Modelo Potts - Potts model

En mecánica estadística , el modelo de Potts , una generalización del modelo de Ising , es un modelo de espines que interactúan en una red cristalina . Al estudiar el modelo de Potts, se puede obtener información sobre el comportamiento de los ferromagnetos y algunos otros fenómenos de la física del estado sólido . La fortaleza del modelo de Potts no es tanto que modele bien estos sistemas físicos; es más bien que el caso unidimensional se puede resolver exactamente y que tiene una rica formulación matemática que se ha estudiado extensamente.

El modelo lleva el nombre de Renfrey Potts , quien describió el modelo cerca del final de su doctorado de 1951. tesis. El modelo estaba relacionado con el "Potts planar" o " modelo de reloj ", que le sugirió su asesor, Cyril Domb . El modelo de Potts planar de cuatro estados a veces se conoce como el modelo Ashkin-Teller , en honor a Julius Ashkin y Edward Teller , quienes consideraron un modelo equivalente en 1943.

El modelo de Potts está relacionado y generalizado por varios otros modelos, incluido el modelo XY , el modelo de Heisenberg y el modelo N-vector . El modelo Potts de rango infinito se conoce como modelo Kac . Cuando los espines se toman para interactuar de una manera no abeliana , el modelo se relaciona con el modelo de tubo de flujo , que se utiliza para discutir el confinamiento en cromodinámica cuántica . También se han utilizado generalizaciones del modelo de Potts para modelar el crecimiento de granos en metales y el engrosamiento en espumas . Se ha utilizado una generalización adicional de estos métodos por James Glazier y Francois Graner , conocida como el modelo celular de Potts , para simular fenómenos estáticos y cinéticos en la morfogénesis biológica y de la espuma .

Descripción física

El modelo de Potts consta de giros que se colocan sobre una celosía ; la celosía generalmente se toma como una celosía euclidiana rectangular bidimensional, pero a menudo se generaliza a otras dimensiones u otras celosías. Domb originalmente sugirió que el giro toma uno de q valores posibles, distribuidos uniformemente alrededor del círculo , en ángulos

donde n = 0, 1, ..., q-1 y que la interacción hamiltoniana esté dada por

con la suma corriendo sobre los pares de vecinos más cercanos ( i , j ) sobre todos los sitios de celosía. El Sitio colores s i tomar valores en {1, ..., q }. Aquí, J c es una constante de acoplamiento que determina la fuerza de interacción. Este modelo ahora se conoce como modelo vectorial de Potts o modelo de reloj . Potts proporcionó la ubicación en dos dimensiones de la transición de fase, para q = 3 y 4. En el límite cuando q → ∞, este se convierte en el modelo XY .

Lo que ahora se conoce como el modelo estándar de Potts fue sugerido por Potts en el curso de su estudio anterior, y usa un hamiltoniano más simple, dado por:

donde δ ( s i , s j ) es el delta de Kronecker , que es igual a uno siempre que s i = s j y cero en caso contrario.

El modelo de Potts estándar q = 2 es equivalente al modelo de Ising y al modelo de Potts vectorial de 2 estados, con J p = −2 J c . El modelo de Potts estándar q = 3 es equivalente al modelo de Potts vectorial de tres estados, con J p = - (3/2) J c .

Una generalización común es introducir un término de "campo magnético" externo h , y mover los parámetros dentro de las sumas y permitir que varíen a lo largo del modelo:

donde β = 1 / kT la temperatura inversa , k la constante de Boltzmann y T la temperatura . La suma puede pasar por vecinos más distantes de la red o, de hecho, puede ser una fuerza de rango infinito.

Diferentes artículos pueden adoptar convenciones ligeramente diferentes, que pueden alterar H y la función de partición asociada mediante constantes aditivas o multiplicativas.

Discusión

A pesar de su simplicidad como modelo de un sistema físico, el modelo de Potts es útil como sistema modelo para el estudio de las transiciones de fase . Por ejemplo, las celosías bidimensionales con J > 0 exhiben una transición de primer orden si q > 4. (Es de destacar que la investigación reciente proporciona evidencia de que las transiciones de fase son en realidad de orden infinito en los casos q ≥ 5, ver por ejemplo, [Phys. Rev. E 101, 060105 (R)]). Cuando q ≤ 4 se observa una transición continua, como en el modelo de Ising donde q = 2. Se encuentra un uso adicional a través de la relación del modelo con los problemas de percolación y los polinomios cromáticos y de Tutte encontrados en la combinatoria.

El modelo tiene una estrecha relación con el modelo de conglomerados aleatorios de Fortuin - Kasteleyn , otro modelo en mecánica estadística . La comprensión de esta relación ha ayudado a desarrollar métodos eficientes de Monte Carlo en cadena de Markov para la exploración numérica del modelo en q pequeño .

Para valores enteros de q , q ≥ 3, el modelo muestra el fenómeno de 'adsorción interfacial' con intrigantes propiedades críticas de humectación al fijar límites opuestos en dos estados diferentes.

El modelo de Potts ferromagnético en una celosía cuadrada tiene una transición de fase en , para o . Se espera que la fórmula también sea correcta , aunque aún falta una prueba rigurosa de este supuesto.

Descripción teórica de la medida

El modelo de Potts unidimensional puede expresarse en términos de un subdesplazamiento de tipo finito y, por lo tanto, obtiene acceso a todas las técnicas matemáticas asociadas con este formalismo. En particular, se puede resolver exactamente utilizando las técnicas de los operadores de transferencia . (Sin embargo, Ernst Ising utilizó métodos combinatorios para resolver el modelo de Ising , que es el "antepasado" del modelo de Potts, en su tesis doctoral de 1924). Esta sección desarrolla el formalismo matemático, basado en la teoría de la medida , detrás de esta solución.

Si bien el siguiente ejemplo está desarrollado para el caso unidimensional, muchos de los argumentos, y casi toda la notación, se generalizan fácilmente a cualquier número de dimensiones. Parte del formalismo también es lo suficientemente amplio como para manejar modelos relacionados, como el modelo XY , el modelo Heisenberg y el modelo N-vector .

Topología del espacio de estados

Sea Q = {1, ..., q } un conjunto finito de símbolos, y sea

como el conjunto de todas las cadenas bi-infinita de los valores del conjunto Q . Este conjunto se llama turno completo . Para definir el modelo de Potts , se puede usar todo este espacio o un cierto subconjunto de él, un subdesplazamiento de tipo finito . Los turnos reciben este nombre porque existe un operador natural en este espacio, el operador de turno τ: Q Z → Q Z , actuando como

Este conjunto tiene una topología de producto natural ; la base de esta topología son los juegos de cilindros

es decir, el conjunto de todas las cadenas posibles donde k +1 giros coinciden exactamente con un conjunto específico de valores ξ 0 , ..., ξ k . Se pueden obtener representaciones explícitas para los conjuntos de cilindros al señalar que la cadena de valores corresponde a un número q -ádico , sin embargo, la topología natural de los números q-ádicos es más fina que la topología del producto anterior.

Energía de interacción

La interacción entre los espines viene dada por una función continua V  : Q Z → R en esta topología. Cualquier función continua servirá; por ejemplo

se verá para describir la interacción entre vecinos más cercanos. Por supuesto, diferentes funciones dan diferentes interacciones; por lo que una función de s 0 , s 1 y s 2 describirá una interacción de vecino más próximo. Una función V da energía de interacción entre un conjunto de espines; es no el hamiltoniano, pero se utiliza para construirlo. El argumento de la función V es un elemento s ∈ Q Z , es decir, una cadena infinita de giros. En el ejemplo anterior, la función V acaba de seleccionar dos giros de la cadena infinita: los valores s 0 y s 1 . En general, la función V puede depender de algunos o de todos los espines; actualmente, solo aquellos que dependen de un número finito son exactamente solucionables.

Defina la función H n  : Q Z → R como

Se puede ver que esta función consta de dos partes: la energía propia de una configuración [ s 0 , s 1 , ..., s n ] de espines, más la energía de interacción de este conjunto y todos los demás espines en la red. . El límite n → ∞ de esta función es el hamiltoniano del sistema; para n finito , a veces se les llama hamiltonianos de estado finito .

Función de partición y medida

La función de partición de estado finito correspondiente viene dada por

siendo C 0 los conjuntos de cilindros definidos anteriormente. Aquí, β = 1 / kT , donde k es la constante de Boltzmann y T es la temperatura . Es muy común en los tratamientos matemáticos establecer β = 1, ya que se recupera fácilmente reescalando la energía de interacción. Esta función de partición está escrita como una función de la interacción V para enfatizar que es solo una función de la interacción y no de ninguna configuración específica de espines. La función de partición, junto con el hamiltoniano, se utilizan para definir una medida en el σ-álgebra de Borel de la siguiente manera: La medida de un conjunto de cilindros, es decir, un elemento de la base, está dada por

Entonces se puede extender por aditividad contable al σ-álgebra completa. Esta medida es una medida de probabilidad ; que da la probabilidad de una configuración dada que ocurre en el espacio de configuración Q Z . Al dotar al espacio de configuración con una medida de probabilidad construida a partir de un hamiltoniano de esta manera, el espacio de configuración se convierte en un conjunto canónico .

La mayoría de las propiedades termodinámicas se pueden expresar directamente en términos de la función de partición. Así, por ejemplo, la energía libre de Helmholtz viene dada por

Otra magnitud relacionada importante es la presión topológica , definida como

que aparecerá como el logaritmo del valor propio principal del operador de transferencia de la solución.

Solución de campo libre

El modelo más simple es el modelo en el que no hay interacción en absoluto, y por lo que V = c y H n = c (con c constante e independiente de cualquier configuración de centrifugado). La función de partición se convierte en

Si todos los estados están permitidos, es decir, el conjunto subyacente de estados viene dado por un cambio completo , entonces la suma puede evaluarse trivialmente como

Si los giros vecinos solo se permiten en ciertas configuraciones específicas, entonces el espacio de estado viene dado por un subdesplazamiento de tipo finito . La función de partición se puede escribir como

donde card es la cardinalidad o recuento de un conjunto, y Fix es el conjunto de puntos fijos de la función de desplazamiento iterada:

La matriz A q × q es la matriz de adyacencia que especifica qué valores de espín vecinos están permitidos.

Modelo interactivo

El caso más simple del modelo de interacción es el modelo de Ising , donde el giro solo puede tomar uno de dos valores, s n ∈ {−1, 1} y solo los espines vecinos más cercanos interactúan. El potencial de interacción está dado por

Este potencial se puede capturar en una matriz de 2 × 2 con elementos de matriz.

con el índice σ, σ ′ ∈ {−1, 1}. La función de partición viene dada por

La solución general para un número arbitrario de espines y una interacción arbitraria de rango finito viene dada por la misma forma general. En este caso, la expresión precisa de la matriz M es un poco más compleja.

El objetivo de resolver un modelo como el modelo de Potts es dar una expresión exacta de forma cerrada para la función de partición y una expresión para los estados de Gibbs o estados de equilibrio en el límite de n → ∞, el límite termodinámico .

El modelo de Potts en procesamiento de señales e imágenes

El modelo de Potts tiene aplicaciones en la reconstrucción de señales. Suponga que se nos da una observación ruidosa de una señal constante a trozos g en R n . Para recuperar g del vector de observación ruidoso f en R n , se busca un minimizador del correspondiente problema inverso, el funcional P γ ( u ) de L p- Potts que se define por

La penalización por salto fuerza soluciones constantes por partes y el término de datos acopla el candidato de minimización u con el dato f . El parámetro γ> 0 controla el equilibrio entre la regularidad y la fidelidad de los datos. Existen algoritmos rápidos para la minimización exacta de las funciones L 1 y L 2 -Potts (Friedrich, Kempe, Liebscher, Winkler, 2008).

En el procesamiento de imágenes, la funcionalidad de Potts está relacionada con el problema de la segmentación. Sin embargo, en dos dimensiones el problema es NP-difícil (Boykov, Veksler, Zabih, 2001).

Ver también

Referencias

enlaces externos