Teleparalelismo - Teleparallelism

El teleparalelismo (también llamado gravedad teleparalela ) fue un intento de Albert Einstein de basar una teoría unificada del electromagnetismo y la gravedad en la estructura matemática del paralelismo distante, también conocido como absoluto o teleparallelismo. En esta teoría, un espacio-tiempo se caracteriza por una conexión lineal sin curvatura junto con un campo tensor métrico , ambos definidos en términos de un campo de tétrada dinámica .

Espacios-tiempos teleparalelos

La nueva idea fundamental, para Einstein, fue la introducción de una tétrada campo, es decir, un conjunto ${X 1, X 2, X 3, X 4}$ de cuatro campos de vector definido en todo de $M$ tal que para cada $p \in M$ la el conjunto ${X 1 (p), X 2 (p), X 3 (p), X 4 (p)}$ es una base de $T p M$ , donde $T p M$ denota la fibra sobre $p$ del haz de vectores tangente $TM$ . Por tanto, la variedad de espacio - tiempo de cuatro dimensiones $M$ debe ser una variedad paralelizable . El campo de la tétrada se introdujo para permitir la comparación distante de la dirección de los vectores tangentes en diferentes puntos de la variedad, de ahí el nombre de paralelismo distante. Su intento fracasó porque no había una solución de Schwarzschild en su ecuación de campo simplificada.

De hecho, se puede definir la conexión de la paralelización (también llamada conexión de Weitzenböck ) ${X i}$ como la conexión lineal $\nabla$ en $M$ tal que

{\ Displaystyle \ nabla _ {v} \ left (f ^ {i} \ mathrm {X} _ {i} \ right) = \ left (vf ^ {i} \ right) \ mathrm {X} _ {i} (pag),}

donde $v \in T p M$ y $f i$ son funciones (globales) en $M$ ; por lo tanto $f i x i$ es un campo vector global sobre $M$ . En otras palabras, los coeficientes de la conexión de Weitzenböck $\nabla$ con respecto a ${X i}$ son todos idénticamente cero, implícitamente definidos por:

{\ Displaystyle \ nabla _ {\ mathrm {X} _ {i}} \ mathrm {X} _ {j} = 0,}

por eso

{\ Displaystyle {W ^ {k}} _ {ij} = \ omega ^ {k} \ left (\ nabla _ {\ mathrm {X} _ {i}} \ mathrm {X} _ {j} \ right) \ equiv 0,}

para los coeficientes de conexión (también llamados coeficientes de Weitzenböck) en esta base global. Aquí $ω k$ es la base global dual (o coframe) definida por $ω i (X j) = δ yo j$ .

Esto es lo que suele ocurrir en $R n$ , en cualquier espacio afín o grupo de Lie (por ejemplo, la esfera 'curva' $S 3$ pero la variedad 'plana de Weitzenböck').

Usando la ley de transformación de una conexión, o equivalentemente las propiedades $\nabla$ , tenemos el siguiente resultado.

Proposición . De forma natural, asociados con coordenadas locales $(U, x μ)$ , es decir, en el marco holonómico $\partial μ$ , los coeficientes de conexión (local) de la conexión de Weitzenböck están dados por:

${\ Displaystyle {\ Gamma ^ {\ beta}} _ {\ mu \ nu} = h_ {i} ^ {\ beta} \ parcial _ {\ nu} h _ {\ mu} ^ {i},}$

donde $X i = h μ i \partial μ$ para $i, μ = 1, 2,\dots n$ son las expresiones locales de un objeto global, es decir, la tétrada dada.

La conexión Weitzenböck tiene una curvatura que se desvanece , pero, en general, una torsión que no desaparece .

Dado el campo de la trama ${X i}$ , también se puede definir una métrica al concebir el campo de la trama como un campo vectorial ortonormal. Entonces se obtendría un campo tensor métrico pseudo-Riemanniano $g$ de firma (3,1) por

{\ Displaystyle g \ left (\ mathrm {X} _ {i}, \ mathrm {X} _ {j} \ right) = \ eta _ {ij},}

donde

{\ Displaystyle \ eta _ {ij} = \ operatorname {diag} (-1, -1, -1,1).}

El correspondiente espacio-tiempo subyacente se llama, en este caso, un espacio -tiempo de Weitzenböck .

Vale la pena señalar que estos 'campos vectoriales paralelos' dan lugar al tensor métrico como un subproducto.

Nueva teoría de la gravedad teleparalela

La nueva teoría de la gravedad teleparalela (o nueva relatividad general ) es una teoría de la gravitación en el espacio-tiempo de Weitzenböck y atribuye la gravitación al tensor de torsión formado por los campos vectoriales paralelos.

En la nueva teoría de la gravedad teleparalela, los supuestos fundamentales son los siguientes:

El espacio-tiempo subyacente es el espacio-tiempo de Weitzenböck, que tiene un cuatrillizo de campos vectoriales paralelos como estructura fundamental. Estos campos vectoriales paralelos dan lugar al tensor métrico como subproducto. Todas las leyes físicas se expresan mediante ecuaciones que son covariantes o de forma invariante bajo el grupo de transformaciones de coordenadas generales.
El principio de equivalencia solo es válido en física clásica.
Las ecuaciones de campo gravitacional se pueden derivar del principio de acción.
Las ecuaciones de campo son ecuaciones diferenciales parciales en las variables de campo no superiores al segundo orden.

En 1961 Christian Møller revivió la idea de Einstein, y Pellegrini y Plebanski encontraron una formulación lagrangiana para el paralelismo absoluto .

Teoría de la gravitación de la tétrada de Møller

En 1961, Møller demostró que una descripción de tétrada de los campos gravitacionales permite un tratamiento más racional del complejo energía-momento que en una teoría basada únicamente en el tensor métrico . La ventaja de utilizar tétradas como variables gravitacionales estaba relacionada con el hecho de que esto permitió construir expresiones para el complejo energía-momento que tenían propiedades de transformación más satisfactorias que en una formulación puramente métrica. Recientemente se ha demostrado que la energía total de la materia y la gravitación es proporcional al escalar de Ricci de tres espacios hasta un orden lineal de perturbación.

Nueva traducción de la teoría de la gravedad teleparallel gauge

Independientemente, en 1967, Hayashi y Nakano revivieron la idea de Einstein, y Pellegrini y Plebanski comenzaron a formular la teoría gauge del grupo de traducción del espacio-tiempo. Hayashi señaló la conexión entre la teoría de gauge del grupo de traducción del espacio-tiempo y el paralelismo absoluto. Cho proporcionó la primera formulación de haz de fibras . Este modelo fue posteriormente estudiado por Schweizer et al., Nitsch y Hehl, Meyer, y se pueden encontrar avances más recientes en Aldrovandi y Pereira, Gronwald, Itin, Maluf y da Rocha Neto, Münch, Obukhov y Pereira, y Schucking y Surowitz.

Hoy en día, la gente estudia el teleparallelismo puramente como una teoría de la gravedad sin intentar unificarlo con el electromagnetismo. En esta teoría, el campo gravitacional resulta estar completamente representado por el potencial de calibre de traslación $B a μ$ , como debería ser para una teoría de calibre para el grupo de traslación.

Si se hace esta elección, entonces ya no hay simetría de calibre de Lorentz porque la fibra espacial interna de Minkowski —sobre cada punto de la variedad espaciotemporal — pertenece a un haz de fibras con el Abeliano $R$ $4$ como grupo de estructura . Sin embargo, una simetría de calibre traslacional se puede introducir así: en lugar de ver tétradas como fundamental, introducimos una simetría de calibre traslacional $R$ $4$ fundamental en su lugar (que actúa sobre las fibras internas del espacio de Minkowski de manera afín para que esta fibra se vuelva local una vez más) con un conexión $B$ y un "campo de coordenadas" $x$ tomando valores en la fibra espacial de Minkowski.

Más precisamente, deja $π : M \to M$ sea el Minkowski haz de fibras sobre el espacio-tiempo colector $M$ . Para cada punto $p \in M$ , la fibra $M p$ es un espacio afín . En un gráfico de fibra $(V, ψ)$ , las coordenadas generalmente se denotan por $ψ = (x μ, x a)$ , donde $x μ$ son coordenadas en la variedad de espacio-tiempo $M$ , $yx a$ son coordenadas en la fibra $M p$ .

Usando la notación de índice abstracto , hagamos que $a, b, c,\dots se$ refieran a $M p$ y $μ, ν,\dots se$ refieran al paquete tangente $TM$ . En cualquier calibre en particular, el valor de $x a$ en el punto p viene dado por la sección

{\ Displaystyle x ^ {\ mu} \ to \ left (x ^ {\ mu}, x ^ {a} = \ xi ^ {a} (p) \ right).}

La derivada covariante

{\ Displaystyle D _ {\ mu} \ xi ^ {a} \ equiv \ left (d \ xi ^ {a} \ right) _ {\ mu} + {B ^ {a}} _ {\ mu} = \ parcial _ {\ mu} \ xi ^ {a} + {B ^ {a}} _ {\ mu}}

se define con respecto a la forma de conexión $B$ , una forma 1 que asume valores en el álgebra de Lie del grupo abeliano traslacional $R 4$ . Aquí, d es la derivada exterior del $a-$ ésimo componente de $x$ , que es un campo escalar (por lo que no es una notación de índice abstracto puro). Bajo una transformación de calibre por el campo de traslación $α a$ ,

{\ Displaystyle x ^ {a} \ to x ^ {a} + \ alpha ^ {a}}

y

{\ Displaystyle {B ^ {a}} _ {\ mu} \ to {B ^ {a}} _ {\ mu} - \ parcial _ {\ mu} \ alpha ^ {a}}

y así, la derivada covariante de $x a = ξ a (p)$ es invariante de calibre . Esto se identifica con la (co-) tétrada de traducción

{\ Displaystyle {h ^ {a}} _ {\ mu} = \ parcial _ {\ mu} \ xi ^ {a} + {B ^ {a}} _ {\ mu}}

que es una forma única que toma valores en el álgebra de Lie del grupo abeliano traslacional $R 4$ , de donde es invariante de calibre. Pero ¿qué significa esto? $x a = ξ a (p)$ es una sección local del paquete interno afín (traslacional puro) $M \to M$ , otra estructura importante además del campo de calibre traslacional $B a μ$ . Geométricamente, este campo determina el origen de los espacios afines; se conoce como vector de radio de Cartan . En el marco de la teoría del calibre, la forma única

{\ Displaystyle h ^ {a} = {h ^ {a}} _ {\ mu} dx ^ {\ mu} = \ left (\ partial _ {\ mu} \ xi ^ {a} + {B ^ {a }} _ {\ mu} \ derecha) dx ^ {\ mu}}

surge como el campo de calibre de traslación no lineal con $ξ a$ interpretado como el campo de Goldstone que describe la ruptura espontánea de la simetría de traslación.

Una analogía burda: piense en $M p$ como la pantalla de la computadora y el desplazamiento interno como la posición del puntero del mouse. Piense en un mousepad curvo como el espacio-tiempo y la posición del mouse como la posición. Manteniendo fija la orientación del mouse, si movemos el mouse sobre el mousepad curvo, la posición del puntero del mouse (desplazamiento interno) también cambia y este cambio depende de la ruta; es decir, no solo depende de la posición inicial y final del mouse. El cambio en el desplazamiento interno cuando movemos el mouse sobre un camino cerrado en el mousepad es la torsión.

Otra analogía burda: piense en un cristal con defectos de línea ( dislocaciones de los bordes y dislocaciones de los tornillos, pero no declinaciones ). El transporte paralelo de un punto de M a lo largo de una trayectoria se da contando el número de enlaces de cristal (arriba / abajo, adelante / atrás e izquierda / derecha) atravesados. El vector Burgers corresponde a la torsión. Las aversiones corresponden a la curvatura, por lo que se excluyen.

La torsión, es decir, la intensidad del campo de traslación de la gravedad teleparalela (o la "curvatura" de traslación),

{\ Displaystyle {T ^ {a}} _ {\ mu \ nu} \ equiv \ left (DB ^ {a} \ right) _ {\ mu \ nu} = D _ {\ mu} {B ^ {a}} _ {\ nu} -D _ {\ nu} {B ^ {a}} _ {\ mu},}

es invariante de calibre.

Por supuesto, siempre podemos elegir el calibre donde $x a$ es cero en todas partes (aunque es un problema; $M p$ es un espacio afín y también una fibra, por lo que tenemos que definir el origen punto por punto, pero esto siempre puede hacerse arbitrariamente) y esto nos lleva de nuevo a la teoría donde la tétrada es fundamental.

El teleparalelismo se refiere a cualquier teoría de la gravitación basada en este marco. Hay una elección particular de la acción que la hace exactamente equivalente a la relatividad general, pero también hay otras elecciones de la acción que no son equivalentes a GR. En algunas de estas teorías, no existe equivalencia entre masas inerciales y gravitacionales .

A diferencia de GR, la gravedad no se debe a la curvatura del espacio-tiempo. Se debe a la torsión.

Contextos no gravitacionales

Existe una estrecha analogía de la geometría del espacio-tiempo con la estructura de los defectos en el cristal. Las dislocaciones están representadas por torsión, disclinaciones por curvatura. Estos defectos no son independientes entre sí. Una dislocación equivale a un par disclinación-antidisclinización, una disclinación equivale a una serie de dislocaciones. Esta es la razón básica por la que la teoría de Einstein basada puramente en la curvatura puede reescribirse como una teoría teleparalela basada únicamente en la torsión. Además, existen infinitas formas de reescribir la teoría de Einstein, dependiendo de cuánta curvatura se quiera reexpresar en términos de torsión, siendo la teoría teleparalela simplemente una versión específica de estas.

Una aplicación adicional del teleparallelismo ocurre en la teoría cuántica de campos, a saber, modelos sigma no lineales bidimensionales con espacio objetivo en variedades geométricas simples, cuyo comportamiento de renormalización está controlado por un flujo de Ricci , que incluye torsión . Esta torsión modifica el tensor de Ricci y, por tanto, conduce a un punto fijo infrarrojo para el acoplamiento, debido al teleparallelismo ("geometrostasis").

Ver también

Referencias

Otras lecturas

Bishop, RL ; Goldberg, SI (1968). Análisis tensorial en colectores (Primera edición de Dover, 1980). Macmillan. ISBN 978-0-486-64039-6.
Weitzenböck, R. (1923). Invariantentheorie . Groningen: Noordhoff.
Aldrovandi, R .; Pereira, JG (2012). Gravedad teleparalela: una introducción . Springer: Dordrecht. ISBN 978-94-007-5142-2.

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