Cono tangente - Tangent cone

En geometría , el cono tangente es una generalización de la noción de espacio tangente a una variedad para el caso de ciertos espacios con singularidades.

Definiciones en análisis no lineal

En el análisis no lineal, existen muchas definiciones para un cono tangente, incluido el cono adyacente , el cono contingente de Bouligand y el cono tangente de Clarke . Estos tres conos coinciden para un conjunto convexo, pero pueden diferir en conjuntos más generales.

Cono tangente de Clarke

Sea un subconjunto cerrado no vacío del espacio de Banach . El cono tangente de Clarke a at , denotado por consta de todos los vectores , de modo que para cualquier secuencia que tiende a cero, y cualquier secuencia que tiende a , existe una secuencia que tiende a , tal que para todo se cumple ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle x_ {0} \ in A}$ ${\ Displaystyle {\ widehat {T}} _ {A} (x_ {0})}$ ${\ Displaystyle v \ en X}$ ${\ Displaystyle \ {t_ {n} \} _ {n \ geq 1} \ subconjunto \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ {x_ {n} \} _ {n \ geq 1} \ subconjunto A}$ ${\ Displaystyle x_ {0}}$ ${\ Displaystyle \ {v_ {n} \} _ {n \ geq 1} \ subconjunto X}$ ${\ Displaystyle v}$ ${\ Displaystyle n \ geq 1}$ ${\ Displaystyle x_ {n} + t_ {n} v_ {n} \ in A}$

El cono tangente de Clarke es siempre un subconjunto del cono contingente correspondiente (y coincide con él, cuando el conjunto en cuestión es convexo). Tiene la importante propiedad de ser un cono convexo cerrado.

Definición en geometría convexa

Deje que K sea un cerrado subconjunto convexo de un verdadero espacio vectorial V y ∂ K sea el límite de K . El cono sólido tangente a K en un punto x ∈ ∂ K es el cierre del cono formado por todas las medias líneas (o rayos) que emanan de x e intersecan a K en al menos un punto y distinto de x . Es un cono convexo en V y también se puede definir como la intersección de los semiespacios cerrados de V que contienen K y delimitados por los hiperplanos de apoyo de K en x . El límite T _K del cono sólido tangente es el cono tangente a K y ∂ K en x . Si este es un subespacio afín de V, entonces el punto x se llama un punto suave de ∂ K y se dice que ∂ K es diferenciable en x y T _K es el espacio tangente ordinario a ∂ K en x .

Definición en geometría algebraica

y ² = x ³ + x ² (rojo) con cono tangente (azul)

Sea X una variedad algebraica afín incrustada en el espacio afín , con ideal definitorio . Para cualquier polinomio f , sea el componente homogéneo de f del grado más bajo, el término inicial de f , y sea ${\ Displaystyle k ^ {n}}$ ${\ Displaystyle I \ subconjunto k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {en} (f)}$

{\ Displaystyle \ operatorname {in} (I) \ subset k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}

ser el ideal homogénea que se forma por las condiciones iniciales para todos , el ideales inicial de I . El cono tangente a X en el origen es el subconjunto cerrado de Zariski definido por el ideal . Al cambiar el sistema de coordenadas, esta definición se extiende a un punto arbitrario de en lugar del origen. El cono tangente sirve como la extensión de la noción del espacio tangente a X en un punto regular, donde X se asemeja más estrechamente una variedad diferenciable , a todos X . (El cono de tangente en un punto que no está contenido en X está vacío). ${\ Displaystyle \ operatorname {en} (f)}$ ${\ Displaystyle f \ in I}$ ${\ Displaystyle k ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {en} (I)}$ ${\ Displaystyle k ^ {n}}$ ${\ Displaystyle k ^ {n}}$

Por ejemplo, la curva nodal

{\ Displaystyle C: y ^ {2} = x ^ {3} + x ^ {2}}

es singular en el origen, porque ambas derivadas parciales de f ( x , y ) = y ² - x ³ - x ² desaparecen en (0, 0). Por tanto, el espacio tangente de Zariski a C en el origen es el plano completo y tiene una dimensión más alta que la propia curva (dos contra uno). Por otro lado, el cono tangente es la unión de las rectas tangentes a las dos ramas de C en el origen,

{\ Displaystyle x = y, \ quad x = -y.}

Su ideal definitorio es el ideal principal de k [ x ] generado por el término inicial de f , a saber y ² - x ² = 0.

La definición del cono tangente puede extenderse a variedades algebraicas abstractas, e incluso a esquemas generales noetherianos . Sea X una variedad algebraica , x un punto de X y ( O _X_,_x , m ) el anillo local de X en x . Entonces el cono tangente a X en x es el espectro del anillo graduado asociado de O _X_,_x con respecto a la filtración m -ádica :