Lema de Urysohn - Urysohn's lemma

En topología , el lema de Urysohn es un lema que establece que un espacio topológico es normal si y solo si dos subconjuntos cerrados disjuntos pueden separarse mediante una función continua .

El lema de Urysohn se usa comúnmente para construir funciones continuas con varias propiedades en espacios normales. Es ampliamente aplicable ya que todos los espacios métricos y todos los espacios compactos de Hausdorff son normales. El lema está generalizado (y generalmente se usa en la demostración) del teorema de extensión de Tietze .

El lema lleva el nombre del matemático Pavel Samuilovich Urysohn .

Discusión

Se dice que dos subconjuntos y de un espacio topológico están separados por vecindarios si hay vecindarios de y de que están separados . En particular y son necesariamente inconexos. ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle B}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle V}$ ${\ Displaystyle B}$ ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle B}$

Dos subconjuntos simples y se dice que están separados por una función si existe una función continua desde dentro del intervalo unitario tal que para todos y para todos Cualquiera de estas funciones se llama una función de Urysohn para y En particular y son necesariamente disjuntos. ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle B}$ ${\ Displaystyle f: X \ a [0,1]}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle [0,1]}$ ${\ Displaystyle f (a) = 0}$ ${\ Displaystyle a \ in A}$ ${\ Displaystyle f (b) = 1}$ ${\ Displaystyle b \ in B.}$ ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle B.}$ ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle B}$

De ello se deduce que si dos subconjuntos y están separados por una función, también lo están sus cierres. También se deduce que si dos subconjuntos y están separados por una función, entonces y están separados por vecindarios. ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle B}$
${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle B}$ ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle B}$

Un espacio normal es un espacio topológico en el que dos conjuntos cerrados disjuntos pueden estar separados por vecindarios. El lema de Urysohn establece que un espacio topológico es normal si y solo si dos conjuntos cerrados disjuntos pueden estar separados por una función continua.

Los conjuntos y no necesitan estar separados con precisión por , es decir, no necesitamos, y en general no podemos, requerir eso y para afuera de y Los espacios en los que esta propiedad se mantiene son los espacios perfectamente normales . ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle B}$ ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle f (x) \ neq 0}$ ${\ Displaystyle \ neq 1}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle B.}$

El lema de Urysohn ha llevado a la formulación de otras propiedades topológicas como la 'propiedad de Tychonoff' y los 'espacios completamente de Hausdorff'. Por ejemplo, un corolario del lema es que los espacios T ₁ normales son Tychonoff .

Declaración formal

Un espacio topológico es normal si y sólo si, para cualquier par de subconjuntos disjuntos cerrado no vacíos y de que existe una aplicación continua de tal manera que y ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle B}$ ${\ Displaystyle X,}$ ${\ Displaystyle f: X \ a [0,1]}$ ${\ Displaystyle f (A) = \ {0 \}}$ ${\ Displaystyle f (B) = \ {1 \}.}$

Boceto de prueba

Ilustración de la función " cebolla " de Urysohn .

El procedimiento es una aplicación completamente sencilla de la definición de normalidad (una vez que se dibujan algunas figuras que representan los primeros pasos en la inducción que se describe a continuación para ver qué está sucediendo), comenzando con dos conjuntos cerrados disjuntos. La parte inteligente de la demostración es la indexación de los conjuntos abiertos así construidos por fracciones diádicas.

Para cada fracción diádica vamos a construir un subconjunto abierto de tal manera que: ${\ Displaystyle r \ in (0,1),}$ ${\ Displaystyle U (r)}$ ${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle U (r)}$ contiene y es disjunto de para todos ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle B}$ ${\ Displaystyle r,}$
Para el cierre de está contenido en ${\ Displaystyle r <s,}$ ${\ Displaystyle U (r)}$ ${\ Displaystyle U (s).}$

Una vez que tenemos estos conjuntos, definimos si para alguno ; de otro modo para cada donde denota el ínfimo . Usando el hecho de que los racionales diádicos son densos , entonces no es demasiado difícil demostrar que es continuo y tiene la propiedad y ${\ Displaystyle f (x) = 1}$ ${\ Displaystyle x \ not \ in U (r)}$ ${\ Displaystyle r}$ ${\ Displaystyle f (x) = \ inf \ {r: x \ en U (r) \}}$ ${\ Displaystyle x \ in X,}$ ${\ Displaystyle \ inf}$ ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle f (A) \ subseteq \ {0 \}}$ ${\ Displaystyle f (B) \ subseteq \ {1 \}.}$

Para construir los conjuntos , en realidad hacemos un poco más: construimos conjuntos y de tal manera que ${\ Displaystyle U (r),}$ ${\ Displaystyle U (r)}$ ${\ Displaystyle V (r)}$

${\ Displaystyle A \ subseteq U (r)}$ y para todos ${\ Displaystyle B \ subseteq V (r)}$ ${\ Displaystyle r,}$
${\ Displaystyle U (r)}$ y están abiertos e inconexos para todos ${\ Displaystyle V (r)}$ ${\ Displaystyle r,}$
Porque está contenido en el complemento de y el complemento de está contenido en ${\ Displaystyle r <s,}$ ${\ Displaystyle V (s)}$ ${\ Displaystyle U (r)}$ ${\ Displaystyle V (r)}$ ${\ Displaystyle U (s).}$

Dado que el complemento de es cerrado y contiene la última condición, entonces implica la condición (2) de arriba. ${\ Displaystyle V (r)}$ ${\ Displaystyle U (r),}$

Esta construcción procede por inducción matemática . Primero defina y Dado que es normal, podemos encontrar dos conjuntos abiertos disjuntos y que contienen y respectivamente. Ahora suponga que y los conjuntos y ya han sido construidos para Dado que es normal, para cualquiera podemos encontrar dos conjuntos abiertos disjuntos que contienen y respectivamente. Llamar a estos dos conjuntos abiertos y y verificar las tres condiciones anteriores. ${\ Displaystyle U (1) = X \ setminus B}$ ${\ Displaystyle V (0) = X \ setminus A.}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle U (1/2)}$ ${\ Displaystyle V (1/2)}$ ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle B,}$ ${\ Displaystyle n \ geq 1}$ ${\ Displaystyle U \ left (k / 2 ^ {n} \ right)}$ ${\ Displaystyle V \ left (k / 2 ^ {n} \ right)}$ ${\ Displaystyle k = 1, \ ldots, 2 ^ {n} -1.}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle a \ in \ left \ {0,1, \ ldots, 2 ^ {n} -1 \ right \},}$ ${\ Displaystyle X \ setminus V \ left (a / 2 ^ {n} \ right)}$ ${\ Displaystyle X \ setminus U \ left ((a + 1) / 2 ^ {n} \ right),}$ ${\ Displaystyle U \ left ((2a + 1) / 2 ^ {n + 1} \ right),}$ ${\ Displaystyle V \ left ((2a + 1) / 2 ^ {n + 1} \ right),}$