Número de Skewes - Skewes's number

En teoría de números , el número de Skewes es cualquiera de varios números grandes utilizados por el matemático sudafricano Stanley Skewes como límites superiores para el número natural más pequeño para el cual ${\ Displaystyle x}$

${\ Displaystyle \ pi (x)> \ operatorname {li} (x),}$

donde π es la función de conteo de primos y li es la función integral logarítmica . El número de Skewes es mucho mayor, pero ahora se sabe que hay un cruce cerca. No se sabe si es el más pequeño. ${\ displaystyle e ^ {727.95133} <1.397 \ times 10 ^ {316}.}$

Números sesgados

John Edensor Littlewood , que era el supervisor de investigación de Skewes, había demostrado en Littlewood (1914) que existe tal número (y, por tanto, el primero); y de hecho descubrió que el signo de la diferencia cambia infinitamente muchas veces. Toda la evidencia numérica disponible en ese momento parecía sugerir que siempre fue menor que la prueba de Littlewood, sin embargo, no exhibió un número concreto . ${\ Displaystyle \ pi (x) - \ operatorname {li} (x)}$${\ Displaystyle \ pi (x)}$${\ Displaystyle \ operatorname {li} (x).}$${\ Displaystyle x}$

Skewes (1933) demostró que, asumiendo que la hipótesis de Riemann es cierta, existe un número que viola a continuación ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle \ pi (x) <\ operatorname {li} (x),}$

${\ Displaystyle e ^ {e ^ {e ^ {79}}} <10 ^ {10 ^ {10 ^ {34}}}.}$

En Skewes (1955) , sin asumir la hipótesis de Riemann, Skewes demostró que debe existir un valor por debajo de ${\ Displaystyle x}$

${\ Displaystyle e ^ {e ^ {e ^ {e ^ {7.705}}}} <10 ^ {10 ^ {10 ^ {964}}}.}$

La tarea de Skewes era hacer efectiva la prueba de existencia de Littlewood : exhibiendo un límite superior concreto para el primer cambio de signo. Según Georg Kreisel , en ese momento esto no se consideraba obvio ni siquiera en principio.

Estimaciones más recientes

Desde entonces, estos límites superiores se han reducido considerablemente mediante el uso de cálculos informáticos a gran escala de ceros de la función zeta de Riemann . La primera estimación del valor real de un punto de cruce fue dada por Lehman (1966) , quien mostró que en algún lugar entre y hay más que enteros consecutivos con . Sin asumir la hipótesis de Riemann, HJJ te Riele  ( 1987 ) demostró un límite superior de . Bays & Hudson (2000) descubrieron una mejor estimación , quienes mostraron que hay al menos números enteros consecutivos en algún lugar cercano a este valor . Bays y Hudson encontraron algunos valores mucho más pequeños de dónde se acerca ; la posibilidad de que haya puntos de cruce cerca de estos valores no parece haberse descartado definitivamente todavía, aunque los cálculos informáticos sugieren que es poco probable que existan. Chao & Plymen (2010) dieron una pequeña mejora y corrección al resultado de Bays y Hudson. Saouter y Demichel (2010) encontraron un intervalo más pequeño para un cruce, que fue ligeramente mejorado por Zegowitz (2010) . La misma fuente muestra que existe un número que viola a continuación . Esto se puede reducir a asumir la hipótesis de Riemann. Stoll y Demichel (2011) dieron . ${\ Displaystyle 1,53 \ times 10 ^ {1165}}$${\ Displaystyle 1,65 \ times 10 ^ {1165}}$${\ Displaystyle 10 ^ {500}}$ ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle \ pi (x)> \ operatorname {li} (x)}$${\ Displaystyle 7 \ times 10 ^ {370}}$${\ Displaystyle 1.39822 \ times 10 ^ {316}}$${\ Displaystyle 10 ^ {153}}$${\ Displaystyle \ pi (x)> \ operatorname {li} (x)}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle \ pi (x)}$${\ Displaystyle \ operatorname {li} (x)}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle \ pi (x) <\ operatorname {li} (x),}$${\ displaystyle e ^ {727.9513468} <1.39718 \ times 10 ^ {316}}$${\ displaystyle e ^ {727.9513386} <1.39717 \ times 10 ^ {316}}$${\ Displaystyle 1.39716 \ times 10 ^ {316}}$

Año	cerca de x	# de ceros complejos utilizados	por
2000	1.39822 × 10 316	1 × 10 6	Bays y Hudson
2010	1.39801 × 10 316	1 × 10 7	Chao y Plymen
2010	1.397166 × 10 316	2,2 × 10 7	Saouter y Demichel
2011	1.397162 × 10 316	2,0 × 10 11	Stoll y Demichel

Rosser y Schoenfeld (1962) demostraron rigurosamente que no hay puntos de cruce a continuación , mejorados por Brent (1975) a , por Kotnik (2008) a , por Platt y Trudgian (2014) a , y por Büthe (2015) a . ${\ Displaystyle x = 10 ^ {8}}$${\ Displaystyle 8 \ times 10 ^ {10}}$${\ Displaystyle 10 ^ {14}}$${\ Displaystyle 1,39 \ times 10 ^ {17}}$${\ Displaystyle 10 ^ {19}}$

No se sabe con certeza un valor explícito que tenga la propiedad, aunque los cálculos informáticos sugieren algunos números explícitos que probablemente satisfagan esto. ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle \ pi (x)> \ operatorname {li} (x),}$

Aunque la densidad natural de los enteros positivos para los que no existe, Wintner (1941) demostró que la densidad logarítmica de estos enteros positivos sí existe y es positiva. Rubinstein y Sarnak (1994) demostraron que esta proporción es de aproximadamente 0,00000026, lo que es sorprendentemente grande dado lo lejos que hay que ir para encontrar el primer ejemplo. ${\ Displaystyle \ pi (x)> \ operatorname {li} (x)}$

Fórmula de Riemann

Riemann dio una fórmula explícita para , cuyos términos principales son (ignorando algunas preguntas sutiles de convergencia) ${\ Displaystyle \ pi (x)}$

${\ Displaystyle \ pi (x) = \ operatorname {li} (x) - {\ tfrac {1} {2}} \ operatorname {li} ({\ sqrt {x \,}}) - \ sum _ {\ rho} \ operatorname {li} (x ^ {\ rho}) + {\ text {términos más pequeños}}}$

donde la suma es total en el conjunto de ceros no triviales de la función zeta de Riemann . ${\ Displaystyle \ rho}$

El término de error más grande en la aproximación (si la hipótesis de Riemann es cierta) es negativo , lo que demuestra que suele ser mayor que . Los otros términos anteriores son algo más pequeños y, además, tienden a tener diferentes argumentos complejos aparentemente aleatorios , por lo que en su mayoría se cancelan. Sin embargo, de vez en cuando, varios de los más importantes pueden tener aproximadamente el mismo argumento complejo, en cuyo caso se reforzarán mutuamente en lugar de cancelar y abrumarán el término . ${\ Displaystyle \ pi (x) \ approx \ operatorname {li} (x)}$${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ operatorname {li} ({\ sqrt {x \,}})}$${\ Displaystyle \ operatorname {li} (x)}$${\ Displaystyle \ pi (x)}$${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ operatorname {li} ({\ sqrt {x \,}})}$

La razón por la que el número de Skewes es tan grande es que estos términos más pequeños son mucho más pequeños que el término de error principal, principalmente porque el primer cero complejo de la función zeta tiene una parte imaginaria bastante grande , por lo que un número grande (varios cientos) de ellos necesitan tener aproximadamente el mismo argumento para abrumar el término dominante. La probabilidad de que números complejos aleatorios tengan aproximadamente el mismo argumento es de aproximadamente 1 pulg . Esto explica por qué a veces es más grande que y también por qué es raro que esto suceda. También muestra por qué encontrar lugares donde esto sucede depende de cálculos a gran escala de millones de ceros de alta precisión de la función zeta de Riemann. ${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle 2 ^ {N}}$${\ Displaystyle \ pi (x)}$${\ Displaystyle \ operatorname {li} (x),}$

El argumento anterior no es una prueba, ya que supone que los ceros de la función zeta de Riemann son aleatorios, lo cual no es cierto. En términos generales, la demostración de Littlewood consiste en el teorema de aproximación de Dirichlet para mostrar que a veces muchos términos tienen aproximadamente el mismo argumento. En el caso de que la hipótesis de Riemann sea falsa, el argumento es mucho más simple, esencialmente porque los términos para ceros violan la hipótesis de Riemann (con parte real mayor que${\ Displaystyle \ operatorname {li} (x ^ {\ rho})}$1/2) son eventualmente más grandes que . ${\ Displaystyle \ operatorname {li} (x ^ {1/2})}$

La razón del término es que, en términos generales, en realidad cuenta las potencias de los números primos , en lugar de los propios primos, con ponderación . El término es aproximadamente análogo a una corrección de segundo orden que representa los cuadrados de los números primos. ${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ mathrm {li} (x ^ {1/2})}$${\ Displaystyle \ mathrm {li} (x)}$${\ Displaystyle p ^ {n}}$${\ Displaystyle {\ frac {1} {n}}}$${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ mathrm {li} (x ^ {1/2})}$

Equivalente para primos k -tuplas

Existe una definición equivalente del número de Skewes para primos k -tuplas ( Tóth (2019) ). Dejar que denotan un primer ( k  + 1) tupla, el número de primos por debajo de tal manera que son todos primos, dejar y dejar que denotan su constante Littlewood-Hardy (ver Primera Hardy-Littlewood conjetura ). Luego, el primer primo que viola la desigualdad de Hardy-Littlewood para la tupla ( k  + 1) , es decir, el primer primo tal que ${\ Displaystyle P = (p, p + i_ {1}, p + i_ {2}, ..., p + i_ {k})}$${\ Displaystyle \ pi _ {P} (x)}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle p, p + i_ {1}, p + i_ {2}, ..., p + i_ {k}}$${\ Displaystyle \ operatorname {li_ {P}} (x) = \ int _ {2} ^ {x} {\ frac {dt} {(\ ln t) ^ {k + 1}}}}$${\ Displaystyle C_ {P}}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle p}$

${\ Displaystyle \ pi _ {P} (p)> C_ {P} \ operatorname {li} _ {P} (p),}$

(si existe tal primo) es el número de Skewes para${\ Displaystyle P.}$

La siguiente tabla muestra los números Skewes conocidos actualmente para primos k -tuplas:

Prime k -tupla	Número sesgado	Encontrado por
( p , p  + 2)	1369391	Lobo (2011)
( p , p  + 4)	5206837	Tóth (2019)
( p , p  + 2, p  + 6)	87613571	Tóth (2019)
( p , p  + 4, p  + 6)	337867	Tóth (2019)
( p , p  + 2, p  + 6, p  + 8)	1172531	Tóth (2019)
( p , p  + 4, p  +6, p  + 10)	827929093	Tóth (2019)
( p , p  + 2, p  + 6, p  + 8, p  + 12)	21432401	Tóth (2019)
( p , p  +4, p  +6, p  + 10, p  + 12)	216646267	Tóth (2019)
( p , p  + 4, p  + 6, p  + 10, p  + 12, p  + 16)	251331775687	Tóth (2019)
( p , p +2, p +6, p +8, p +12, p +18, p +20)	7572964186421	Pfoertner (2020)
( p , p +2, p +8, p +12, p +14, p +18, p +20)	214159878489239	Pfoertner (2020)
( p , p +2, p +6, p +8, p +12, p +18, p +20, p +26)	1203255673037261	Pfoertner / Luhn (2021)
( p , p +2, p +6, p +12, p +14, p +20, p +24, p +26)	523250002674163757	Luhn / Pfoertner (2021)
( p , p +6, p +8, p +14, p +18, p +20, p +24, p +26)	750247439134737983	Pfoertner / Luhn (2021)

Aún se desconoce el número de Skewes (si existe) para los primes sexys . ${\ Displaystyle (p, p + 6)}$

También se desconoce si todas las k -tuplas admisibles tienen un número de Skewes correspondiente.

Referencias

enlaces externos

• Demichels, Patrick. "La función de conteo principal y temas relacionados" (PDF) . Demichel . Archivado desde el original (pdf) el 8 de septiembre de 2006 . Consultado el 29 de septiembre de 2009 .
• Asimov, I. (1976). "¡Brocheta!". De asuntos grandes y pequeños . Nueva York: Ace Books. ISBN 978-0441610723.