Distancia desde un punto a un plano - Distance from a point to a plane

En el espacio euclidiano , la distancia de un punto a un plano es la distancia entre un punto dado y su proyección ortogonal en el plano o el punto más cercano en el plano.

Se puede encontrar comenzando con un cambio de variables que mueve el origen para que coincida con el punto dado y luego encuentra el punto en el plano desplazado que está más cercano al origen . El punto resultante tiene coordenadas cartesianas : ${\ displaystyle ax + by + cz = d}$ ${\ Displaystyle (x, y, z)}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle x = {\ frac {ad} {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}}, \ quad \ quad \ displaystyle y = {\ frac {bd} {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}}, \ quad \ quad \ displaystyle z = {\ frac {cd} {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2 }}}}$.

La distancia entre el origen y el punto es . ${\ Displaystyle (x, y, z)}$${\ Displaystyle {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}}$

Conversión de un problema general en un problema de distancia desde el origen

Suponga que deseamos encontrar el punto más cercano en un plano al punto ( ), donde el plano está dado por . Definimos , , , y , para obtener como el plano expresa en términos de las variables transformadas. Ahora el problema se ha convertido en encontrar el punto más cercano en este plano al origen y su distancia al origen. El punto en el plano en términos de las coordenadas originales se puede encontrar desde este punto utilizando las relaciones anteriores entre y , entre y , y entre y ; la distancia en términos de las coordenadas originales es la misma que la distancia en términos de las coordenadas revisadas. ${\ Displaystyle X_ {0}, Y_ {0}, Z_ {0}}$${\ Displaystyle aX + bY + cZ = D}$${\ Displaystyle x = X-X_ {0}}$${\ Displaystyle y = Y-Y_ {0}}$${\ Displaystyle z = Z-Z_ {0}}$${\ Displaystyle d = D-aX_ {0} -bY_ {0} -cZ_ {0}}$${\ displaystyle ax + by + cz = d}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle z}$${\ Displaystyle Z}$

Reexpresión usando álgebra lineal

La fórmula para el punto más cercano al origen puede expresarse de manera más sucinta usando la notación del álgebra lineal . La expresión en la definición de un plano es un producto escalar y la expresión que aparece en la solución es la norma al cuadrado . Por lo tanto, si es un vector dado, el plano puede describirse como el conjunto de vectores para los cuales y el punto más cercano en este plano es el vector ${\ displaystyle ax + by + cz}$ ${\ Displaystyle (a, b, c) \ cdot (x, y, z)}$${\ Displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}$ ${\ Displaystyle | (a, b, c) | ^ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} = (a, b, c)}$${\ Displaystyle \ mathbf {w}}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {w} = d}$

${\ Displaystyle \ mathbf {p} = {\ frac {\ mathbf {v} d} {| \ mathbf {v} | ^ {2}}}}$.

La distancia euclidiana desde el origen hasta el plano es la norma de este punto,

${\ Displaystyle {\ frac {| d |} {| \ mathbf {v} |}} = {\ frac {| d |} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2 }}}}}$.

Por qué este es el punto más cercano

Ya sea en las formulaciones de coordenadas o de vectores, se puede verificar que el punto dado se encuentra en el plano dado introduciendo el punto en la ecuación del plano.

Para ver que es el punto más cercano al origen en el plano, observe que es un múltiplo escalar del vector que define el plano y, por lo tanto, es ortogonal al plano. Por lo tanto, si hay cualquier punto en el plano que no sea él mismo, entonces la recta se segmenta desde el origen hacia y desde para formar un triángulo rectángulo , y según el teorema de Pitágoras, la distancia desde el origen hasta es ${\ Displaystyle \ mathbf {p}}$${\ Displaystyle \ mathbf {v}}$${\ Displaystyle \ mathbf {q}}$${\ Displaystyle \ mathbf {p}}$${\ Displaystyle \ mathbf {p}}$${\ Displaystyle \ mathbf {p}}$${\ Displaystyle \ mathbf {q}}$${\ Displaystyle q}$

${\ Displaystyle {\ sqrt {| \ mathbf {p} | ^ {2} + | \ mathbf {p} - \ mathbf {q} | ^ {2}}}}$.

Dado que debe ser un número positivo, esta distancia es mayor que la distancia desde el origen hasta . ${\ Displaystyle | \ mathbf {p} - \ mathbf {q} | ^ {2}}$${\ Displaystyle | \ mathbf {p} |}$${\ Displaystyle \ mathbf {p}}$

Alternativamente, es posible reescribir la ecuación del plano usando productos escalares con en lugar del producto escalar original con (porque estos dos vectores son múltiplos escalares entre sí), después de lo cual el hecho de que sea ​​el punto más cercano se convierte en una consecuencia inmediata de la desigualdad de Cauchy-Schwarz . ${\ Displaystyle \ mathbf {p}}$${\ Displaystyle \ mathbf {v}}$${\ Displaystyle \ mathbf {p}}$

Punto más cercano y distancia para un hiperplano y un punto arbitrario

La ecuación vectorial para un hiperplano en -dimensional espacio euclidiano través de un punto con vector normal es o donde . La forma cartesiana correspondiente es donde . ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbf {p}}$${\ Displaystyle \ mathbf {a} \ neq \ mathbf {0}}$${\ Displaystyle (\ mathbf {x} - \ mathbf {p}) \ cdot \ mathbf {a} = 0}$${\ Displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {a} = d}$${\ Displaystyle d = \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {a}}$${\ Displaystyle a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2} + \ cdots + a_ {n} x_ {n} = d}$${\ Displaystyle d = \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {a} = a_ {1} p_ {1} + a_ {2} p_ {2} + \ cdots a_ {n} p_ {n}}$

El punto más cercano en este hiperplano a un punto arbitrario es ${\ Displaystyle \ mathbf {y}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {x} = \ mathbf {y} - \ left [{\ dfrac {(\ mathbf {y} - \ mathbf {p}) \ cdot \ mathbf {a}} {\ mathbf {a} \ " cdot \ mathbf {a}}} \ right] \ mathbf {a} = \ mathbf {y} - \ left [{\ dfrac {\ mathbf {y} \ cdot \ mathbf {a} -d} {\ mathbf {a } \ cdot \ mathbf {a}}} \ derecha] \ mathbf {a}}$

y la distancia desde el hiperplano es ${\ Displaystyle \ mathbf {y}}$

${\ Displaystyle \ left \ | \ mathbf {x} - \ mathbf {y} \ right \ | = \ left \ | \ left [{\ dfrac {(\ mathbf {y} - \ mathbf {p}) \ cdot \ mathbf {a}} {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a}}} \ right] \ mathbf {a} \ right \ | = {\ dfrac {\ left | (\ mathbf {y} - \ mathbf { p}) \ cdot \ mathbf {a} \ right |} {\ left \ | \ mathbf {a} \ right \ |}} = {\ dfrac {\ left | \ mathbf {y} \ cdot \ mathbf {a} -d \ right |} {\ left \ | \ mathbf {a} \ right \ |}}}$.

Escrito en forma cartesiana, el punto más cercano está dada por de donde ${\ Displaystyle x_ {i} = y_ {i} -ka_ {i}}$${\ Displaystyle 1 \ leq i \ leq n}$

${\ Displaystyle k = {\ dfrac {\ mathbf {y} \ cdot \ mathbf {a} -d} {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a}}} = {\ dfrac {a_ {1} y_ { 1} + a_ {2} y_ {2} + \ cdots a_ {n} y_ {n} -d} {a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + \ cdots a_ {n} ^ {2}}}}$,

y la distancia desde el hiperplano es ${\ Displaystyle \ mathbf {y}}$

${\ Displaystyle {\ dfrac {\ left | a_ {1} y_ {1} + a_ {2} y_ {2} + \ cdots a_ {n} y_ {n} -d \ right |} {\ sqrt {a_ { 1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + \ cdots a_ {n} ^ {2}}}}}$.

Así, en el punto en un plano más cercano a un punto arbitrario está dado por ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle ax + by + cz = d}$${\ Displaystyle (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1})}$${\ Displaystyle (x, y, z)}$

${\ Displaystyle \ left. {\ begin {array} {l} x = x_ {1} -ka \\ y = y_ {1} -kb \\ z = z_ {1} -kc \ end {array}} \ derecho\}}$

dónde

${\ Displaystyle k = {\ dfrac {ax_ {1} + by_ {1} + cz_ {1} -d} {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}}}$,

y la distancia del punto al plano es

${\ Displaystyle {\ dfrac {\ left | ax_ {1} + by_ {1} + cz_ {1} -d \ right |} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2 }}}}}$.

Ver también

• Distancia de un punto a una línea
• Hesse forma normal
• Inclinar líneas # Distancia

Referencias