Poliedro semirregular - Semiregular polyhedron
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El término poliedro semirregular (o politopo semirregular ) es utilizado de diversas formas por diferentes autores.
En su definición original, es un poliedro con caras poligonales regulares y un grupo de simetría que es transitivo en sus vértices ; hoy en día, esto se conoce más comúnmente como un poliedro uniforme (esto se sigue de la definición de 1900 de Thorold Gosset del politopo semirregular más general ). Estos poliedros incluyen:
- Los trece sólidos de Arquímedes .
- Una serie infinita de prismas convexos .
- Una serie infinita de antiprismas convexos (su naturaleza semirregular fue observada por primera vez por Kepler ).
Estos sólidos semirregulares se pueden especificar completamente mediante una configuración de vértice : una lista de las caras por número de lados, en el orden en que ocurren alrededor de un vértice. Por ejemplo: 3.5.3.5 representa el icosidodecaedro , que alterna dos triángulos y dos pentágonos alrededor de cada vértice. En contraste: 3.3.3.5 es un antiprisma pentagonal . Estos poliedros a veces se describen como transitivos de vértice .
Desde Gosset , otros autores han utilizado el término semirregular de diferentes formas en relación con los politopos de dimensiones superiores. EL Elte proporcionó una definición que Coxeter encontró demasiado artificial. El propio Coxeter denominó uniformes a las figuras de Gosset , con solo un subconjunto bastante restringido clasificado como semirregular.
Sin embargo, otros han tomado el camino opuesto, categorizando más poliedros como semirregulares. Éstas incluyen:
- Tres conjuntos de poliedros estelares que cumplen con la definición de Gosset, análogos a los tres conjuntos convexos enumerados anteriormente.
- Los duales de los sólidos semirregulares anteriores, argumentando que dado que los poliedros duales comparten las mismas simetrías que los originales, también deben considerarse semirregulares. Estos duales incluyen los sólidos catalanes , las bipirámides convexas y las antidipirámides convexas o trapezoedros , y sus análogos no convexos.
Otra fuente de confusión radica en la forma en que se definen los sólidos de Arquímedes , de nuevo con diferentes interpretaciones.
La definición de Gosset de semirregular incluye figuras de mayor simetría: los poliedros regulares y cuasirregulares . Algunos autores posteriores prefieren decir que estos no son semirregulares, porque son más regulares que eso; se dice que los poliedros uniformes incluyen los regulares, cuasirregulares y semirregulares. Este sistema de nombres funciona bien y reconcilia muchas (pero no todas) las confusiones.
En la práctica, incluso las autoridades más eminentes pueden confundirse, definiendo un conjunto dado de poliedros como semirregulares y / o de Arquímedes , y luego asumiendo (o incluso estableciendo) un conjunto diferente en discusiones posteriores. Asumir que la definición establecida se aplica solo a poliedros convexos es probablemente el error más común. Coxeter, Cromwell y Cundy & Rollett son todos culpables de tales deslices.
Observaciones generales
En muchas obras se utiliza poliedro semirregular como sinónimo de sólido de Arquímedes . Por ejemplo, Cundy y Rollett (1961).
Podemos distinguir entre las figuras facialmente regulares y las de vértice transitivo basadas en Gosset, y sus duales verticalmente regulares (o versi-regulares) y facialmente transitivas.
Coxeter y col. (1954) utilizan el término poliedros semirregulares para clasificar los poliedros uniformes con el símbolo de Wythoff de la forma pq | r , una definición que abarca solo seis de los sólidos de Arquímedes, así como los prismas regulares (pero no los antiprismas regulares) y numerosos sólidos no convexos. Posteriormente, Coxeter (1973) citaría la definición de Gosset sin comentarios, aceptándola así implícitamente.
Eric Weisstein , Robert Williams y otros usan el término para referirse a los poliedros uniformes convexos que excluyen los cinco poliedros regulares , incluidos los sólidos de Arquímedes, los prismas uniformes y los antiprismas uniformes (que se superponen con el cubo como prisma y el octaedro regular como antiprisma). .
Peter Cromwell (1997) escribe en una nota a pie de página en la página 149 que, "en la terminología actual, 'poliedros semirregulares' se refiere a los sólidos de Arquímedes y Catalán (dual de Arquímedes)". En la página 80 describe a los trece Arquímedes como semirregulares, mientras que en las páginas 367 y sigs. habla de los catalanes y su relación con los Arquímedes 'semirregulares'. Por implicación, esto trata a los catalanes como no semirregulares, lo que contradice efectivamente (o al menos confunde) la definición que proporcionó en la nota a pie de página anterior. Ignora los poliedros no convexos.
Ver también
Referencias
- ^ Thorold Gosset sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones , Messenger of Mathematics , Macmillan, 1900
- ↑ Coxeter, HSM Regular polytopes , 3rd Edn, Dover (1973)
- ^ Elte, EL (1912), Los politopos semirregulares de los hiperespacios , Groningen: Universidad de Groningen
- ^ Coxeter, HSM , Longuet-Higgins, MS y Miller, Poliedros uniformes de JCP, Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres 246 A (1954), págs. 401-450. ( Archivo JSTOR , se requiere suscripción).
- ^ Cromwell, P. Polyhedra , Cambridge University Press (1977)
- ^ Cundy HM y Rollett, Modelos matemáticos AP, 2ª Ed. Prensa de la Universidad de Oxford (1961)
- ^ "Arquímedes". (2006). En Encyclopædia Britannica . Obtenido el 19 de diciembre de 2006, de Encyclopædia Britannica Online (se requiere suscripción).
- ^ Weisstein, Eric W. "Poliedro semirregular" . MathWorld .La definición aquí no excluye el caso de que todas las caras sean congruentes, pero los sólidos platónicos no están incluidos en la enumeración del artículo.
- ^ Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro fuente de diseño . Publicaciones de Dover, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Capítulo 3: Poliedros)