Subquotiente - Subquotient

En los campos matemáticos de la teoría de categorías y el álgebra abstracta , un subcociente es un objeto cociente de un subobjeto . Los subquotientes son particularmente importantes en las categorías abelianas y en la teoría de grupos , donde también se conocen como secciones , aunque esto entra en conflicto con un significado diferente en la teoría de categorías .

En la literatura sobre grupos esporádicos se pueden encontrar expresiones como « está involucrado en » con el aparente significado de « es un subcociente de ». ${\ Displaystyle H}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle H}$ ${\ Displaystyle G}$

Un cociente de una subrepresentación de una representación (de, digamos, un grupo) podría denominarse representación subquotiente; por ejemplo, el teorema del subquotiente de Harish-Chandra .

Ejemplos de

De los 26 grupos esporádicos , los 20 subquotientes del grupo de monstruos se conocen como la "Familia Feliz", mientras que los 6 restantes como " grupos parias ".

Relación de pedido

La relación subcociente de es una relación de orden .

Prueba de transitividad para grupos

Sea subquotiente de , además sea subquotiente de y sea el homomorfismo canónico . Entonces todos los mapas verticales ( ) ${\ Displaystyle H '/ H' '}$ ${\ Displaystyle H}$ ${\ Displaystyle H: = G '/ G' '}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle \ varphi \ colon G '\ to H}$ ${\ Displaystyle \ flecha hacia abajo}$ ${\ Displaystyle \ varphi \ colon X \ to Y, \; g \ mapsto g \, G ''}$

${\ Displaystyle G}$	${\ Displaystyle \ geq}$	${\ Displaystyle G '}$	${\ Displaystyle \ geq}$	${\ Displaystyle \ varphi ^ {- 1} (H ')}$	${\ Displaystyle \ geq}$	${\ Displaystyle \ varphi ^ {- 1} (H '')}$	${\ Displaystyle \ vartriangleright}$	${\ Displaystyle G ''}$
	${\ Displaystyle \ varphi \ !:}$	${\ Displaystyle {\ Big \ downarrow}}$		${\ Displaystyle {\ Big \ downarrow}}$		${\ Displaystyle {\ Big \ downarrow}}$		${\ Displaystyle {\ Big \ downarrow}}$
		${\ Displaystyle H}$	${\ Displaystyle \ geq}$	${\ Displaystyle H '}$	${\ Displaystyle \ vartriangleright}$	${\ Displaystyle H ''}$	${\ Displaystyle \ vartriangleright}$	${\ Displaystyle \ {1 \}}$

con adecuados son sobreyectivos para los respectivos pares ${\ Displaystyle g \ en X}$

{\ Displaystyle (X, Y) \; \; \; \ in}

{\ Displaystyle {\ Bigl \ {} {\ bigl (} G ', H {\ bigr)} {\ Bigr.}}

{\ Displaystyle,}

{\ Displaystyle {\ bigl (} \ phi ^ {- 1} (H '), H' {\ bigr)}}

{\ Displaystyle,}

{\ Displaystyle {\ bigl (} \ phi ^ {- 1} (H ''), H '' {\ bigr)}}

{\ Displaystyle,}

{\ Displaystyle {\ Bigl.} {\ bigl (} G '', \ {1 \} {\ bigr)} {\ Bigr \}}.}

Las preimágenes y son ambos subgrupos de que contiene y es y , porque cada una tiene una preimagen con . Además, el subgrupo es normal en . ${\ Displaystyle \ varphi ^ {- 1} \ left (H '\ right)}$ ${\ Displaystyle \ varphi ^ {- 1} \ left (H '' \ right)}$ ${\ Displaystyle G '}$ ${\ Displaystyle G '',}$ ${\ Displaystyle \ varphi \ left (\ varphi ^ {- 1} \ left (H '\ right) \ right) = H'}$ ${\ Displaystyle \ varphi \ left (\ varphi ^ {- 1} \ left (H '' \ right) \ right) = H ''}$ ${\ Displaystyle h \ in H}$ ${\ Displaystyle g \ in G '}$ ${\ Displaystyle \ varphi (g) = h}$ ${\ Displaystyle \ varphi ^ {- 1} \ left (H '' \ right)}$ ${\ Displaystyle \ varphi ^ {- 1} \ left (H '\ right).}$

Como consecuencia, el subquotiente de es un subquotiente de en la forma . ${\ Displaystyle H '/ H' '}$ ${\ Displaystyle H}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle H '/ H' '\ cong \ varphi ^ {- 1} \ left (H' \ right) / \ varphi ^ {- 1} \ left (H '' \ right)}$

Relación con el orden cardinal

En la teoría de conjuntos constructiva , donde la ley del medio excluido no se cumple necesariamente, se puede considerar que la relación subquotiente de reemplaza la (s) relación (es) de orden habitual en los cardinales . Cuando uno tiene la ley del medio excluido, entonces un subcociente de es el conjunto vacío o hay una función sobre . Esta relación de orden se denota tradicionalmente si además se cumple el axioma de elección , entonces tiene una función de uno a uno y esta relación de orden es la habitual en los cardinales correspondientes. ${\ Displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X \ a Y}$ ${\ Displaystyle \ leq ^ {\ ast}.}$ ${\ Displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ leq}$