Vibraciones de una membrana circular - Vibrations of a circular membrane

Uno de los posibles modos de vibración de un parche de tambor circular idealizado (modo con la notación a continuación). Otros modos posibles se muestran en la parte inferior del artículo. ${\ Displaystyle u_ {12}}$

Una membrana elástica bidimensional bajo tensión puede soportar vibraciones transversales . Las propiedades de un parche idealizado pueden modelarse mediante las vibraciones de una membrana circular de espesor uniforme, unida a un marco rígido. Debido al fenómeno de resonancia , a ciertas frecuencias de vibración , sus frecuencias de resonancia , la membrana puede almacenar energía vibratoria, moviéndose la superficie en un patrón característico de ondas estacionarias . A esto se le llama modo normal . Una membrana tiene un número infinito de estos modos normales, comenzando con uno de frecuencia más baja llamado modo fundamental .

Existen infinitas formas en las que una membrana puede vibrar, cada una dependiendo de la forma de la membrana en algún momento inicial y de la velocidad transversal de cada punto de la membrana en ese momento. Las vibraciones de la membrana están dadas por las soluciones de la ecuación de onda bidimensional con condiciones de frontera de Dirichlet que representan la restricción del marco. Se puede demostrar que cualquier vibración arbitrariamente compleja de la membrana puede descomponerse en una serie posiblemente infinita de modos normales de la membrana. Esto es análogo a la descomposición de una señal de tiempo en una serie de Fourier .

El estudio de las vibraciones en los tambores llevó a los matemáticos a plantear un famoso problema matemático sobre si se puede escuchar la forma de un tambor , cuya respuesta se dio en 1992 en el escenario bidimensional.

Motivación

El análisis del problema del parche vibrante del tambor explica los instrumentos de percusión como los tambores y los timbales . Sin embargo, también existe una aplicación biológica en el funcionamiento del tímpano . Desde un punto de vista educativo, los modos de un objeto bidimensional son una forma conveniente de demostrar visualmente el significado de modos, nodos, antinodos e incluso números cuánticos . Estos conceptos son importantes para comprender la estructura del átomo.

El problema

Considere un disco abierto de radio centrado en el origen, que representará la forma de la cabeza del tambor "inmóvil". En cualquier momento la altura de la forma de la cabeza de tambor en un punto en medida desde el "todavía" forma de la cabeza de tambor se denota por lo que puede llevar tanto valores positivos y negativos. Dejado denotar el límite de esto es, el círculo de radio centrado en el origen, que representa el bastidor rígido al que se fija la cabeza del tambor. ${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle t,}$${\ Displaystyle (x, y)}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle u (x, y, t),}$${\ Displaystyle \ parcial \ Omega}$${\ Displaystyle \ Omega,}$${\ Displaystyle a}$

La ecuación matemática que gobierna la vibración del parche del tambor es la ecuación de onda con condiciones de límite cero,

${\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial t ^ {2}}} = c ^ {2} \ izquierda ({\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial x ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial y ^ {2}}} \ derecha) {\ text {para}} (x, y) \ en \ Omega \, }$

${\ Displaystyle u = 0 {\ text {en}} \ parcial \ Omega. \,}$

Debido a la geometría circular de , será conveniente utilizar coordenadas cilíndricas . Luego, las ecuaciones anteriores se escriben como ${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle (r, \ theta, z).}$

${\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial t ^ {2}}} = c ^ {2} \ izquierda ({\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial r ^ {2}}} + {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ parcial u} {\ parcial r}} + {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac { \ parcial ^ {2} u} {\ parcial \ theta ^ {2}}} \ right) {\ text {for}} 0 \ leq r <a, 0 \ leq \ theta \ leq 2 \ pi \,}$

${\ Displaystyle u = 0 {\ text {para}} r = a. \,}$

Aquí, es una constante positiva, que da la velocidad a la que las ondas de vibración transversal se propagan en la membrana. En términos de los parámetros físicos, la velocidad de onda, c, viene dada por ${\ Displaystyle c}$

${\ Displaystyle c = {\ sqrt {\ frac {N_ {rr} ^ {*}} {\ rho h}}}}$

donde , es la membrana radial resultante en el límite de la membrana ( ) ,, es el espesor de la membrana y es la densidad de la membrana. Si la membrana tiene tensión uniforme, la fuerza de tensión uniforme en un radio dado puede escribirse ${\ Displaystyle N_ {rr} ^ {*}}$${\ Displaystyle r = a}$${\ Displaystyle h}$${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle r}$

${\ Displaystyle F = rN_ {rr} ^ {r} = rN _ {\ theta \ theta} ^ {r}}$

donde es la membrana resultante en la dirección azimutal. ${\ Displaystyle N _ {\ theta \ theta} ^ {r} = N_ {rr} ^ {r}}$

El caso axisimétrico

Primero estudiaremos los posibles modos de vibración de una cabeza de tambor circular que son simétricos en el eje . Entonces, la función no depende del ángulo y la ecuación de onda se simplifica a ${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle \ theta,}$

${\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial t ^ {2}}} = c ^ {2} \ izquierda ({\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial r ^ {2}}} + {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ parcial u} {\ parcial r}} \ derecha).}$

Buscaremos soluciones en variables separadas, sustituyendo esto en la ecuación anterior y dividiendo ambos lados por rendimientos ${\ Displaystyle u (r, t) = R (r) T (t).}$${\ Displaystyle c ^ {2} R (r) T (t)}$

${\ Displaystyle {\ frac {T '' (t)} {c ^ {2} T (t)}} = {\ frac {1} {R (r)}} \ left (R '' (r) + {\ frac {1} {r}} R '(r) \ derecha).}$

El lado izquierdo de esta igualdad no depende y el lado derecho no depende de ello se deduce que ambos lados deben ser iguales a alguna constante. Obtenemos ecuaciones separadas para y : ${\ Displaystyle r,}$${\ Displaystyle t,}$${\ Displaystyle K.}$${\ Displaystyle T (t)}$${\ Displaystyle R (r)}$

${\ Displaystyle T '' (t) = Kc ^ {2} T (t) \,}$

${\ Displaystyle rR '' (r) + R '(r) -KrR (r) = 0. \,}$

La ecuación para tiene soluciones que crecen o decaen exponencialmente son lineales o constantes para y son periódicas para . Físicamente se espera que una solución al problema de un parche de tambor vibrante sea oscilante en el tiempo, y esto deja solo el tercer caso, por lo que elegimos por conveniencia. Entonces, es una combinación lineal de funciones seno y coseno, ${\ Displaystyle T (t)}$${\ Displaystyle K> 0,}$${\ Displaystyle K = 0}$${\ Displaystyle K <0}$${\ Displaystyle K <0,}$${\ Displaystyle K = - \ lambda ^ {2}}$${\ Displaystyle T (t)}$

${\ Displaystyle T (t) = A \ cos c \ lambda t + B \ sin c \ lambda t. \,}$

Volviendo a la ecuación para con la observación de que todas las soluciones de esta ecuación diferencial de segundo orden son una combinación lineal de funciones de Bessel de orden 0, ya que este es un caso especial de la ecuación diferencial de Bessel : ${\ Displaystyle R (r),}$${\ Displaystyle K = - \ lambda ^ {2},}$

${\ Displaystyle R (r) = c_ {1} J_ {0} (\ lambda r) + c_ {2} Y_ {0} (\ lambda r). \,}$

La función de Bessel no tiene límites, lo que da como resultado una solución no física al problema del parche vibratorio del tambor, por lo que la constante debe ser nula. También vamos a suponer que de lo contrario esta constante puede ser absorbida más tarde en las constantes y que viene de ello se deduce que ${\ Displaystyle Y_ {0}}$${\ Displaystyle r \ to 0,}$${\ Displaystyle c_ {2}}$${\ Displaystyle c_ {1} = 1,}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle T (t).}$

${\ Displaystyle R (r) = J_ {0} (\ lambda r).}$

El requisito de que la altura sea ​​cero en el límite del parche del tambor da como resultado la condición ${\ Displaystyle u}$

${\ Displaystyle R (a) = J_ {0} (\ lambda a) = 0.}$

La función de Bessel tiene un número infinito de raíces positivas, ${\ Displaystyle J_ {0}}$

${\ displaystyle 0 <\ alpha _ {01} <\ alpha _ {02} <\ cdots}$

Lo conseguimos por tanto ${\ Displaystyle \ lambda a = \ alpha _ {0n},}$${\ Displaystyle n = 1,2, \ dots,}$

${\ Displaystyle R (r) = J_ {0} \ left ({\ frac {\ alpha _ {0n}} {a}} r \ right).}$

Por lo tanto, las soluciones axisimétricas del problema de la cabeza del tambor vibrante que se pueden representar en variables separadas son ${\ Displaystyle u}$

${\ Displaystyle u_ {0n} (r, t) = \ left (A \ cos c \ lambda _ {0n} t + B \ sin c \ lambda _ {0n} t \ right) J_ {0} \ left (\ lambda _ {0n} r \ right) {\ text {for}} n = 1,2, \ dots, \,}$

dónde ${\ Displaystyle \ lambda _ {0n} = \ alpha _ {0n} / a.}$

El caso general

El caso general, cuando también puede depender del ángulo, se trata de manera similar. Asumimos una solución en variables separadas, ${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle \ theta,}$

${\ Displaystyle u (r, \ theta, t) = R (r) \ Theta (\ theta) T (t). \,}$

Sustituyendo esto en la ecuación de onda y separando las variables, se obtiene

${\ Displaystyle {\ frac {T '' (t)} {c ^ {2} T (t)}} = {\ frac {R '' (r)} {R (r)}} + {\ frac { R '(r)} {rR (r)}} + {\ frac {\ Theta' '(\ theta)} {r ^ {2} \ Theta (\ theta)}} = K}$

donde es una constante. Como antes, de la ecuación se sigue que con y ${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle T (t)}$${\ Displaystyle K = - \ lambda ^ {2}}$${\ Displaystyle \ lambda> 0}$

${\ Displaystyle T (t) = A \ cos c \ lambda t + B \ sin c \ lambda t. \,}$

De la ecuación

${\ Displaystyle {\ frac {R '' (r)} {R (r)}} + {\ frac {R '(r)} {rR (r)}} + {\ frac {\ Theta' '(\ theta)} {r ^ {2} \ Theta (\ theta)}} = - \ lambda ^ {2}}$

obtenemos, multiplicando ambos lados por y separando variables, que ${\ Displaystyle r ^ {2}}$

${\ Displaystyle \ lambda ^ {2} r ^ {2} + {\ frac {r ^ {2} R '' (r)} {R (r)}} + {\ frac {rR '(r)} { R (r)}} = L}$

y

${\ Displaystyle - {\ frac {\ Theta '' (\ theta)} {\ Theta (\ theta)}} = L,}$

para alguna constante Dado que es periódica, siendo el período una variable angular, se sigue que ${\ Displaystyle L.}$${\ Displaystyle \ Theta (\ theta)}$${\ Displaystyle 2 \ pi,}$ ${\ Displaystyle \ theta}$

${\ Displaystyle \ Theta (\ theta) = C \ cos m \ theta + D \ sin m \ theta, \,}$

donde y y son algunas constantes. Esto también implica ${\ Displaystyle m = 0,1, \ dots}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle L = m ^ {2}.}$

Volviendo a la ecuación para su solución es una combinación lineal de funciones de Bessel y Con un argumento similar al de la sección anterior, llegamos a ${\ Displaystyle R (r),}$ ${\ Displaystyle J_ {m}}$${\ Displaystyle Y_ {m}.}$

${\ Displaystyle R (r) = J_ {m} (\ lambda _ {mn} r), \,}$ ${\ Displaystyle m = 0,1, \ puntos,}$ ${\ Displaystyle n = 1,2, \ dots,}$

donde con la -ésima raíz positiva de ${\ Displaystyle \ lambda _ {mn} = \ alpha _ {mn} / a,}$${\ Displaystyle \ alpha _ {mn}}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle J_ {m}.}$

Demostramos que todas las soluciones en variables separadas del problema de la cabeza del tambor vibrante son de la forma

${\ Displaystyle u_ {mn} (r, \ theta, t) = \ left (A \ cos c \ lambda _ {mn} t + B \ sin c \ lambda _ {mn} t \ right) J_ {m} \ izquierda (\ lambda _ {mn} r \ derecha) (C \ cos m \ theta + D \ sin m \ theta)}$

por ${\ Displaystyle m = 0,1, \ dots, n = 1,2, \ dots}$

Animaciones de varios modos de vibración.

A continuación se muestran varios modos junto con sus números cuánticos. También se indican las funciones de onda análogas del átomo de hidrógeno, así como las frecuencias angulares asociadas . ${\ Displaystyle \ omega _ {mn} = \ lambda _ {mn} c = (\ alpha _ {mn} / a) c = \ alpha _ {mn} c / a}$

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  Modo (1s) con ${\ Displaystyle u_ {01}}$${\ Displaystyle \ alpha _ {01} = 2.40483}$

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  Modo (2s) con ${\ Displaystyle u_ {02}}$${\ Displaystyle \ alpha _ {02} = 5.52008}$

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  Modo (3s) con ${\ Displaystyle u_ {03}}$${\ Displaystyle \ alpha _ {03} = 8.65373}$

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  Modo (2p) con ${\ Displaystyle u_ {11}}$${\ Displaystyle \ alpha _ {11} = 3.83171}$

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  Modo (3p) con ${\ Displaystyle u_ {12}}$${\ Displaystyle \ alpha _ {12} = 7.01559}$

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  Modo (4p) con ${\ Displaystyle u_ {13}}$${\ Displaystyle \ alpha _ {13} = 10,1735}$

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  Modo (3d) con ${\ Displaystyle u_ {21}}$${\ Displaystyle \ alpha _ {21} = 5.13562}$

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  Modo (4d) con ${\ Displaystyle u_ {22}}$${\ Displaystyle \ alpha _ {22} = 8.41724}$

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  Modo (5d) con ${\ Displaystyle u_ {23}}$${\ Displaystyle \ alpha _ {23} = 11,6198}$

Ver también

• Cuerda vibrante , el caso unidimensional
• Patrones de Chladni , una descripción temprana de un fenómeno relacionado, en particular con los instrumentos musicales; ver también cimática
• Escuchar la forma de un tambor , caracterizando los modos con respecto a la forma de la membrana.
• Orbital atómico , un problema tridimensional y mecánico cuántico relacionado

Referencias

• H. Asmar, Nakhle (2005). Ecuaciones diferenciales parciales con series de Fourier y problemas de valores en la frontera . Upper Saddle River, Nueva Jersey: Pearson Prentice Hall. pag. 198. ISBN   0-13-148096-0 .