Notación de índice abstracto - Abstract index notation

La notación de índice abstracto (también conocida como notación de índice de denominación de ranuras) es una notación matemática para tensores y espinores que usa índices para indicar sus tipos, en lugar de sus componentes en una base particular. Los índices son meros marcadores de posición, no relacionados con ninguna base y, en particular, no son numéricos. Por tanto, no debe confundirse con el cálculo de Ricci . Roger Penrose introdujo la notación como una forma de utilizar los aspectos formales de la convención de suma de Einstein para compensar la dificultad de describir las contracciones y la diferenciación covariante en la notación tensorial abstracta moderna, al tiempo que se conserva la covarianza explícita de las expresiones involucradas.

Sea un espacio vectorial y su espacio dual . Considere, por ejemplo, un tensor covariante de orden 2 . Luego se puede identificar con una forma bilineal en . En otras palabras, es una función de dos argumentos en los que se puede representar como un par de ranuras : ${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle V ^ {*}}$${\ Displaystyle h \ in V ^ {*} \ otimes V ^ {*}}$${\ Displaystyle h}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle V}$

${\ Displaystyle h = h (-, -).}$

La notación de índice abstracto es simplemente un etiquetado de las ranuras con letras latinas, que no tienen ningún significado aparte de su designación como etiquetas de las ranuras (es decir, no son numéricas):

${\ Displaystyle h = h_ {ab}.}$

Una contracción (o traza) tensorial entre dos tensores se representa mediante la repetición de una etiqueta de índice, donde una etiqueta es contravariante (un índice superior correspondiente al factor ) y una etiqueta es covariante (un índice inferior correspondiente al factor ). Así, por ejemplo, ${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle V ^ {*}}$

${\ Displaystyle {t_ {ab}} ^ {b}}$

es el rastro de un tensor sobre sus dos últimos espacios. Esta forma de representar las contracciones tensoriales mediante índices repetidos es formalmente similar a la convención de suma de Einstein . Sin embargo, como los índices no son numéricos, no implica una suma: más bien corresponde a la operación de traza abstracta independiente de la base (o emparejamiento natural ) entre los factores tensoriales de tipo y los de tipo . ${\ Displaystyle t = {t_ {ab}} ^ {c}}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle V ^ {*}}$

Índices abstractos y espacios tensoriales

Un tensor general homogéneo es un elemento de un tensor producto de copias de y , como ${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle V ^ {*}}$

${\ Displaystyle V \ otimes V ^ {*} \ otimes V ^ {*} \ otimes V \ otimes V ^ {*}.}$

Etiquete cada factor en este producto tensorial con una letra latina en una posición elevada para cada factor contravariante y en una posición baja para cada posición covariante . De esta forma, escriba el producto como ${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle V ^ {*}}$

${\ Displaystyle V ^ {a} V_ {b} V_ {c} V ^ {d} V_ {e}}$

o simplemente

${\ Displaystyle {{{V ^ {a}} _ {bc}} ^ {d}} _ {e}.}$

Las dos últimas expresiones denotan el mismo objeto que la primera. Los tensores de este tipo se indican utilizando una notación similar, por ejemplo:

${\ Displaystyle {{{h ^ {a}} _ {bc}} ^ {d}} _ {e} \ in {{{V ^ {a}} _ {bc}} ^ {d}} _ {e } = V \ otimes V ^ {*} \ otimes V ^ {*} \ otimes V \ otimes V ^ {*}.}$

Contracción

En general, siempre que un factor contravariante y uno covariante ocurren en un producto tensorial de espacios, existe un mapa de contracción (o traza ) asociado . Por ejemplo,

${\ Displaystyle \ mathrm {Tr} _ {12}: V \ otimes V ^ {*} \ otimes V ^ {*} \ otimes V \ otimes V ^ {*} \ to V ^ {*} \ otimes V \ otimes V ^ {*}}$

es la traza en los dos primeros espacios del producto tensorial.

${\ Displaystyle \ mathrm {Tr} _ {15}: V \ otimes V ^ {*} \ otimes V ^ {*} \ otimes V \ otimes V ^ {*} \ to V ^ {*} \ otimes V ^ { *} \ otimes V}$

es el rastro en el primer y último espacio.

Estas operaciones de rastreo se indican en los tensores mediante la repetición de un índice. Así, el primer mapa de trazas viene dado por

${\ Displaystyle \ mathrm {Tr} _ {12}: {{{h ^ {a}} _ {bc}} ^ {d}} _ {e} \ mapsto {{{h ^ {a}} _ {ac }} ^ {d}} _ {e}}$

y el segundo por

${\ Displaystyle \ mathrm {Tr} _ {15}: {{{h ^ {a}} _ {bc}} ^ {d}} _ {e} \ mapsto {{{h ^ {a}} _ {bc }} ^ {d}} _ {a}.}$

Trenza

Para cualquier producto tensorial en un solo espacio vectorial, hay mapas de trenzado asociados . Por ejemplo, el mapa de trenzado

${\ Displaystyle \ tau _ {(12)}: V \ otimes V \ rightarrow V \ otimes V}$

intercambia los dos factores tensoriales (de modo que su acción sobre tensores simples viene dada por ). En general, los mapas de trenzado están en correspondencia uno a uno con elementos del grupo simétrico , actuando permutando los factores tensoriales. Aquí, usamos para denotar el mapa de trenzado asociado a la permutación (representado como un producto de permutaciones cíclicas disjuntas ). ${\ Displaystyle \ tau _ {(12)} (v \ otimes w) = w \ otimes v}$${\ Displaystyle \ tau _ {\ sigma}}$${\ Displaystyle \ sigma}$

Los mapas de trenzado son importantes en geometría diferencial , por ejemplo, para expresar la identidad Bianchi . Aquí denotemos el tensor de Riemann, considerado como un tensor en . La primera identidad Bianchi afirma entonces que ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle V ^ {*} \ otimes V ^ {*} \ otimes V ^ {*} \ otimes V}$

${\ Displaystyle R + \ tau _ {(123)} R + \ tau _ {(132)} R = 0.}$

La notación de índice abstracto maneja el trenzado de la siguiente manera. En un producto tensorial particular, se fija un orden de los índices abstractos (normalmente es un orden lexicográfico ). Luego, la trenza se representa en notación permutando las etiquetas de los índices. Así, por ejemplo, con el tensor de Riemann

${\ Displaystyle R = {R_ {abc}} ^ {d} \ in {V_ {abc}} ^ {d} = V ^ {*} \ otimes V ^ {*} \ otimes V ^ {*} \ otimes V ,}$

la identidad Bianchi se convierte en

${\ Displaystyle {R_ {abc}} ^ {d} + {R_ {cab}} ^ {d} + {R_ {bca}} ^ {d} = 0.}$

Antisimetrización y simetrización

Un tensor general puede estar antisimetrizado o simetrizado, y existe una notación correspondiente.

Demostramos la notación con un ejemplo. Antisimetricemos el tensor de tipo- (0,3) , donde es el grupo simétrico de tres elementos. ${\ Displaystyle \ omega _ {abc}}$${\ Displaystyle \ mathrm {S} _ {3}}$

${\ Displaystyle \ omega _ {[abc]}: = {\ frac {1} {3!}} \ sum _ {\ sigma \ in \ mathrm {S} _ {3}} (- 1) ^ {{\ texto {sgn}} (\ sigma)} \ omega _ {\ sigma (a) \ sigma (b) \ sigma (c)}}$

De manera similar, podemos simetrizar:

${\ Displaystyle \ omega _ {(abc)}: = {\ frac {1} {3!}} \ sum _ {\ sigma \ in \ mathrm {S} _ {3}} \ omega _ {\ sigma (a ) \ sigma (b) \ sigma (c)}}$

Ver también

• Notación gráfica de Penrose
• Notación de Einstein
• Notación de índice
• Tensor
• Tensor antisimétrico
• Subiendo y bajando índices
• Covarianza y contravarianza de vectores

Referencias