Cuantificador generalizado - Generalized quantifier

En semántica formal , un cuantificador generalizado ( GQ ) es una expresión que denota un conjunto de conjuntos . Esta es la semántica estándar asignada a los sintagmas nominales cuantificados . Por ejemplo, el cuantificador generalizado cada niño denota el conjunto de conjuntos de los que cada niño es miembro:

{\ Displaystyle \ {X \, | \, \ forall x (x {\ text {es un niño}} \ a x \ en X) \}}

Este tratamiento de los cuantificadores ha sido fundamental para lograr una semántica composicional para oraciones que contienen cuantificadores.

Teoría de tipos

A menudo se utiliza una versión de la teoría de tipos para hacer explícita la semántica de diferentes tipos de expresiones. La construcción estándar define el conjunto de tipos de forma recursiva de la siguiente manera:

E y T son tipos.
Si un y b son ambos tipos, entonces también lo es ${\ Displaystyle \ langle a, b \ rangle}$
Nada es un tipo, excepto lo que se puede construir sobre la base de las líneas 1 y 2 anteriores.

Dada esta definición, tenemos los tipos simples e y t , pero también una infinidad contable de tipos complejos, algunos de los cuales incluyen:

{\ Displaystyle \ langle e, t \ rangle; \ qquad \ langle t, t \ rangle; \ qquad \ langle \ langle e, t \ rangle, t \ rangle; \ qquad \ langle e, \ langle e, t \ rangle \ rangle; \ qquad \ langle \ langle e, t \ rangle, \ langle \ langle e, t \ rangle, t \ rangle \ rangle; \ qquad \ ldots}

Las expresiones de tipo e denotan elementos del universo del discurso , el conjunto de entidades de las que trata el discurso. Este conjunto generalmente se escribe como . Ejemplos de expresiones de tipo e incluyen John y he . ${\ Displaystyle D_ {e}}$
Las expresiones de tipo t denotan un valor de verdad , generalmente representado como el conjunto , donde 0 significa "falso" y 1 significa "verdadero". Ejemplos de expresiones que a veces se dice que son del tipo t son oraciones o proposiciones . ${\ Displaystyle \ {0,1 \}}$
Las expresiones de tipo denotan funciones desde el conjunto de entidades hasta el conjunto de valores de verdad. Este conjunto de funciones se representa como . Tales funciones son funciones características de conjuntos . Ellos asignan a cada individuo que es un elemento del conjunto a "verdadero", y todo lo demás a "falso". Es común decir que denotan conjuntos más que funciones características, aunque, estrictamente hablando, esta última es más precisa. Ejemplos de expresiones de este tipo son predicados , sustantivos y algunos tipos de adjetivos . ${\ Displaystyle \ langle e, t \ rangle}$ ${\ Displaystyle D_ {t} ^ {D_ {e}}}$
En general, las expresiones de tipos complejos denotan funciones desde el conjunto de entidades de tipo para el conjunto de entidades de tipo , un constructo podemos escribir como sigue: . ${\ Displaystyle \ langle a, b \ rangle}$ ${\ Displaystyle a}$ ${\ Displaystyle b}$ ${\ Displaystyle D_ {b} ^ {D_ {a}}}$

Ahora podemos asignar tipos a las palabras en nuestra oración anterior (Todos los niños duermen) de la siguiente manera.

Tipo (niño) = ${\ Displaystyle \ langle e, t \ rangle}$
Tipo (duerme) = ${\ Displaystyle \ langle e, t \ rangle}$
Tipo (cada) = ${\ Displaystyle \ langle \ langle e, t \ rangle, \ langle \ langle e, t \ rangle, t \ rangle \ rangle}$

Así, cada denota una función de un conjunto a una función de un conjunto a un valor de verdad. Dicho de otra manera, denota una función de un conjunto a un conjunto de conjuntos. Es esa función que para dos conjuntos cualesquiera A, B , cada ( A ) ( B ) = 1 si y solo si . ${\ Displaystyle A \ subseteq B}$

Cálculo lambda tipificado

Una forma útil de escribir funciones complejas es el cálculo lambda . Por ejemplo, se puede escribir el significado de duerme como la siguiente expresión lambda, que es una función de un individuo x a la proposición de que x duerme .

{\ Displaystyle \ lambda x.sleep '(x)}

Tales términos lambda son funciones cuyo dominio es lo que precede al período, y cuyo rango es el tipo de cosa que sigue al período. Si x es una variable que abarca elementos de , entonces el siguiente término lambda denota la función de identidad en los individuos: ${\ Displaystyle D_ {e}}$

{\ Displaystyle \ lambda xx}

Ahora podemos escribir el significado de cada con el siguiente término lambda, donde X, Y son variables de tipo : ${\ Displaystyle \ langle e, t \ rangle}$

{\ Displaystyle \ lambda X. \ lambda YX \ subseteq Y}

Si abreviamos el significado de niño y duerme como " B " y " S ", respectivamente, tenemos que la oración que todos los niños duermen ahora significa lo siguiente:

{\ Displaystyle (\ lambda X. \ lambda YX \ subseteq Y) (B) (S)}

{\ Displaystyle (\ lambda YB \ subseteq Y) (S)}

- β-reducción

{\ Displaystyle B \ subseteq S}

- β-reducción

La expresión cada es un determinante . Combinado con un sustantivo , produce un cuantificador de tipo generalizado . ${\ Displaystyle \ langle \ langle e, t \ rangle, t \ rangle}$

Propiedades

Monotonicidad

Monótono aumento de GQ

Se dice que un cuantificador generalizado GQ es monótono creciente (también llamado implicación ascendente ) si, para cada par de conjuntos X e Y , se cumple lo siguiente:

si , entonces GQ ( X ) implica GQ ( Y ).

{\ Displaystyle X \ subseteq Y}

El GQ de cada niño es cada vez más monótono. Por ejemplo, el conjunto de cosas que se ejecutan rápidamente es un subconjunto del conjunto de cosas que se ejecutan . Por lo tanto, la primera oración a continuación implica la segunda:

Todos los chicos corren rápido.
Todos los chicos corren.

GQ decrecientes monótonos

Se dice que un GQ es monótono decreciente (también llamado implicación descendente ) si, para cada par de conjuntos X e Y , se cumple lo siguiente:

Si , entonces GQ ( Y ) implica GQ ( X ).

{\ Displaystyle X \ subseteq Y}

Un ejemplo de un GQ decreciente monótono es no boy . Para este GQ tenemos que la primera oración a continuación implica la segunda.

Ningún chico corre.
Ningún chico corre rápido.

El término lambda para el determinante no es el siguiente. Dice que los dos conjuntos tienen una intersección vacía .

{\ Displaystyle \ lambda X. \ lambda YX \ cap Y = \ emptyset}

Los GQ decrecientes monótonos se encuentran entre las expresiones que pueden autorizar un elemento de polaridad negativa , como cualquiera . Los GQ de aumento monótono no autorizan artículos de polaridad negativa.

Buena: Ningún muchacho tiene ningún dinero.
Malo: * Cada niño tiene ningún dinero.

GQ no monótonos

Se dice que un GQ no es monótono si no es monótono creciente ni monótono decreciente. Un ejemplo de tal GQ son exactamente tres niños . Ninguna de las siguientes oraciones implica la otra.

Exactamente tres estudiantes corrieron.
Exactamente tres estudiantes corrieron rápido.

La primera oración no implica la segunda. El hecho de que el número de estudiantes que corrieron sea exactamente tres no implica que cada uno de estos estudiantes corrió rápido , por lo que el número de estudiantes que lo hicieron puede ser menor que 3. Por el contrario, la segunda oración no implica la primera. La oración de exactamente tres estudiantes que corrieron rápido puede ser verdadera, aunque el número de estudiantes que simplemente corrieron (es decir, no tan rápido) sea mayor que 3.

El término lambda para el determinante (complejo) exactamente tres es el siguiente. Dice que la cardinalidad de la intersección entre los dos conjuntos es igual a 3.

{\ Displaystyle \ lambda X. \ lambda Y. | X \ cap Y | = 3}

Conservadurismo

Se dice que un determinante D es conservador si se cumple la siguiente equivalencia:

{\ Displaystyle D (A) (B) \ leftrightarrow D (A) (A \ cap B)}

Por ejemplo, las siguientes dos oraciones son equivalentes.

Todos los chicos duermen.
Todo niño es un niño que duerme.

Se ha propuesto que todos los determinantes, en todos los lenguajes naturales, son conservadores. La expresión solamente no es conservadora. Las siguientes dos oraciones no son equivalentes. Pero, de hecho, no es común analizar solo como determinante . Más bien, se trata de manera estándar como un adverbio sensible al enfoque .

Solo los chicos duermen.
Solo los niños son niños que duermen.

Ver también

Referencias

^ Montague, Richard (1974). "El tratamiento adecuado de la cuantificación en inglés". En Kulas, J .; Fetzer, JH; Rankin, TL (eds.). Filosofía, lenguaje e inteligencia artificial (PDF) . Estudios en sistemas cognitivos. 2 . Springer, Dordrecht. págs. 141-162. doi : 10.1007 / 978-94-009-2727-8_7 .
^ ^a ^b Barwise, Jon ; Cooper, Robin (1981). "Cuantificadores generalizados y lenguaje natural" . Lingüística y filosofía (4): 159–219. doi : 10.1007 / BF00350139 .

Otras lecturas

Stanley Peters ; Dag Westerståhl (2006). Cuantificadores en lenguaje y lógica . Prensa de Clarendon. ISBN 978-0-19-929125-0.
Antonio Badia (2009). Cuantificadores en acción: cuantificación generalizada en lenguajes de consulta, lógicos y naturales . Saltador. ISBN 978-0-387-09563-9.
Wągiel M (2021). Cuantificación subatómica (pdf) . Berlín: Language Science Press. doi : 10.5281 / zenodo.5106382 . ISBN 978-3-98554-011-2.

enlaces externos

Dag Westerståhl, 2011. ' Cuantificadores generalizados '. Enciclopedia de Filosofía de Stanford .

[1] Montague, Richard (1974). "El tratamiento adecuado de la cuantificación en inglés". En Kulas, J .; Fetzer, JH; Rankin, TL (eds.). Filosofía, lenguaje e inteligencia artificial (PDF) . Estudios en sistemas cognitivos. 2 . Springer, Dordrecht. págs. 141-162. doi : 10.1007 / 978-94-009-2727-8_7 .

[Barwise-2] Barwise, Jon ; Cooper, Robin (1981). "Cuantificadores generalizados y lenguaje natural" . Lingüística y filosofía (4): 159–219. doi : 10.1007 / BF00350139 .

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