Truncamiento (geometría) - Truncation (geometry)

Truncamiento de polígono regular 4 1.svg
El cuadrado truncado es un octágono regular:
t {4} = {8}
Nodo CDel 1.pngCDel 4.pngNodo CDel 1.png = Nodo CDel 1.pngCDel 8.pngCDel node.png 		Hexaedro truncado.png
Cubo truncado
t {4,3} oNodo CDel 1.pngCDel 4.pngNodo CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.png 		Panal cúbico truncado1.jpg
Panal de abeja cúbico truncado
t {4,3,4} oNodo CDel 1.pngCDel 4.pngNodo CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png

En geometría , un truncamiento es una operación en cualquier dimensión que corta vértices politopos , creando una nueva faceta en lugar de cada vértice. El término proviene de los nombres de Kepler para los sólidos de Arquímedes .

Truncamiento uniforme

En general, cualquier poliedro (o politopo) también se puede truncar con cierto grado de libertad en cuanto a la profundidad del corte, como se muestra en la operación de truncamiento de la notación del poliedro de Conway .

Un tipo especial de truncamiento, generalmente implícito, es un truncamiento uniforme , un operador de truncamiento aplicado a un poliedro regular (o politopo regular ) que crea un poliedro uniforme resultante ( politopo uniforme ) con longitudes de borde iguales. No hay grados de libertad y representa una geometría fija, al igual que los poliedros regulares.

En general, todos los politopos uniformes de un solo anillo tienen un truncamiento uniforme. Por ejemplo, el icosidodecaedro , representado como los símbolos de Schläfli r {5,3} o , y el diagrama de Coxeter-Dynkin CDel node.pngCDel 5.pngNodo CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.png o Nodo CDel 1.pngCDel split1-53.pngCDel nodes.pngtiene un truncamiento uniforme, el icosidodecaedro truncado , representado como tr {5,3} o ,Nodo CDel 1.pngCDel split1-53.pngNodos CDel 11.png. En el diagrama de Coxeter-Dynkin , el efecto de un truncamiento es hacer sonar todos los nodos adyacentes al nodo anillado.

Un truncamiento uniforme realizado en el mosaico triangular regular {3,6} da como resultado el mosaico hexagonal regular {6,3}.

Truncamiento de polígonos

Un polígono truncado de n lados tendrá 2n lados (bordes). Un polígono regular truncado uniformemente se convertirá en otro polígono regular: t {n} es {2n}. Un truncamiento completo (o rectificación ), r {3}, es otro polígono regular en su posición dual .

Un polígono regular también se puede representar mediante su diagrama de Coxeter-Dynkin ,Nodo CDel 1.pngCDel n.pngCDel node.png, y su truncamiento uniforme Nodo CDel 1.pngCDel n.pngNodo CDel 1.png, y su truncamiento completo CDel node.pngCDel n.pngNodo CDel 1.png. La gráficaCDel node.pngCDel n.pngCDel node.pngrepresenta el grupo Coxeter I 2 (n), con cada nodo representando un espejo, y el borde representando el ángulo π / n entre los espejos, y se da un círculo alrededor de uno o ambos espejos para mostrar cuáles están activos.

Truncamientos paramétricos de un triángulo
Truncamiento regular 3 0.0.svg
{3}
Nodo CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.png 		Truncamiento regular 3 0.2.svg Truncamiento regular 3 0.333.svg
t {3} = {6}
Nodo CDel 1.pngCDel 3.pngNodo CDel 1.png 		Truncamiento regular 3 0.45.svg Truncamiento regular 3 0.5.svg
r {3} = {3}
CDel node.pngCDel 3.pngNodo CDel 1.png

Los polígonos en estrella también se pueden truncar. Un pentagrama truncado {5/2} se verá como un pentágono , pero en realidad es un decágono de doble cubierta (degenerado) ({10/2}) con dos conjuntos de vértices y bordes superpuestos. Un gran heptagrama truncado {7/3} da un tetradecagrama {14/3}.

Truncamiento uniforme en poliedros regulares y teselados y superiores

Truncamientos del cubo más allá de la rectificación

Cuando "truncamiento" se aplica a sólidos platónicos o teselaciones regulares , normalmente se implica "truncamiento uniforme", lo que significa truncar hasta que las caras originales se conviertan en polígonos regulares con el doble de lados que la forma original.

Secuencia de truncamiento de cubos.svg

Esta secuencia muestra un ejemplo del truncamiento de un cubo, utilizando cuatro pasos de un proceso de truncado continuo entre un cubo completo y un cubo rectificado . El poliedro final es un cuboctaedro . La imagen del medio es el cubo truncado uniforme ; está representado por un símbolo de Schläfli t { p , q , ...}.

Un bitruncation es un truncamiento más profundo, eliminando todos los bordes originales, pero dejando una parte interior de las caras originales. Ejemplo: un octaedro truncado es un cubo bitruncado: t {3,4} = 2t {4,3}.

Un bitruncation completo, llamado birectificación , reduce las caras originales a puntos. Para los poliedros, esto se convierte en el poliedro dual . Ejemplo: un octaedro es una birectificación de un cubo : {3,4} = 2r {4,3}.

Otro tipo de truncamiento, cantelación , corta bordes y vértices, eliminando los bordes originales, reemplazándolos por rectángulos, eliminando los vértices originales y reemplazándolos con las caras del dual del poliedro regular original o alicatado.

Los politopos de mayor dimensión tienen mayores truncamientos. Runcination corta caras, aristas y vértices. En 5 dimensiones, la esterificación corta células, caras y bordes.

Truncamiento de bordes

Truncar los bordes de un cubo, crear un cubo biselado

El truncamiento de bordes es un biselado, o chaflán para poliedros, similar a la cantelación, pero conservando los vértices originales y reemplazando los bordes por hexágonos. En 4 politopos, el truncamiento de los bordes reemplaza los bordes con celdas bipirámides alargadas .

Alternancia o truncamiento parcial

Una alternancia uniforme de un cuboctaedro truncado da un cubo chato no uniforme .

La alternancia o el truncamiento parcial eliminan solo algunos de los vértices originales.

En el truncamiento parcial o alternancia , la mitad de los vértices y los bordes de conexión se eliminan por completo. La operación se aplica solo a politopos con caras pares. Las caras se reducen a la mitad de los lados y las caras cuadradas degeneran en bordes. Por ejemplo, el tetraedro es un cubo alterno, h {4,3}.

Disminución es un término más general que se utiliza en referencia a los sólidos de Johnson para la eliminación de uno o más vértices, aristas o caras de un politopo, sin perturbar los otros vértices. Por ejemplo, el icosaedro tridiminado comienza con un icosaedro regularcon 3 vértices eliminados.

Otros truncamientos parciales se basan en la simetría; por ejemplo, el dodecaedro tetraédrico disminuido .

Truncamientos generalizados

Tipos de truncamientos que se muestran en un borde aislado de un polígono o poliedro más grande con vértices rojos y azules. El borde invierte la dirección después de un truncamiento completo.

El proceso de truncamiento lineal se puede generalizar permitiendo truncamientos paramétricos que son negativos, o que van más allá del punto medio de los bordes, causando poliedros de estrellas que se intersecan por sí mismos, y pueden relacionarse paramétricamente con algunos de los polígonos de estrellas regulares y poliedros de estrellas uniformes .

  • Truncamiento superficial : los bordes se reducen en longitud, las caras se truncan para tener el doble de lados, mientras que se forman nuevas facetas , centradas en los vértices antiguos.
  • El truncamiento uniforme es un caso especial de esto con longitudes de borde iguales. El cubo truncado , t {4,3}, con caras cuadradas que se convierten en octágonos, con nuevas caras triangulares son los vértices.
  • Antitruncation Un truncamiento superficial inverso , truncado hacia afuera de los bordes originales, en lugar de hacia adentro. Esto da como resultado un politopo que se parece al original, pero tiene partes del doble colgando de sus esquinas, en lugar del doble corte en sus propias esquinas.
  • Truncamiento completo o rectificación : el límite de un truncamiento superficial, donde los bordes se reducen a puntos. El cuboctaedro , r {4,3}, es un ejemplo.
  • Hipertruncación Una forma de truncamiento que va más allá de la rectificación, invirtiendo los bordes originales y provocando que aparezcan autointersecciones.
  • Cuasitruncación Una forma de truncamiento que va incluso más lejos que la hipertruncación en la que el borde invertido se vuelve más largo que el borde original. Se puede generar a partir del politopo original tratando todas las caras como retrógradas, es decir, yendo hacia atrás alrededor del vértice. Por ejemplo, cuasitruncar el cuadrado da un octagrama regular (t {4,3} = {8/3}) y cuasitruncar el cubo da el hexaedro truncado estrellado uniforme , t {4 / 3,3}.
Truncamientos en un cuadrado
Tipos de truncamiento en square4.png
Tipos de truncamiento en un cuadrado, {4}, que muestran los bordes originales rojos y los nuevos bordes truncados en cian. Un cuadrado truncado uniforme es un octágono regular, t {4} = {8}. Un cuadrado truncado completo se convierte en un nuevo cuadrado, con una orientación diagonal. Los vértices son secuenciados alrededor en sentido antihorario, 1-4, con pares truncadas de vértices como un y b .
Truncamientos del cubo
Truncamiento de cubo 3.75.png
⇨ t a C 		Truncamiento de cubo 0.00.png
Cubo
{4,3} C 		Truncamiento de cubo 0.25.png
⇨ tC 		Truncamiento de cubo 0.50.png
Truncamiento
t {4,3} tC 		Truncamiento del cubo 0.75.png
⇨ tC 		Truncamiento de cubo 1.00.png
Truncamiento completo
r {4,3} aC 		Truncamiento de cubo 1.25.png
⇩ t h C
Truncamiento de cubo 3.50.png
Antitruncation t a C 		Truncamiento de cubo 1.50.png
Hipertruncación t h C
Truncamiento de cubo 3.25.png
⇧ t a C 		Truncamiento de cubo 3.00.png
Cuasitruncación completa
a q C 		Truncamiento de cubo 2.75.png
⇦ 		Truncamiento de cubo 2.50.png
Cuasitruncación
t {4 / 3,3} t q C 		Truncamiento de cubo 2.25.png
⇦ t q C 		Truncamiento de cubo 2.00.png
Hipertruncación completa a h C 		Truncamiento de cubo 1.75.png
⇦ t h C

Ver también

Referencias

  • Coxeter, HSM Regular Polytopes , (3.a edición, 1973), edición Dover, ISBN  0-486-61480-8 (págs. 145-154 Capítulo 8: Truncamiento)
  • Politopos uniformes de Norman Johnson , Manuscrito (1991)
    • NW Johnson : La teoría de politopos uniformes y panales , Ph.D. Disertación, Universidad de Toronto, 1966

enlaces externos

Operadores de poliedro
[ ]
Semilla Truncamiento Rectificación Bitruncation Doble Expansión Omnitruncación Alternancias
Nodo CDel 1.pngCDel p.pngNodo CDel n1.pngCDel q.pngNodo CDel n2.png Nodo CDel 1.pngCDel p.pngNodo CDel 1.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngNodo CDel 1.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngNodo CDel 1.pngCDel q.pngNodo CDel 1.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngNodo CDel 1.png Nodo CDel 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngNodo CDel 1.png Nodo CDel 1.pngCDel p.pngNodo CDel 1.pngCDel q.pngNodo CDel 1.png CDel nodo h.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel nodo h.pngCDel q.pngCDel nodo h.png CDel nodo h.pngCDel p.pngCDel nodo h.pngCDel q.pngCDel nodo h.png
Poliedro uniforme-43-t0.svg Poliedro uniforme-43-t01.svg Poliedro uniforme-43-t1.svg Poliedro uniforme-43-t12.svg Poliedro uniforme-43-t2.svg Poliedro uniforme-43-t02.png Poliedro uniforme-43-t012.png Poliedro uniforme-33-t0.png Poliedro uniforme-43-h01.svg Poliedro uniforme-43-s012.png
t 0 {p, q}
{p, q} 		t 01 {p, q}
t {p, q} 		t 1 {p, q}
r {p, q} 		t 12 {p, q}
2t {p, q} 		t 2 {p, q}
2r {p, q} 		t 02 {p, q}
rr {p, q} 		t 012 {p, q}
tr {p, q} 		ht 0 {p, q}
h {q, p} 		ht 12 {p, q}
s {q, p} 		ht 012 {p, q}
sr {p, q}