneas rectas hace que los ángulos interiores del mismo lado sean menores que dos ángulos rectos, las dos líneas rectas, si se producen indefinidamente, se encuentran en el lado en el que los ángulos son menores. de dos ángulos rectos.

Aunque Euclides sólo afirma explícitamente la existencia de los objetos construidos, en su razonamiento se supone implícitamente que son únicos.

Los Elementos también incluyen las siguientes cinco "nociones comunes":

  1. Las cosas que son iguales a una misma cosa también son iguales entre sí (la propiedad transitiva de una relación euclidiana ).
  2. Si se suman iguales a iguales, entonces los totales son iguales (propiedad de suma de la igualdad).
  3. Si los iguales se restan de los iguales, entonces las diferencias son iguales (propiedad de la igualdad de la resta).
  4. Las cosas que coinciden son iguales entre sí (propiedad reflexiva).
  5. El todo es más grande que la parte.

Los eruditos modernos están de acuerdo en que los postulados de Euclides no proporcionan la base lógica completa que Euclides requirió para su presentación. Los tratamientos modernos utilizan conjuntos de axiomas más extensos y completos.

Postulado paralelo

Para los antiguos, el postulado paralelo parecía menos obvio que los demás. Aspiraban a crear un sistema de proposiciones absolutamente ciertas, y les parecía que el postulado de la línea paralela requería una prueba a partir de enunciados más simples. Ahora se sabe que tal demostración es imposible, ya que se pueden construir sistemas consistentes de geometría (obedeciendo a los otros axiomas) en los que el postulado paralelo es verdadero y otros en los que es falso. El mismo Euclides parece haberlo considerado cualitativamente diferente de los demás, como lo demuestra la organización de los Elementos : sus primeras 28 proposiciones son las que pueden probarse sin él.

Se pueden formular muchos axiomas alternativos que son lógicamente equivalentes al postulado paralelo (en el contexto de los otros axiomas). Por ejemplo, el axioma de Playfair dice:

En un plano , a través de un punto que no está en una línea recta dada, como máximo se puede trazar una línea que nunca se encuentra con la línea dada.

La cláusula "como máximo" es todo lo que se necesita, ya que se puede probar a partir de los axiomas restantes que existe al menos una línea paralela.

Una prueba de los Elementos de Euclides de que, dado un segmento de línea, se puede construir un triángulo equilátero que incluya el segmento como uno de sus lados: un triángulo equilátero ΑΒΓ se hace dibujando círculos Δ y Ε centrados en los puntos Α y Β, y tomando una intersección de los círculos como el tercer vértice del triángulo.

Métodos de prueba

La geometría euclidiana es constructiva . Los postulados 1, 2, 3 y 5 afirman la existencia y unicidad de ciertas figuras geométricas, y estas afirmaciones son de naturaleza constructiva: es decir, no solo se nos dice que ciertas cosas existen, sino que también se nos dan métodos para crearlas con no más que un compás y una regla sin marcar . En este sentido, la geometría euclidiana es más concreta que muchos sistemas axiomáticos modernos como la teoría de conjuntos , que a menudo afirman la existencia de objetos sin decir cómo construirlos, o incluso afirman la existencia de objetos que no pueden construirse dentro de la teoría. Estrictamente hablando, las líneas en el papel son modelos de los objetos definidos dentro del sistema formal, más que instancias de esos objetos. Por ejemplo, una línea recta euclidiana no tiene ancho, pero cualquier línea dibujada real sí lo tendrá. Aunque casi todos los matemáticos modernos consideran que los métodos no constructivos son tan sólidos como los constructivos, las demostraciones constructivas de Euclides a menudo suplantaron a las no constructivas falaces, por ejemplo, algunas de las demostraciones de los pitagóricos que involucraban números irracionales, que por lo general requerían una afirmación como "Encuentra la mayor medida común". de ..."

Euclides usó a menudo prueba por contradicción . La geometría euclidiana también permite el método de superposición, en el que una figura se transfiere a otro punto del espacio. Por ejemplo, la proposición I.4, congruencia de triángulos lado-ángulo-lado, se demuestra moviendo uno de los dos triángulos de modo que uno de sus lados coincida con el lado igual del otro triángulo, y luego probando que los otros lados también coinciden. . Algunos tratamientos modernos añaden un sexto postulado, la rigidez del triángulo, que puede utilizarse como alternativa a la superposición.

Sistema de medición y aritmética

La geometría euclidiana tiene dos tipos fundamentales de medidas: ángulo y distancia . La escala del ángulo es absoluta y Euclides usa el ángulo recto como su unidad básica, de modo que, por ejemplo, un ángulo de 45 grados se denominaría la mitad de un ángulo recto. La escala de distancia es relativa; uno elige arbitrariamente un segmento de línea con una cierta longitud distinta de cero como unidad, y otras distancias se expresan en relación con él. La suma de distancias se representa mediante una construcción en la que un segmento de línea se copia al final de otro segmento de línea para extender su longitud y, de manera similar, para la resta.

Las medidas de área y volumen se derivan de distancias. Por ejemplo, un rectángulo con un ancho de 3 y una longitud de 4 tiene un área que representa el producto 12. Como esta interpretación geométrica de la multiplicación se limitaba a tres dimensiones, no había una forma directa de interpretar el producto de cuatro o más. números, y Euclides evitó tales productos, aunque están implícitos, por ejemplo, en la prueba del libro IX, proposición 20.

Un ejemplo de congruencia. Las dos figuras de la izquierda son congruentes, mientras que la tercera es similar a ellas. La última cifra no es ninguna. Las congruencias alteran algunas propiedades, como la ubicación y la orientación, pero dejan otras sin cambios, como la distancia y los ángulos . Este último tipo de propiedades se denominan invariantes y estudiarlas es la esencia de la geometría.

Euclides se refiere a un par de líneas, o un par de figuras planas o sólidas, como "iguales" (ἴσος) si sus longitudes, áreas o volúmenes son iguales respectivamente, y de manera similar para los ángulos. El término más fuerte " congruente " se refiere a la idea de que una figura completa tiene el mismo tamaño y forma que otra figura. Alternativamente, dos figuras son congruentes si una se puede mover una encima de la otra para que coincida exactamente con ella. (Se permite darle la vuelta). Así, por ejemplo, un rectángulo de 2x6 y un rectángulo de 3x4 son iguales pero no congruentes, y la letra R es congruente con su imagen especular. Las figuras que serían congruentes excepto por sus diferentes tamaños se denominan similares . Los ángulos correspondientes en un par de formas similares son congruentes y los lados correspondientes son proporcionales entre sí.

Notación y terminología

Denominación de puntos y cifras

Los puntos se nombran habitualmente con letras mayúsculas del alfabeto. Otras figuras, como líneas, triángulos o círculos, se nombran enumerando una cantidad suficiente de puntos para distinguirlos sin ambigüedades de la figura relevante, por ejemplo, el triángulo ABC normalmente sería un triángulo con vértices en los puntos A, B y C .

Ángulos complementarios y suplementarios

Los ángulos cuya suma es un ángulo recto se denominan complementarios . Los ángulos complementarios se forman cuando un rayo comparte el mismo vértice y apunta en una dirección que está entre los dos rayos originales que forman el ángulo recto. El número de rayos entre los dos rayos originales es infinito.

Los ángulos cuya suma es un ángulo recto son suplementarios . Los ángulos suplementarios se forman cuando un rayo comparte el mismo vértice y apunta en una dirección que está entre los dos rayos originales que forman el ángulo recto (ángulo de 180 grados). El número de rayos entre los dos rayos originales es infinito.

Versiones modernas de la notación de Euclides

En la terminología moderna, los ángulos normalmente se medirían en grados o radianes .

Los libros de texto escolares modernos a menudo definen figuras separadas llamadas líneas (infinito), rayos (semi-infinito) y segmentos de línea (de longitud finita). Euclides, en lugar de discutir un rayo como un objeto que se extiende hasta el infinito en una dirección, normalmente usaría locuciones como "si la línea se extiende a una longitud suficiente", aunque ocasionalmente se refirió a "líneas infinitas". Una "línea" en Euclides podría ser recta o curva, y usó el término más específico "línea recta" cuando fue necesario.

Algunos resultados importantes o bien conocidos

Pons Asinorum

El pons asinorum ( puente de asnos ) establece que en los triángulos isósceles los ángulos en la base son iguales entre sí y, si las líneas rectas iguales se producen más allá, entonces los ángulos debajo de la base son iguales entre sí. Su nombre puede atribuirse a su papel frecuente como la primera prueba real en los Elementos de la inteligencia del lector y como un puente hacia las proposiciones más difíciles que siguieron. También podría llamarse así debido a la semejanza de la figura geométrica con un puente empinado que solo un burro de pies seguros podría cruzar.

Congruencia de triángulos

La congruencia de los triángulos se determina especificando dos lados y el ángulo entre ellos (SAS), dos ángulos y el lado entre ellos (ASA) o dos ángulos y un lado adyacente correspondiente (AAS). Sin embargo, especificar dos lados y un ángulo adyacente (SSA) puede producir dos triángulos distintos posibles a menos que el ángulo especificado sea un ángulo recto.

Los triángulos son congruentes si tienen los tres lados iguales (SSS), dos lados y el ángulo entre ellos iguales (SAS), o dos ángulos y un lado iguales (ASA) (Libro I, proposiciones 4, 8 y 26). Los triángulos con tres ángulos iguales (AAA) son similares, pero no necesariamente congruentes. Además, los triángulos con dos lados iguales y un ángulo adyacente no son necesariamente iguales o congruentes.

Suma de ángulos de triángulo

La suma de los ángulos de un triángulo es igual a un ángulo recto (180 grados). Esto hace que un triángulo equilátero tenga tres ángulos interiores de 60 grados. Además, hace que cada triángulo tenga al menos dos ángulos agudos y hasta un ángulo obtuso o recto .

Teorema de pitágoras

El célebre teorema de Pitágoras (libro I, proposición 47) establece que en cualquier triángulo rectángulo, el área del cuadrado cuyo lado es la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de las áreas de los cuadrados cuyos lados son las dos piernas (los dos lados que se encuentran en ángulo recto).

Teorema de Tales

El teorema de Tales , que lleva el nombre de Tales de Mileto, establece que si A, B y C son puntos en un círculo donde la línea AC es un diámetro del círculo, entonces el ángulo ABC es un ángulo recto. Cantor supuso que Tales probó su teorema por medio del Libro de Euclides I, Prop.32 a la manera del Libro de Euclides III, Prop.31.

Escalado de área y volumen.

En la terminología moderna, el área de una figura plana es proporcional al cuadrado de cualquiera de sus dimensiones lineales, y el volumen de un sólido al cubo, . Euclides demostró estos resultados en varios casos especiales, como el área de un círculo y el volumen de un sólido paralelepípedo. Euclides determinó algunas, pero no todas, las constantes de proporcionalidad relevantes. Por ejemplo, fue su sucesor Arquímedes quien demostró que una esfera tiene 2/3 del volumen del cilindro que la circunscribe.

Aplicaciones

Debido al estado fundamental de la geometría euclidiana en matemáticas, no es práctico dar más que una muestra representativa de aplicaciones aquí.

Como sugiere la etimología de la palabra, una de las primeras razones de interés en la geometría fue la topografía , y ciertos resultados prácticos de la geometría euclidiana, como la propiedad del ángulo recto del triángulo 3-4-5, se usaron mucho antes de que aparecieran. fueron probados formalmente. Los tipos fundamentales de medidas en la geometría euclidiana son distancias y ángulos, los cuales pueden ser medidos directamente por un topógrafo. Históricamente, las distancias se medían a menudo con cadenas, como la cadena de Gunter , y los ángulos mediante círculos graduados y, más tarde, el teodolito .

Una aplicación de la geometría sólida euclidiana es la determinación de arreglos de empaquetamiento , como el problema de encontrar el empaquetamiento más eficiente de esferas en n dimensiones. Este problema tiene aplicaciones en la detección y corrección de errores .

La óptica geométrica utiliza la geometría euclidiana para analizar el enfoque de la luz mediante lentes y espejos.

La geometría se usa ampliamente en arquitectura .

La geometría se puede utilizar para diseñar origami . Algunos problemas clásicos de construcción de geometría son imposibles con el compás y la regla , pero se pueden resolver con origami .

Gran parte del CAD (diseño asistido por computadora) y CAM (fabricación asistida por computadora) se basa en la geometría euclidiana. La geometría de diseño generalmente consiste en formas delimitadas por aviones, cilindros, conos, toros, etc. En la actualidad, CAD / CAM es esencial en el diseño de casi todo, incluidos automóviles, aviones, barcos y teléfonos inteligentes. Hace algunas décadas, dibujantes sofisticados aprendieron un poco de geometría euclidiana bastante avanzada, incluyendo cosas como el teorema de Pascal y el teorema de Brianchon . Pero ahora no tienen que hacerlo, porque todas las construcciones geométricas las realizan programas CAD.

Como descripción de la estructura del espacio.

Euclides creía que sus axiomas eran declaraciones evidentes sobre la realidad física. Las demostraciones de Euclides dependen de supuestos que quizás no sean obvios en los axiomas fundamentales de Euclides, en particular que ciertos movimientos de figuras no cambian sus propiedades geométricas, como las longitudes de los lados y los ángulos interiores, los llamados movimientos euclidianos , que incluyen traslaciones, reflejos y rotaciones. de figuras. Tomado como una descripción física del espacio, el postulado 2 (extender una línea) afirma que el espacio no tiene huecos ni límites; el postulado 4 (igualdad de ángulos rectos) dice que el espacio es isotrópico y las figuras pueden moverse a cualquier lugar manteniendo la congruencia ; y postulado 5 (el postulado paralelo ) de que el espacio es plano (no tiene curvatura intrínseca ).

Como se analiza con más detalle a continuación, la teoría de la relatividad de Albert Einstein modifica significativamente este punto de vista.

El carácter ambiguo de los axiomas tal como los formuló originalmente Euclides hace posible que diferentes comentaristas no estén de acuerdo sobre algunas de sus otras implicaciones para la estructura del espacio, como si es o no infinito (ver más abajo) y cuál es su topología . Las reformulaciones modernas y más rigurosas del sistema suelen tener como objetivo una separación más limpia de estos problemas. Al interpretar los axiomas de Euclides en el espíritu de este enfoque más moderno, los axiomas 1-4 son consistentes con el espacio infinito o finito (como en la geometría elíptica ), y los cinco axiomas son consistentes con una variedad de topologías (por ejemplo, un plano, un cilindro , o un toro para geometría euclidiana bidimensional).

Trabajo posterior

Arquímedes y Apolonio

Una esfera tiene 2/3 del volumen y el área de la superficie de su cilindro que la circunscribe. Una esfera y un cilindro se colocaron en la tumba de Arquímedes a petición suya.

Arquímedes (c. 287 a. C. - c. 212 a. C.), una figura colorida sobre la que se registran muchas anécdotas históricas, es recordado junto con Euclides como uno de los más grandes matemáticos de la antigüedad. Aunque los cimientos de su trabajo fueron puestos por Euclides, se cree que su trabajo, a diferencia del de Euclides, fue completamente original. Probó ecuaciones para los volúmenes y áreas de varias figuras en dos y tres dimensiones, y enunció la propiedad de Arquímedes de los números finitos.

Apolonio de Perge (c. 262 a. C. - c. 190 a. C.) es principalmente conocido por su investigación de las secciones cónicas.

René Descartes. Retrato después de Frans Hals , 1648.

Siglo XVII: Descartes

René Descartes (1596-1650) desarrolló la geometría analítica , un método alternativo para formalizar la geometría que se centró en convertir la geometría en álgebra.

En este enfoque, un punto en un plano se representa mediante sus coordenadas cartesianas ( x , y ), una línea se representa mediante su ecuación, etc.

En el enfoque original de Euclides, el teorema de Pitágoras se sigue de los axiomas de Euclides. En el enfoque cartesiano, los axiomas son los axiomas del álgebra, y la ecuación que expresa el teorema de Pitágoras es entonces una definición de uno de los términos en los axiomas de Euclides, que ahora se consideran teoremas.

La ecuacion

definir la distancia entre dos puntos P = ( p x , p y ) y Q = ( q x , q y ) se conoce como la métrica euclidiana , y otras métricas definen geometrías no euclidianas .

En términos de geometría analítica, la restricción de la geometría clásica a las construcciones con compás y regla significa una restricción a las ecuaciones de primer y segundo orden, por ejemplo, y = 2 x + 1 (una línea), o x 2 + y 2 = 7 ( un circulo).

También en el siglo XVII, Girard Desargues , motivado por la teoría de la perspectiva , introdujo el concepto de puntos, líneas y planos idealizados en el infinito. El resultado se puede considerar como un tipo de geometría generalizada, geometría proyectiva , pero también se puede utilizar para producir demostraciones en geometría euclidiana ordinaria en las que se reduce el número de casos especiales.

Cuadrar el círculo: las áreas de este cuadrado y este círculo son iguales. En 1882, se comprobó que esta figura no se puede construir en un número finito de pasos con un compás y una regla idealizados .

siglo 18

Los geométricos del siglo XVIII lucharon por definir los límites del sistema euclidiano. Muchos intentaron en vano probar el quinto postulado de los cuatro primeros. En 1763, se habían publicado al menos 28 pruebas diferentes, pero todas resultaron incorrectas.

Antes de este período, los geómetras también intentaron determinar qué construcciones podrían lograrse en la geometría euclidiana. Por ejemplo, el problema de trisecar un ángulo con un compás y una regla es uno que ocurre naturalmente dentro de la teoría, ya que los axiomas se refieren a operaciones constructivas que se pueden realizar con esas herramientas. Sin embargo, siglos de esfuerzos no lograron encontrar una solución a este problema, hasta que Pierre Wantzel publicó una prueba en 1837 de que tal construcción era imposible. Otras construcciones que resultaron imposibles incluyen doblar el cubo y cuadrar el círculo . En el caso de doblar el cubo, la imposibilidad de la construcción se origina en el hecho de que el método del compás y la regla no tiene ecuaciones cuyo orden es una potencia integral de dos, mientras que doblar un cubo requiere la solución de una ecuación de tercer orden.

Euler discutió una generalización de la geometría euclidiana llamada geometría afín , que conserva el quinto postulado sin modificar mientras debilita los postulados tres y cuatro de una manera que elimina las nociones de ángulo (de donde los triángulos rectángulos pierden significado) y de igualdad de longitud de los segmentos de línea en general ( de donde los círculos pierden sentido) mientras se retienen las nociones de paralelismo como una relación de equivalencia entre líneas e igualdad de longitud de los segmentos de línea paralelos (por lo que los segmentos de línea continúan teniendo un punto medio).

Geometría no euclidiana y del siglo XIX

Comparación de geometrías elípticas, euclidianas e hiperbólicas en dos dimensiones

A principios del siglo XIX, Carnot y Möbius desarrollaron sistemáticamente el uso de ángulos con signo y segmentos de línea como una forma de simplificar y unificar los resultados.

El desarrollo más significativo del siglo en geometría ocurrió cuando, alrededor de 1830, János Bolyai y Nikolai Ivanovich Lobachevsky publicaron por separado un trabajo sobre geometría no euclidiana , en el que el postulado paralelo no es válido. Dado que la geometría no euclidiana es relativamente consistente con la geometría euclidiana, el postulado paralelo no puede probarse a partir de los otros postulados.

En el siglo XIX, también se comprendió que los diez axiomas y las nociones comunes de Euclides no son suficientes para probar todos los teoremas establecidos en los Elementos . Por ejemplo, Euclides asumió implícitamente que cualquier línea contiene al menos dos puntos, pero esta suposición no se puede probar a partir de los otros axiomas y, por lo tanto, debe ser un axioma en sí mismo. La primera prueba geométrica de los Elementos, que se muestra en la figura anterior, es que cualquier segmento de línea es parte de un triángulo; Euclid construye esto de la manera habitual, dibujando círculos alrededor de ambos extremos y tomando su intersección como el tercer vértice . Sin embargo, sus axiomas no garantizan que los círculos realmente se crucen, porque no afirman la propiedad geométrica de continuidad, que en términos cartesianos es equivalente a la propiedad de completitud de los números reales. A partir de Moritz Pasch en 1882, se han propuesto muchos sistemas axiomáticos mejorados para la geometría, siendo los más conocidos los de Hilbert , George Birkhoff y Tarski .

El siglo XX y la relatividad

Una refutación de la geometría euclidiana como descripción del espacio físico. En una prueba de 1919 de la teoría general de la relatividad, se fotografiaron estrellas (marcadas con líneas horizontales cortas) durante un eclipse solar . Los rayos de luz de las estrellas fueron desviados por la gravedad del Sol en su camino hacia la Tierra. Esto se interpreta como evidencia a favor de la predicción de Einstein de que la gravedad causaría desviaciones de la geometría euclidiana.

La teoría de la relatividad especial de Einstein implica un espacio-tiempo de cuatro dimensiones , el espacio de Minkowski , que no es euclidiano . Esto muestra que las geometrías no euclidianas, que se habían introducido unos años antes para mostrar que el postulado paralelo no se puede probar, también son útiles para describir el mundo físico.

Sin embargo, la "parte espacial" tridimensional del espacio de Minkowski sigue siendo el espacio de la geometría euclidiana. Este no es el caso de la relatividad general , para la cual la geometría de la parte espacial del espacio-tiempo no es geometría euclidiana. Por ejemplo, si un triángulo se construye con tres rayos de luz, entonces, en general, los ángulos interiores no suman 180 grados debido a la gravedad. Un campo gravitacional relativamente débil, como el de la Tierra o el Sol, está representado por una métrica que es aproximadamente, pero no exactamente, euclidiana. Hasta el siglo XX, no había tecnología capaz de detectar estas desviaciones en los rayos de luz de la geometría euclidiana, pero Einstein predijo que tales desviaciones existirían. Posteriormente se verificaron mediante observaciones como la ligera curvatura de la luz de las estrellas por parte del Sol durante un eclipse solar en 1919, y estas consideraciones son ahora una parte integral del software que ejecuta el sistema GPS .

Tratamiento del infinito

Objetos infinitos

Euclides a veces distinguió explícitamente entre "líneas finitas" (por ejemplo, Postulado 2) y " líneas infinitas " (libro I, proposición 12). Sin embargo, normalmente no hacía tales distinciones a menos que fueran necesarias. Los postulados no se refieren explícitamente a líneas infinitas, aunque, por ejemplo, algunos comentaristas interpretan el postulado 3, la existencia de un círculo con cualquier radio, como implicando que el espacio es infinito.

La noción de cantidades infinitesimales había sido previamente discutida extensamente por la Escuela Eleática , pero nadie había podido ponerlas sobre una base lógica firme, con paradojas como la paradoja de Zenón que no habían sido resueltas a satisfacción universal. Euclides utilizó el método del agotamiento en lugar de los infinitesimales.

Los comentaristas antiguos posteriores, como Proclo (410-485 d.C.), trataron muchas preguntas sobre el infinito como cuestiones que exigían una prueba y, por ejemplo, Proclo pretendía probar la divisibilidad infinita de una línea, basándose en una prueba por contradicción en la que consideraba los casos. de números pares e impares de puntos que lo constituyen.

A principios del siglo XX, Otto Stolz , Paul du Bois-Reymond , Giuseppe Veronese y otros produjeron un trabajo controvertido sobre modelos no arquimedianos de geometría euclidiana, en los que la distancia entre dos puntos puede ser infinita o infinitesimal, en el Newton - Sentido de Leibniz . Cincuenta años después, Abraham Robinson proporcionó una base lógica rigurosa para el trabajo de Veronese.

Procesos infinitos

Una razón por la que los antiguos trataban el postulado paralelo como menos seguro que los demás es que verificarlo físicamente requeriría que inspeccionáramos dos líneas para comprobar que nunca se cruzaran, incluso en algún punto muy distante, y esta inspección podría llevar una cantidad infinita. de tiempo.

La formulación moderna de la prueba por inducción no se desarrolló hasta el siglo XVII, pero algunos comentaristas posteriores la consideran implícita en algunas de las pruebas de Euclides, por ejemplo, la prueba de la infinitud de los números primos.

Las supuestas paradojas que involucran series infinitas, como la paradoja de Zenón , son anteriores a Euclides. Euclides evitó tales discusiones, dando, por ejemplo, la expresión para las sumas parciales de la serie geométrica en IX.35 sin comentar sobre la posibilidad de dejar que el número de términos se vuelva infinito.

Base lógica

Lógica clásica

Euclides usó con frecuencia el método de prueba por contradicción y, por lo tanto, la presentación tradicional de la geometría euclidiana asume la lógica clásica , en la que cada proposición es verdadera o falsa, es decir, para cualquier proposición P, la proposición "P o no P" es automáticamente verdadera. .

Estándares modernos de rigor

Colocar la geometría euclidiana sobre una base axiomática sólida fue una preocupación de los matemáticos durante siglos. El papel de las nociones primitivas , o conceptos indefinidos, fue claramente expuesto por Alessandro Padoa de la delegación de Peano en la conferencia de París de 1900:

... cuando comenzamos a formular la teoría, podemos imaginar que los símbolos indefinidos están completamente desprovistos de significado y que las proposiciones no probadas son simplemente condiciones impuestas sobre los símbolos indefinidos.

Entonces, el sistema de ideas que hemos elegido inicialmente es simplemente una interpretación de los símbolos indefinidos; pero ... esta interpretación puede ser ignorada por el lector, que es libre de reemplazarla en su mente por otra interpretación ... que satisfaga las condiciones ...

Las cuestiones lógicas se vuelven así completamente independientes de las cuestiones empíricas o psicológicas ...

El sistema de símbolos indefinidos puede entonces considerarse como la abstracción obtenida de las teorías especializadas que resultan cuando ... el sistema de símbolos indefinidos es reemplazado sucesivamente por cada una de las interpretaciones ...

-  Padoa, Essai d'une théorie algébrique des nombre entiers, avec une Introducción logique à une théorie déductive quelconque

Es decir, las matemáticas son conocimientos independientes del contexto dentro de un marco jerárquico. Como dijo Bertrand Russell :

Si nuestra hipótesis tiene que ver con algo , y no con una o más cosas en particular, entonces nuestras deducciones constituyen matemáticas. Así, las matemáticas pueden definirse como el tema en el que nunca sabemos de qué estamos hablando, ni si lo que estamos diciendo es cierto.

-  Bertrand Russell, Matemáticas y los metafísicos

Estos enfoques fundamentales oscilan entre el fundacionalismo y el formalismo .

Formulaciones axiomáticas

La geometría es la ciencia del razonamiento correcto sobre cifras incorrectas.

-  George Pólya , Cómo resolverlo , p. 208
  • Los axiomas de Euclides: En su disertación en el Trinity College de Cambridge, Bertrand Russell resumió el papel cambiante de la geometría de Euclides en las mentes de los filósofos hasta ese momento. Era un conflicto entre cierto conocimiento, independiente del experimento, y el empirismo, que requería aportaciones experimentales. Este problema quedó claro cuando se descubrió que el postulado paralelo no era necesariamente válido y que su aplicabilidad era un asunto empírico, que decidía si la geometría aplicable era euclidiana o no euclidiana .
  • Axiomas de Hilbert: Los axiomas de Hilbert tenían el objetivo de identificar un conjunto simple y completo de axiomas independientes a partir de los cuales se podían deducir los teoremas geométricos más importantes. Los objetivos destacados eran hacer rigurosa la geometría euclidiana (evitando supuestos ocultos) y dejar claras las ramificaciones del postulado paralelo.
  • Axiomas de Birkhoff: Birkhoff propuso cuatro postulados para la geometría euclidiana que se pueden confirmar experimentalmente con escala y transportador. Este sistema se basa en gran medida en las propiedades de los números reales . Las nociones de ángulo y distancia se convierten en conceptos primitivos.
  • Axiomas de Tarski : Alfred Tarski (1902-1983) y sus estudiantes definieron la geometría euclidiana elemental como la geometría que se puede expresar en lógica de primer orden y que no depende de la teoría de conjuntos para su base lógica, en contraste con los axiomas de Hilbert, que involucran puntos conjuntos. Tarski demostró que su formulación axiomática de la geometría euclidiana elemental es consistente y completa en cierto sentido : existe un algoritmo que, para cada proposición, puede mostrarse como verdadera o falsa. (Esto no viola el teorema de Gödel , porque la geometría euclidiana no puede describir una cantidad suficiente de aritmética para que se aplique el teorema). Esto es equivalente a la decidibilidad de campos cerrados reales , de los cuales la geometría euclidiana elemental es un modelo.

Ver también

Teoremas clásicos

Notas

Referencias

enlaces externos