Vector de Witt - Witt vector

En matemáticas , un vector de Witt es una secuencia infinita de elementos de un anillo conmutativo . Ernst Witt mostró cómo poner una estructura de anillo en el conjunto de vectores de Witt, de tal manera que el anillo de vectores de Witt sobre el campo finito de orden p sea ​​el anillo de enteros -ádicos . Tienen una estructura altamente no intuitiva a primera vista porque su estructura aditiva y multiplicativa depende de un conjunto infinito de fórmulas recursivas que no se comportan como fórmulas de suma y multiplicación para enteros p-ádicos estándar. La idea principal detrás de los vectores de Witt es en lugar de usar la expansión estándar -adic ${\ Displaystyle W (\ mathbb {F} _ {p})}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle p}$

${\ Displaystyle a = a_ {0} + a_ {1} p + a_ {2} p ^ {2} + \ cdots}$

para representar un elemento en , podemos considerar en cambio una expansión usando el carácter Teichmuller${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$

${\ Displaystyle \ omega: \ mathbb {F} _ {p} ^ {*} \ to \ mathbb {Z} _ {p} ^ {*}}$

que envía cada elemento del conjunto de soluciones in a un elemento del conjunto de soluciones in . Es decir, expandimos elementos en términos de raíces de unidad en lugar de elementos lucrativos en . Entonces podemos expresar un entero -ádico como una suma infinita ${\ displaystyle x ^ {p-1} -1}$${\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {p}}$${\ displaystyle x ^ {p-1} -1}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$${\ Displaystyle \ prod \ mathbb {F} _ {p}}$${\ Displaystyle p}$

${\ Displaystyle \ omega (a) = \ omega (a_ {0}) + \ omega (a_ {1}) p + \ omega (a_ {2}) p ^ {2} + \ cdots}$

que da un vector de Witt

${\ Displaystyle (\ omega (a_ {0}), \ omega (a_ {1}), \ omega (a_ {2}), \ ldots)}$

Entonces, la estructura aditiva y multiplicativa no trivial en los vectores de Witt proviene de usar este mapa para dar una estructura aditiva y multiplicativa tal que induce un morfismo de anillo conmutativo. ${\ Displaystyle W (\ mathbb {F} _ {p})}$${\ Displaystyle \ omega}$

Historia

En el siglo XIX, Ernst Eduard Kummer estudió extensiones cíclicas de campos como parte de su trabajo sobre el último teorema de Fermat . Esto llevó al tema ahora conocido como teoría de Kummer . Sea k un campo que contiene una raíz n- ésima primitiva de la unidad. La teoría de Kummer clasifica extensiones de campo cíclico de grado n K de k . Dichos campos están en biyección con el orden n grupos cíclicos , donde corresponde a . ${\ Displaystyle \ Delta \ subseteq k ^ {\ times} / (k ^ {\ times}) ^ {n}}$${\ Displaystyle \ Delta}$${\ Displaystyle K = k ({\ sqrt [{n}] {\ Delta}})}$

Pero suponga que k tiene la característica p . El problema de estudiar extensiones de grado p de k , o más generalmente extensiones de grado p ⁿ , puede parecer superficialmente similar a la teoría de Kummer. Sin embargo, en esta situación, k no puede contener una p- ésima raíz de unidad primitiva . Si x es un p º raíz de la unidad de k , entonces se satisface . Pero considere la expresión . Al expandir usando coeficientes binomiales vemos que la operación de elevar a la p- ésima potencia, conocida aquí como el homomorfismo de Frobenius , introduce el factor p en cada coeficiente excepto el primero y el último, por lo que módulo p estas ecuaciones son iguales. Por tanto . En consecuencia, la teoría de Kummer nunca es aplicable a extensiones cuyo grado sea divisible por la característica. ${\ Displaystyle x ^ {p} = 1}$${\ displaystyle (x-1) ^ {p} = 0}$${\ Displaystyle x = 1}$

El caso en el que la característica divide el grado se llama ahora teoría de Artin-Schreier porque Artin y Schreier hicieron los primeros avances. Su motivación inicial fue el teorema de Artin-Schreier , que caracteriza a los campos cerrados reales como aquellos cuyo grupo de Galois absoluto tiene orden dos. Esto los inspiró a preguntarse qué otros campos tenían grupos de Galois absolutos finitos. En medio de demostrar que no existen otros campos de este tipo, demostraron que las extensiones de grado p de un campo k de característica p eran lo mismo que los campos de división de los polinomios de Artin-Schreier . Estos son por definición de la forma. Al repetir su construcción, describieron extensiones de grado p ² . Abraham Adrian Albert usó esta idea para describir extensiones de grado p ⁿ . Cada repetición implicaba complicadas condiciones algebraicas para asegurar que la extensión del campo fuera normal. ${\ Displaystyle x ^ {p} -xa.}$

Schmid generalizó aún más a álgebras cíclicas no conmutativas de grado p ⁿ . En el proceso de hacerlo, aparecieron ciertos polinomios relacionados con la suma de enteros -ádicos . Witt aprovechó estos polinomios. Utilizándolos sistemáticamente, pudo dar construcciones simples y unificadas de extensiones de campo de grado p ⁿ y álgebras cíclicas. Específicamente, introdujo un anillo ahora llamado W _n ( k ), el anillo de los vectores Witt típicos p truncados n . Este anillo tiene k como cociente, y viene con un operador F que se llama operador de Frobenius porque se reduce al operador de Frobenius en k . Witt observa que el grado p ⁿ análogo de los polinomios de Artin-Schreier es ${\ Displaystyle p}$

${\ Displaystyle F (x) -xa,}$

donde . Para completar la analogía con la teoría de Kummer, defina ser el operador. Entonces las extensiones de grado p ⁿ de k están en correspondencia biyectiva con subgrupos cíclicos de orden p ⁿ , donde corresponde al campo . ${\ Displaystyle a \ in W_ {n} (k)}$${\ Displaystyle \ wp}$${\ Displaystyle x \ mapsto F (x) -x.}$${\ Displaystyle \ Delta \ subseteq W_ {n} (k) / \ wp (W_ {n} (k))}$${\ Displaystyle \ Delta}$${\ Displaystyle k (\ wp ^ {- 1} (\ Delta))}$

Motivación

Cualquier entero -ádico (un elemento de , que no debe confundirse con ) se puede escribir como una serie de potencias , donde normalmente se toman del intervalo de enteros . Es difícil proporcionar una expresión algebraica para la suma y la multiplicación usando esta representación, ya que uno enfrenta el problema de llevar entre dígitos. Sin embargo, tomar coeficientes representativos es solo una de las muchas opciones, y el propio Hensel (el creador de los números -ádicos) sugirió las raíces de la unidad en el campo como representantes. Estos representantes son, por tanto, el número junto con las raíces de la unidad ; es decir, las soluciones de in , de modo que . Esta elección se extiende naturalmente a las extensiones de anillo en las que el campo de residuos se amplía con cierta potencia de . De hecho, son estos campos (los campos de fracciones de los anillos) los que motivaron la elección de Hensel. Ahora los representantes son las soluciones en el campo . Llame al campo , con una raíz primitiva de unidad apropiada (sobre ). Los representantes son entonces y para . Dado que estos representantes forman un conjunto multiplicativo, pueden considerarse personajes. Unos treinta años después de las obras de Hensel, Teichmüller estudió estos personajes, que ahora llevan su nombre, lo que le llevó a caracterizar la estructura de todo el campo en términos del campo de residuos. Estos representantes de Teichmüller pueden identificarse con los elementos del campo finito de orden tomando residuos modulo in , y los elementos de son llevados a sus representantes por el personaje de Teichmüller . Esta operación identifica el conjunto de enteros con secuencias infinitas de elementos de . ${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z} = \ mathbb {F} _ {p}}$ ${\ Displaystyle a_ {0} + a_ {1} p ^ {1} + a_ {2} p ^ {2} + \ cdots}$${\ Displaystyle a_ {i}}$${\ Displaystyle [0, p-1] = \ {0,1,2, \ ldots, p-1 \}}$${\ Displaystyle a_ {i} \ in [0, p-1]}$${\ Displaystyle p}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle (p-1) ^ {\ text {th}}}$ ${\ Displaystyle x ^ {p} -x = 0}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$${\ Displaystyle a_ {i} = a_ {i} ^ {p}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$${\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {q}}$${\ Displaystyle q = p ^ {f}}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle q}$${\ Displaystyle x ^ {q} -x = 0}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} (\ eta)}$${\ Displaystyle \ eta}$${\ Displaystyle (q-1) ^ {\ text {th}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$${\ displaystyle 0}$${\ Displaystyle \ eta ^ {i}}$${\ Displaystyle 0 \ leq i \ leq q-2}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {q}}$${\ Displaystyle q}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} (\ eta)}$${\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {q} ^ {\ times}}$ ${\ Displaystyle \ omega: \ mathbb {F} _ {q} ^ {\ times} \ to \ mathbb {Z} _ {p} (\ eta) ^ {\ times}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} (\ eta)}$${\ Displaystyle \ omega (\ mathbb {F} _ {q} ^ {\ times}) \ cup \ {0 \}}$

Tomando esos representantes, las expresiones para la suma y la multiplicación se pueden escribir en forma cerrada. Ahora tenemos el siguiente problema (indicado para el caso más simple :) : dadas dos secuencias infinitas de elementos de, describen su suma y producto como enteros -ádicos explícitamente. Este problema fue resuelto por Witt usando vectores de Witt. ${\ Displaystyle q = p}$${\ Displaystyle \ omega (\ mathbb {F} _ {p} ^ {\ times}) \ cup \ {0 \},}$${\ Displaystyle p}$

Boceto motivacional detallado

Derivamos el anillo de enteros -ádicos del campo finito usando una construcción que se generaliza naturalmente a la construcción vectorial de Witt. ${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$${\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {p} = \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}}$

El anillo de enteros -ádicos puede entenderse como el límite proyectivo de. Específicamente, está formado por las secuencias con tal que para Es decir, cada elemento sucesivo de la secuencia es igual a los elementos anteriores módulo una potencia menor de p ; este es el límite inverso de las proyecciones${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {i} \ mathbb {Z}.}$${\ Displaystyle (n_ {0}, n_ {1}, \ ldots)}$${\ Displaystyle n_ {i} \ in \ mathbb {Z} / p ^ {i + 1} \ mathbb {Z},}$${\ Displaystyle n_ {j} \ equiv n_ {i} {\ bmod {p}} ^ {i + 1}}$${\ Displaystyle j \ geq i.}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {i + 1} \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z} / p ^ {i} \ mathbb {Z}.}$

Los elementos de pueden expandirse como series de potencias (formales) en ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$${\ Displaystyle p}$

${\ Displaystyle a_ {0} + a_ {1} p ^ {1} + a_ {2} p ^ {2} + \ cdots,}$

donde generalmente se toman del intervalo de enteros Por supuesto, esta serie de potencias generalmente no convergerá al usar la métrica estándar en los reales, pero sí convergerá con la métrica -ádica . Esbozaremos un método para definir operaciones de anillo para tal serie de potencias. ${\ Displaystyle a_ {i}}$${\ Displaystyle [0, p-1] = \ {0,1, \ ldots, p-1 \}.}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p},}$${\ Displaystyle p}$

Si se denota por , se podría considerar la siguiente definición de adición: ${\ Displaystyle a + b}$${\ Displaystyle c}$

${\ Displaystyle {\ begin {align} c_ {0} & \ equiv a_ {0} + b_ {0} && {\ bmod {p}} \\ c_ {0} + c_ {1} p & \ equiv (a_ { 0} + b_ {0}) + (a_ {1} + b_ {1}) p && {\ bmod {p}} ^ {2} \\ c_ {0} + c_ {1} p + c_ {2} p ^ {2} & \ equiv (a_ {0} + b_ {0}) + (a_ {1} + b_ {1}) p + (a_ {2} + b_ {2}) p ^ {2} && {\ bmod {p}} ^ {3} \ end {alineado}}}$

y se podría hacer una definición similar de multiplicación. Sin embargo, esta no es una fórmula cerrada, ya que los nuevos coeficientes no están en el conjunto permitido ${\ Displaystyle [0, p-1].}$

Representar elementos en F _p como elementos en el anillo de los vectores de Witt W (F _p )

Hay un subconjunto de coeficientes mejor del que sí produce fórmulas cerradas, los representantes de Teichmuller: cero junto con las raíces de la unidad. Ellos se pueden calcular de forma explícita (en términos de los representantes de los coeficientes originales ) como raíces de a través de Hensel elevación , la versión -adic del método de Newton . Por ejemplo, in para calcular el representante de uno comienza por encontrar la solución única de in con ; uno recibe Repita esto con las condiciones y cede y así sucesivamente; el representante de Teichmüller resultante , denotado , es la secuencia ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$${\ displaystyle (p-1) ^ {\ text {th}}}$${\ Displaystyle [0, p-1]}$${\ displaystyle x ^ {p-1} -1 = 0}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {5},}$${\ Displaystyle 2,}$${\ displaystyle x ^ {4} -1 = 0}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 25 \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle x \ equiv 2 {\ bmod {5}}}$${\ Displaystyle 7.}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 125 \ mathbb {Z},}$${\ displaystyle x ^ {4} -1 = 0}$${\ Displaystyle x \ equiv 7 {\ bmod {2}} 5}$${\ displaystyle 57,}$${\ Displaystyle 2}$${\ Displaystyle \ omega (2)}$

${\ Displaystyle \ omega (2) = (2,7,57, \ ldots) \ in W (\ mathbb {F} _ {5})}$

La existencia de una elevación en cada escalón está garantizada por el máximo común divisor en cada ${\ displaystyle (x ^ {p-1} -1, (p-1) x ^ {p-2}) = 1}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}.}$

Este algoritmo muestra que para cada , hay exactamente un representante de Teichmuller con , que denotamos De hecho, esto define el carácter de Teichmüller satisfactorio si denotamos Nota que no es aditiva, ya que la suma no necesita ser representativa. A pesar de esto, si en entonces en ${\ Displaystyle j \ en [0, p-1]}$${\ Displaystyle a_ {0} = j}$${\ Displaystyle \ omega (j).}$ ${\ Displaystyle \ omega: \ mathbb {F} _ {p} ^ {*} \ to \ mathbb {Z} _ {p} ^ {*}}$${\ Displaystyle m \ circ \ omega = \ mathrm {id} _ {\ mathbb {F} _ {p}}}$${\ Displaystyle m: \ mathbb {Z} _ {p} \ to \ mathbb {Z} _ {p} / p \ mathbb {Z} _ {p} \ cong \ mathbb {F} _ {p}.}$${\ Displaystyle \ omega}$${\ Displaystyle \ omega (k) = \ omega (i) + \ omega (j) {\ bmod {p}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p},}$${\ Displaystyle i + j = k}$${\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {p}.}$

Representar elementos en Z _p como elementos en el anillo de vectores de Witt W (F _p )

Debido a esta correspondencia uno a uno dada por , uno puede expandir cada entero -ádico como una serie de potencias con coeficientes tomados de los representantes de Teichmüller. Se puede dar un algoritmo explícito, como sigue. Escriba el representante de Teichmüller como Entonces, si uno tiene algún entero -ádico arbitrario de la forma uno toma la diferencia dejando un valor divisible por . Por lo tanto, . A continuación, se repite el proceso, se resta y se procede de la misma forma. Esto produce una secuencia de congruencias ${\ Displaystyle \ omega}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle \ omega (t_ {0}) = t_ {0} + t_ {1} p ^ {1} + t_ {2} p ^ {2} + \ cdots.}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle x = x_ {0} + x_ {1} p ^ {1} + x_ {2} p ^ {2} + \ cdots,}$${\ Displaystyle x- \ omega (x_ {0}) = x '_ {1} p ^ {1} + x' _ {2} p ^ {2} + \ cdots,}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle x- \ omega (x_ {0}) = 0 {\ bmod {p}}}$${\ Displaystyle \ omega (x '_ {1}) p}$

${\ displaystyle {\ begin {alineado} x & \ equiv \ omega (x_ {0}) && {\ bmod {p}} \\ x & \ equiv \ omega (x_ {0}) + \ omega (x '_ {1 }) p && {\ bmod {p}} ^ {2} \\ & \ cdots \ end {alineado}}}$

Así que eso

${\ Displaystyle x \ equiv \ sum _ {j = 0} ^ {i} \ omega ({\ bar {x}} _ {j}) p ^ {j} {\ bmod {p}} ^ {i + 1 }}$

e implica: ${\ Displaystyle i '> i}$

${\ Displaystyle \ sum _ {j = 0} ^ {i '} \ omega ({\ bar {x}} _ {j}) p ^ {j} \ equiv \ sum _ {j = 0} ^ {i} \ omega ({\ bar {x}} _ {j}) p ^ {j} {\ bmod {p}} ^ {i + 1}}$

por

${\ Displaystyle {\ bar {x}} _ {i}: = m \ left ({\ frac {x- \ sum _ {j = 0} ^ {i-1} \ omega ({\ bar {x}} _ {j}) p ^ {j}} {p ^ {i}}} \ derecha).}$

Por tanto, tenemos una serie de potencias para cada residuo de x potencias módulo de p , pero con coeficientes en los representantes de Teichmüller en lugar de . Está claro que ${\ Displaystyle \ {0, \ ldots, p-1 \}}$

${\ Displaystyle \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} \ omega ({\ bar {x}} _ {j}) p ^ {j} = x,}$

desde

${\ Displaystyle p ^ {i + 1} \ mid x- \ sum _ {j = 0} ^ {i} \ omega ({\ bar {x}} _ {j}) p ^ {j}}$

para todos, como tal, la diferencia tiende a 0 con respecto a la métrica -ádica. Los coeficientes resultantes normalmente diferirán del módulo excepto el primero. ${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle i \ a \ infty,}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle a_ {i}}$${\ Displaystyle p ^ {i}}$

Propiedades adicionales de los elementos en el anillo de los vectores de Witt que motivan la definición general

Los coeficientes de Teichmuller tienen la propiedad adicional clave que falta para los números en . Esto se puede usar para describir la adición, como sigue. Dado que el carácter de Teichmüller no es aditivo, no es cierto en . Pero se mantiene como implica la primera congruencia. En particular, ${\ Displaystyle \ omega ({\ bar {x}} _ {i}) ^ {p} = \ omega ({\ bar {x}} _ {i}),}$${\ Displaystyle [0, p-1]}$${\ Displaystyle c_ {0} = a_ {0} + b_ {0}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$${\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {p},}$

${\ Displaystyle c_ {0} ^ {p} \ equiv (a_ {0} + b_ {0}) ^ {p} {\ bmod {p}} ^ {2},}$

y por lo tanto

${\ Displaystyle c_ {0} -a_ {0} -b_ {0} \ equiv (a_ {0} + b_ {0}) ^ {p} -a_ {0} -b_ {0} \ equiv {\ binom { p} {1}} a_ {0} ^ {p-1} b_ {0} + \ cdots + {\ binom {p} {p-1}} a_ {0} b_ {0} ^ {p-1} {\ bmod {p}} ^ {2}.}$

Dado que el coeficiente binomial es divisible por , esto da ${\ Displaystyle {\ binom {p} {i}}}$${\ Displaystyle p}$

${\ Displaystyle c_ {1} \ equiv a_ {1} + b_ {1} -a_ {0} ^ {p-1} b_ {0} - {\ frac {p-1} {2}} a_ {0} ^ {p-2} b_ {0} ^ {2} - \ cdots -a_ {0} b_ {0} ^ {p-1} {\ bmod {p}}.}$

Esto lo determina completamente el ascensor. Además, el módulo de congruencia indica que el cálculo realmente se puede realizar para satisfacer el objetivo básico de definir una estructura aditiva simple. ${\ Displaystyle c_ {1}}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {p},}$

Porque este paso ya es muy engorroso. Escribir ${\ Displaystyle c_ {2}}$

${\ Displaystyle c_ {1} = c_ {1} ^ {p} \ equiv \ left (a_ {1} + b_ {1} -a_ {0} ^ {p-1} b_ {0} - {\ frac { p-1} {2}} a_ {0} ^ {p-2} b_ {0} ^ {2} - \ cdots -a_ {0} b_ {0} ^ {p-1} \ right) ^ {p } {\ bmod {p}}.}$

Del mismo modo que para una sola potencia no es suficiente: hay que tomar ${\ Displaystyle c_ {0},}$${\ Displaystyle p}$

${\ Displaystyle c_ {0} = c_ {0} ^ {p ^ {2}} \ equiv (a_ {0} + b_ {0}) ^ {p ^ {2}}.}$

Sin embargo, en general no es divisible por, pero es divisible cuando, en ese caso, combinado con monomios similares en formará un múltiplo de . ${\ Displaystyle {\ binom {p ^ {2}} {i}}}$${\ Displaystyle p ^ {2},}$${\ Displaystyle i = pd,}$${\ Displaystyle a ^ {i} b ^ {p ^ {2} -i} = a ^ {d} b ^ {pd}}$${\ Displaystyle c_ {1} ^ {p}}$${\ Displaystyle p ^ {2}}$

En este paso, queda claro que uno realmente está trabajando con la adición del formulario

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} c_ {0} & \ equiv a_ {0} + b_ {0} && {\ bmod {p}} \\ c_ {0} ^ {p} + c_ {1} p & \ equiv a_ {0} ^ {p} + a_ {1} p + b_ {0} ^ {p} + b_ {1} p && {\ bmod {p}} ^ {2} \\ c_ {0} ^ {p ^ {2}} + c_ {1} ^ {p} p + c_ {2} p ^ {2} & \ equiv a_ {0} ^ {p ^ {2}} + a_ {1} ^ {p} p + a_ {2} p ^ {2} + b_ {0} ^ {p ^ {2}} + b_ {1} ^ {p} p + b_ {2} p ^ {2} && {\ bmod {p} } ^ {3} \ end {alineado}}}$

Esto motiva la definición de vectores de Witt.

Construcción de anillos Witt

Fijar un número primo p . Un vector de Witt sobre un anillo conmutativo (relativo a un número primo ) es una secuencia: de elementos de . Defina los polinomios de Witt por ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle (X_ {0}, X_ {1}, X_ {2}, \ ldots)}$${\ Displaystyle R}$ ${\ Displaystyle W_ {i}}$

1. ${\ Displaystyle W_ {0} = X_ {0}}$
2. ${\ Displaystyle W_ {1} = X_ {0} ^ {p} + pX_ {1}}$
3. ${\ Displaystyle W_ {2} = X_ {0} ^ {p ^ {2}} + pX_ {1} ^ {p} + p ^ {2} X_ {2}}$

y en general

${\ Displaystyle W_ {n} = \ sum _ {i = 0} ^ {n} p ^ {i} X_ {i} ^ {p ^ {ni}}.}$

Se denominan componentes fantasma del vector de Witt , y generalmente se denotan como Los componentes fantasma se pueden considerar como un sistema de coordenadas alternativo para el módulo de secuencias. ${\ Displaystyle W_ {n}}$${\ Displaystyle (X_ {0}, X_ {1}, X_ {2}, \ ldots)}$${\ Displaystyle X ^ {(n)}.}$${\ Displaystyle R}$

El anillo de los vectores de Witt (relativo a un primo ) se define mediante la suma y la multiplicación de los componentes fantasma. Es decir, hay una forma única de convertir el conjunto de vectores de Witt sobre cualquier anillo conmutativo en un anillo tal que: ${\ Displaystyle W (R)}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle R}$

1. la suma y el producto están dados por polinomios con coeficientes integrales que no dependen de , y ${\ Displaystyle R}$
2. La proyección a cada componente fantasma es un homomorfismo de anillo de los vectores de Witt sobre , a . ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R}$

En otras palabras,

• ${\ Displaystyle (X + Y) _ {i}}$ y están dados por polinomios con coeficientes integrales que no dependen de R , y ${\ Displaystyle (XY) _ {i}}$

• ${\ Displaystyle X ^ {(i)} + Y ^ {(i)} = (X + Y) ^ {(i)}}$ y ${\ Displaystyle X ^ {(i)} Y ^ {(i)} = (XY) ^ {(i)}.}$

Los primeros polinomios que dan la suma y el producto de los vectores de Witt pueden escribirse explícitamente. Por ejemplo,

${\ Displaystyle (X_ {0}, X_ {1}, \ ldots) + (Y_ {0}, Y_ {1}, \ ldots) = (X_ {0} + Y_ {0}, X_ {1} + Y_ {1} + ((X_ {0} + Y_ {0}) ^ {p} -X_ {0} ^ {p} -Y_ {0} ^ {p}) / p, \ ldots)}$

${\ Displaystyle (X_ {0}, X_ {1}, \ ldots) \ times (Y_ {0}, Y_ {1}, \ ldots) = (X_ {0} Y_ {0}, X_ {0} ^ { p} Y_ {1} + X_ {1} Y_ {0} ^ {p} + pX_ {1} Y_ {1}, \ ldots)}$

Estos deben entenderse como atajos para las fórmulas reales. Si, por ejemplo, el anillo tiene una característica , la división por en la primera fórmula anterior, el uno por eso aparecería en el siguiente componente y así sucesivamente, no tiene sentido. Sin embargo, si se desarrolla la -potencia de la suma, se anulan los términos con los anteriores y se simplifican los restantes por , no queda división por y la fórmula tiene sentido. La misma consideración se aplica a los componentes siguientes. ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle p ^ {2}}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle X_ {0} ^ {p} + Y_ {0} ^ {p}}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle p}$

Ejemplos de suma y multiplicación

Como era de esperar, la unidad en el anillo de los vectores de Witt es el elemento ${\ Displaystyle W (A)}$

${\ Displaystyle {\ underline {1}} = (1,0,0, \ ldots)}$

Agregar este elemento a sí mismo da una secuencia no trivial, por ejemplo en , ${\ Displaystyle W (\ mathbb {F} _ {5})}$

${\ Displaystyle {\ underline {1}} + {\ underline {1}} = (2,1, \ ldots)}$

desde

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} 2 & = 1 + 1 \\ 1 & = {\ frac {32-1-1} {5}} \ mod 5 \\ & \ cdots \ end {alineado}}}$

que no es el comportamiento esperado, ya que no es igual . Pero, cuando reducimos con el mapa , obtenemos . Tenga en cuenta que tenemos un elemento y un elemento, entonces ${\ Displaystyle {\ underline {2}}}$${\ Displaystyle m: W (\ mathbb {F} _ {5}) \ to \ mathbb {F} _ {5}}$${\ Displaystyle m (\ omega (1) + \ omega (1)) = m (\ omega (2))}$${\ Displaystyle x \ in A}$${\ Displaystyle a \ en W (A)}$

${\ Displaystyle {\ underline {x}} a = (xa_ {0}, x ^ {p} a_ {1}, \ ldots, x ^ {p ^ {n}} a_ {n}, \ ldots)}$

mostrar la multiplicación también se comporta de una manera muy no trivial.

Ejemplos de

• El anillo de Witt de cualquier anillo conmutativo R en el que p es invertible es simplemente isomorfo a (el producto de un número contable de copias de R ). De hecho, los polinomios de Witt siempre dan un homomorfismo del anillo de los vectores de Witt a , y si p es invertible, este homomorfismo es un isomorfismo. ${\ Displaystyle R ^ {\ mathbb {N}}}$${\ Displaystyle R ^ {\ mathbb {N}}}$

• El anillo de Witt del campo finito de orden p es el anillo de enteros -ádicos escritos en términos de los representantes de Teichmuller, como se demostró anteriormente. ${\ Displaystyle W (\ mathbb {F} _ {p}) \ cong \ mathbb {Z} _ {p}}$${\ Displaystyle p}$

• El anillo de Witt de un campo finito de orden p ⁿ es el anillo de números enteros de la extensión no ramificada única de grado n del anillo de números -ádicos . Nota para la -ésima raíz de la unidad, por lo tanto . ${\ Displaystyle W (\ mathbb {F} _ {q}) \ cong {\ mathcal {O}} _ {K}}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle K / \ mathbb {Q} _ {p}}$${\ Displaystyle K \ cong \ mathbb {Q} _ {p} [\ mu _ {q-1}]}$${\ Displaystyle \ mu _ {q-1}}$${\ Displaystyle (q-1)}$${\ Displaystyle W (\ mathbb {F} _ {q}) \ cong \ mathbb {Z} _ {p} [\ mu _ {q-1}]}$

Vectores de Universal Witt

Los polinomios de Witt para diferentes primos p son casos especiales de polinomios universales de Witt, que pueden usarse para formar un anillo de Witt universal (sin depender de la elección del primo p ). Defina los polinomios universales de Witt W _n para n ≥ 1 por

1. ${\ Displaystyle W_ {1} = X_ {1}}$
2. ${\ Displaystyle W_ {2} = X_ {1} ^ {2} + 2X_ {2}}$
3. ${\ Displaystyle W_ {3} = X_ {1} ^ {3} + 3X_ {3}}$
4. ${\ Displaystyle W_ {4} = X_ {1} ^ {4} + 2X_ {2} ^ {2} + 4X_ {4}}$

y en general

${\ Displaystyle W_ {n} = \ sum _ {d | n} dX_ {d} ^ {n / d}.}$

Nuevamente, se denomina vector de componentes fantasma del vector de Witt , y generalmente se denota por . ${\ Displaystyle (W_ {1}, W_ {2}, W_ {3}, \ ldots)}$${\ Displaystyle (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}, \ ldots)}$${\ Displaystyle (X ^ {(1)}, X ^ {(2)}, X ^ {(3)}, \ ldots)}$

Podemos usar estos polinomios para definir el anillo de vectores universales de Witt sobre cualquier anillo conmutativo R de la misma manera que antes (por lo que los polinomios universales de Witt son todos homomorfismos del anillo R ).

Funciones de generación

Witt también proporcionó otro enfoque utilizando funciones generadoras.

Definición

Sea un vector de Witt y defina ${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle f_ {X} (t) = \ prod _ {n \ geq 1} (1-X_ {n} t ^ {n}) = \ sum _ {n \ geq 0} A_ {n} t ^ { norte}}$

Para permitir que denotan la colección de subconjuntos de cuyos elementos se suman a . Luego ${\ Displaystyle n \ geq 1}$${\ Displaystyle {\ mathcal {I}} _ {n}}$${\ Displaystyle \ {1,2, \ ldots, n \}}$${\ Displaystyle n}$

${\ Displaystyle A_ {n} = \ sum _ {I \ in {\ mathcal {I}} _ {n}} (- 1) ^ {| I |} \ prod _ {i \ in I} {X_ {i }}.}$

Podemos obtener los componentes fantasma tomando la derivada logarítmica :

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} -t {\ frac {d} {dt}} \ log f_ {X} (t) & = - t {\ frac {d} {dt}} \ sum _ {n \ geq 1} \ log (1-X_ {n} t ^ {n}) \\ & = t {\ frac {d} {dt}} \ sum _ {n \ geq 1} \ sum _ {d \ geq 1 } {\ frac {X_ {n} ^ {d} t ^ {nd}} {d}} \\ & = \ sum _ {n \ geq 1} \ sum _ {d \ geq 1} nX_ {n} ^ {d} t ^ {nd} \\ & = \ sum _ {m \ geq 1} \ sum _ {d | m} dX_ {d} ^ {m / d} t ^ {m} \\ & = \ sum _ {m \ geq 1} X ^ {(m)} t ^ {m} \ end {alineado}}}$

Suma

Ahora podemos ver si . Así que eso ${\ Displaystyle f_ {Z} (t) = f_ {X} (t) f_ {Y} (t)}$${\ Displaystyle Z = X + Y}$

${\ Displaystyle C_ {n} = \ sum _ {0 \ leq i \ leq n} A_ {n} B_ {ni},}$

si son los coeficientes respectivos en la serie de potencias . Luego ${\ Displaystyle A_ {n}, B_ {n}, C_ {n}}$${\ Displaystyle f_ {X} (t), f_ {Y} (t), f_ {Z} (t)}$

${\ Displaystyle Z_ {n} = \ sum _ {0 \ leq i \ leq n} A_ {n} B_ {ni} - \ sum _ {I \ in {\ mathcal {I}} _ {n}, I \ neq \ {n \}} (- 1) ^ {| I |} \ prod _ {i \ in I} {Z_ {i}}.}$

Dado que es un polinomio en y lo mismo para , podemos demostrar por inducción que es un polinomio en ${\ Displaystyle A_ {n}}$${\ Displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {n}}$${\ Displaystyle B_ {n}}$${\ Displaystyle Z_ {n}}$${\ Displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {n}, Y_ {1}, \ ldots, Y_ {n}.}$

Producto

Si establecemos entonces ${\ Displaystyle W = XY}$

${\ Displaystyle -t {\ frac {d} {dt}} \ log f_ {W} (t) = - \ sum _ {m \ geq 1} X ^ {(m)} Y ^ {(m)} t ^ {m}.}$

Pero

${\ Displaystyle \ sum _ {m \ geq 1} X ^ {(m)} Y ^ {(m)} t ^ {m} = \ sum _ {m \ geq 1} \ sum _ {d | m} dX_ {d} ^ {m / d} \ sum _ {e | m} eY_ {e} ^ {m / e} t ^ {m}}$ .

Ahora 3-tuplas con están en biyección con 3-tuplas con , via ( es el mínimo común múltiplo ), nuestra serie se convierte en ${\ Displaystyle {m, d, e}}$${\ Displaystyle m \ in \ mathbb {Z} ^ {+}, d | m, e | m}$${\ Displaystyle {d, e, n}}$${\ Displaystyle d, e, n \ in \ mathbb {Z} ^ {+}}$${\ Displaystyle n = m / [d, e]}$${\ Displaystyle [d, e]}$

${\ Displaystyle \ sum _ {d, e \ geq 1} de \ sum _ {n \ geq 1} \ left (X_ {d} ^ {\ frac {[d, e]} {d}} Y_ {e} ^ {\ frac {[d, e]} {e}} t ^ {[d, e]} \ right) ^ {n} = - t {\ frac {d} {dt}} \ log \ prod _ { d, e \ geq 1} \ left (1-X_ {d} ^ {\ frac {[d, e]} {d}} Y_ {e} ^ {\ frac {[d, e]} {e}} t ^ {[d, e]} \ right) ^ {\ frac {de} {[d, e]}}}$

Así que eso

${\ Displaystyle f_ {W} (t) = \ prod _ {d, e \ geq 1} \ left (1-X_ {d} ^ {\ frac {[d, e]} {d}} Y_ {e} ^ {\ frac {[d, e]} {e}} t ^ {[d, e]} \ right) ^ {\ frac {de} {[d, e]}} = \ sum _ {n \ geq 0} D_ {n} t ^ {n},}$

donde están los polinomios de So por inducción similar, suponga ${\ Displaystyle D_ {n}}$${\ Displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {n}, Y_ {1}, \ ldots, Y_ {n}.}$

${\ Displaystyle f_ {W} (t) = \ prod _ {n \ geq 1} (1-W_ {n} t ^ {n}),}$

entonces se puede resolver como polinomios de ${\ Displaystyle W_ {n}}$${\ Displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {n}, Y_ {1}, \ ldots, Y_ {n}.}$

Esquemas de anillo

El mapa que lleva un anillo conmutativo R al anillo de vectores de Witt sobre R (para un primo fijo p ) es un funtor de anillos conmutativos a anillos conmutativos, y también es representable, por lo que se puede considerar como un esquema de anillo , llamado Esquema de Witt , sobre El esquema de Witt se puede identificar canónicamente con el espectro del anillo de funciones simétricas . ${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} (\ mathbb {Z}).}$

De manera similar, los anillos de los vectores de Witt truncados y los anillos de los vectores de Witt universales corresponden a esquemas de anillo, llamados esquemas de Witt truncados y esquema de Witt universal .

Además, el funtor que lleva el anillo conmutativo al conjunto está representado por el espacio afín , y la estructura del anillo en forma de un esquema de anillo denotado . De la construcción de vectores de Witt truncados, se deduce que su esquema de anillo asociado es el esquema con la estructura de anillo única de manera que el morfismo dado por los polinomios de Witt es un morfismo de esquemas de anillo. ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {A} _ {\ mathbb {Z}} ^ {n}}$${\ Displaystyle R ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {A} _ {\ mathbb {Z}} ^ {n}}$${\ Displaystyle {\ underline {\ mathcal {O}}} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {W} _ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {A} _ {\ mathbb {Z}} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {W} _ {n} \ to {\ underline {\ mathcal {O}}} ^ {n}}$

Grupos algebraicos unipotentes conmutativos

Sobre un campo algebraicamente cerrado de característica 0, cualquier grupo algebraico conectado abeliano unipotente es isomorfo a un producto de copias del grupo aditivo . El análogo de esto para los campos de característica p es falso: los esquemas de Witt truncados son contraejemplos. (Los convertimos en grupos algebraicos olvidándonos de la multiplicación y simplemente usando la estructura aditiva). Sin embargo, estos son esencialmente los únicos contraejemplos: sobre un campo algebraicamente cerrado de característica p , cualquier grupo algebraico conectado abeliano unipotente es isógeno a un producto de truncado Esquemas del grupo Witt. ${\ Displaystyle G_ {a}}$

Ver también

• p-derivación
• Grupo formal
• Exponencial de Artin-Hasse
• Anillo de collar

Referencias

Introductorio

• Notas sobre los vectores de Witt: un enfoque motivado - Notas básicas que dan las ideas principales y la intuición. ¡Es mejor empezar aquí!
• La teoría de los vectores de Witt - Introducción elemental a la teoría.
• Complexe de Rham-Witt et cohomologie cristalline : tenga en cuenta que usa una convención diferente pero equivalente a la de este artículo. Además, los puntos principales de la introducción siguen siendo válidos.

Aplicaciones

• Mumford, David (1966-08-21), Conferencias sobre curvas en una superficie algebraica , Annals of Mathematics Studies, 59 , Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press , ISBN   978-0-691-07993-6
• Serre, Jean-Pierre (1979), Campos locales , Textos de posgrado en matemáticas, 67 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN   978-0-387-90424-5 , MR   0554237 , sección II.6
• Serre, Jean-Pierre (1988), Grupos y campos de clase algebraicos , Textos de posgrado en matemáticas, 117 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4612-1035-1 , ISBN   978-0-387-96648-9 , MR   0918564 CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
• Greenberg, Marvin J. (1969). Conferencias sobre formas en muchas variables . Nueva York y Amsterdam: Benjamin. ASIN   B0006BX17M . Señor   0241358 . CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )

Referencias

• Dolgachev, Igor V. (2001) [1994], "Witt vector" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
• Hazewinkel, Michiel (2009), "Vectores Witt. I.", Manual de álgebra. Vol. 6 , Amsterdam: Elsevier / North-Holland, págs. 319–472, arXiv : 0804.3888 , doi : 10.1016 / S1570-7954 (08) 00207-6 , ISBN   978-0-444-53257-2 , MR   2553661
• Witt, Ernst (1936), "Zyklische Körper und Algebren der Characteristik p vom Grad p ⁿ . Struktur diskret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik p ⁿ " , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (en alemán), 1937 (176) : 126–140, doi : 10.1515 / crll.1937.176.126