Cardenal fuertemente compacto - Strongly compact cardinal
En la teoría de conjuntos , una rama de las matemáticas , un cardenal fuertemente compacto es un cierto tipo de cardenal grande .
Un cardinal κ es fuertemente compacto si y solo si cada filtro κ completo puede extenderse a un ultrafiltro κ completo.
Los cardinales fuertemente compactos se definieron originalmente en términos de lógica infinita , donde los operadores lógicos pueden tomar un número infinito de operandos. La lógica en un cardinal regular κ se define al requerir que el número de operandos de cada operador sea menor que κ; entonces κ es fuertemente compacto si su lógica satisface un análogo de la propiedad de compacidad de la lógica finitaria. Específicamente, una declaración que se sigue de alguna otra colección de declaraciones también debería ser consecuencia de alguna subcolección que tenga cardinalidad menor que κ.
La propiedad de compacidad fuerte puede debilitarse requiriendo que esta propiedad de compacidad se mantenga cuando la colección original de enunciados tiene cardinalidad por debajo de un cierto λ cardinal; entonces podemos referirnos a la compacidad λ. Un cardenal es débilmente compacto si y solo si es κ-compacto; esta fue la definición original de ese concepto.
La compacidad fuerte implica mensurabilidad y está implícita en supercompacidad . Dado que existen los cardenales relevantes, es consistente con ZFC que el primer cardenal medible es fuertemente compacto, o que el primer cardenal fuertemente compacto es supercompacto; sin embargo, ambos no pueden ser ciertos. Un límite medible de cardenales fuertemente compactos es fuertemente compacto, pero el mínimo de tales límites no es supercompacto.
La fuerza de consistencia de la compacidad fuerte está estrictamente por encima de la de un cardenal Woodin . Algunos teóricos de conjuntos conjeturan que la existencia de un cardenal fuertemente compacto es equivalente a la de un cardenal supercompacto. Sin embargo, una prueba es poco probable hasta que se desarrolle una teoría canónica de modelo interno para cardenales supercompactos.
La extensibilidad es un análogo de segundo orden de fuerte compacidad.
Ver también
Referencias
- Drake, FR (1974). Teoría de conjuntos: Introducción a los grandes cardenales (Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas; V. 76) . Elsevier Science Ltd. ISBN 0-444-10535-2.
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