Subderivado - Subderivative

Una función convexa (azul) y "líneas subtangent" en x ₀ (rojo).

En matemáticas , la subderivada , subgradiente y subdiferencial generalizan la derivada a funciones convexas que no son necesariamente diferenciables . Las subderivadas surgen en el análisis convexo , el estudio de funciones convexas , a menudo en conexión con la optimización convexa .

Sea una función convexa de valor real definida en un intervalo abierto de la línea real. No es necesario que dicha función sea diferenciable en todos los puntos: por ejemplo, la función de valor absoluto f ( x ) = | x | no es diferenciable cuando x = 0. Sin embargo, como se ve en el gráfico de la derecha (donde f (x) en azul tiene torceduras no diferenciables similares a la función de valor absoluto), para cualquier x ₀ en el dominio de la función se puede dibujar una línea que atraviese el punto ( x ₀ , f ( x ₀ )) y que está en todas partes tocando o debajo de la gráfica de f . La pendiente de dicha línea se llama subderivada (porque la línea está debajo de la gráfica de f ). ${\ Displaystyle f: I \ to \ mathbb {R}}$

Definición

Rigurosamente, una subderivada de una función convexa en un punto x ₀ en el intervalo abierto I es un número real c tal que ${\ Displaystyle f: I \ to \ mathbb {R}}$

{\ Displaystyle f (x) -f (x_ {0}) \ geq c (x-x_ {0})}

para toda x en I . Se puede mostrar que el conjunto de subderivadas en x ₀ para una función convexa es un intervalo cerrado no vacío [ a , b ], donde a y b son los límites unilaterales

{\ Displaystyle a = \ lim _ {x \ to x_ {0} ^ {-}} {\ frac {f (x) -f (x_ {0})} {x-x_ {0}}}}

{\ Displaystyle b = \ lim _ {x \ to x_ {0} ^ {+}} {\ frac {f (x) -f (x_ {0})} {x-x_ {0}}}}

que están garantizados para existir y satisfacer a ≤ b .

El conjunto [ a , b ] de todas las subderivadas se llama subdiferencial de la función f en x ₀ . Como f es convexa, si su subdiferencial en contiene exactamente una subderivada, entonces f es diferenciable en . ${\ Displaystyle x_ {0}}$ ${\ Displaystyle x_ {0}}$

Ejemplo

Considere la función f ( x ) = | x | que es convexo. Entonces, el subdiferencial en el origen es el intervalo [−1, 1]. El subdiferencial en cualquier punto x ₀ <0 es el conjunto singleton {−1}, mientras que el subdiferencial en cualquier punto x ₀ > 0 es el conjunto singleton {1}. Esto es similar a la función de signo , pero no es una función de un solo valor en 0, sino que incluye todas las posibles subderivadas.

Propiedades

Una función convexa f : I → R es derivable en x ₀ si y solo si el subdiferencial está formado por un solo punto, que es la derivada en x ₀ .
Un punto x ₀ es un mínimo global de una función convexa f si y solo si cero está contenido en el subdiferencial, es decir, en la figura anterior, se puede dibujar una "línea subtangente" horizontal en la gráfica de f en ( x ₀ , f ( x ₀ )). Esta última propiedad es una generalización del hecho de que la derivada de una función diferenciable en un mínimo local es cero.
Si y son funciones convexas con subdifferentials y con ser el punto interior de una de las funciones, entonces el subdiferencial de es (donde el operador de suma indica la suma de Minkowski ). Esto se lee como "el subdiferencial de una suma es la suma de los subdiferenciales". ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle g}$ ${\ Displaystyle \ parcial f (x)}$ ${\ Displaystyle \ parcial g (x)}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle f + g}$ ${\ estilo de visualización \ parcial (f + g) (x) = \ parcial f (x) + \ parcial g (x)}$

El subgrado

Los conceptos de subderivado y subdiferencial se pueden generalizar a funciones de varias variables. Si f : U → R es una función convexa de valor real definida en un conjunto abierto convexo en el espacio euclidiano R ⁿ , un vector en ese espacio se llama subgradiente en un punto x ₀ en U si para cualquier x en U uno tiene ${\ Displaystyle v}$

{\ Displaystyle f (x) -f (x_ {0}) \ geq v \ cdot (x-x_ {0})}

donde el punto denota el producto escalar . El conjunto de todos los subgradientes en x ₀ se llama subdiferencial en x ₀ y se denota ∂ f ( x ₀ ). El subdiferencial es siempre un conjunto compacto convexo no vacío .

Estos conceptos generalizan además a funciones convexas f : U → R en un conjunto convexo en un espacio localmente convexa V . Un funcional ^∗ en el espacio dual V ^∗ se llama subgradiente en x ₀ en U si para todo x en U ${\ Displaystyle v}$

{\ Displaystyle f (x) -f (x_ {0}) \ geq v ^ {*} (x-x_ {0}).}

El conjunto de todos los subgradientes en x ₀ se denomina subdiferencial en x ₀ y se denota nuevamente como ∂ f ( x ₀ ). El subdiferencial es siempre un conjunto cerrado convexo . Puede ser un conjunto vacío; considere, por ejemplo, un operador ilimitado , que es convexo, pero no tiene subgradiente. Si f es continuo, el subdiferencial no está vacío.

Historia

El subdiferencial en funciones convexas fue introducido por Jean Jacques Moreau y R. Tyrrell Rockafellar a principios de la década de 1960. El subdiferencial generalizado para funciones no convexas fue introducido por FH Clarke y RT Rockafellar a principios de la década de 1980.

Ver también

Referencias

Borwein, Jonathan; Lewis, Adrian S. (2010). Análisis convexo y optimización no lineal: teoría y ejemplos (2ª ed.). Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-31256-9.
Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste; Lemaréchal, Claude (2001). Fundamentos del análisis convexo . Saltador. ISBN 3-540-42205-6.
Zălinescu, C. (2002). Análisis convexo en espacios vectoriales generales . World Scientific Publishing Co., Inc. págs. Xx + 367. ISBN 981-238-067-1. Señor 1921556 .

enlaces externos

"Usos de " ${\ Displaystyle \ lim \ limits _ {h \ to 0} {\ frac {f (x + h) -f (xh)} {2h}}}$ . Stack Exchange . 15 de julio de 2002.

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