Método de Poincaré-Lindstedt - Poincaré–Lindstedt method

En la teoría de la perturbación , el método de Poincaré-Lindstedt o el método de Lindstedt-Poincaré es una técnica para aproximar uniformemente soluciones periódicas a ecuaciones diferenciales ordinarias , cuando fallan los enfoques de perturbación regulares. El método elimina los términos seculares (términos que crecen sin límites) que surgen en la aplicación directa de la teoría de la perturbación a problemas débilmente no lineales con soluciones oscilatorias finitas.

El método lleva el nombre de Henri Poincaré y Anders Lindstedt .

Ejemplo: la ecuación de Duffing

La ecuación de Duffing no amortiguada y no forzada viene dada por

${\ Displaystyle {\ ddot {x}} + x + \ varepsilon \, x ^ {3} = 0 \,}$

para t  > 0, con 0 <  ε  ≪ 1.

Considere las condiciones iniciales

${\ Displaystyle x (0) = 1, \,}$   ${\ Displaystyle {\ dot {x}} (0) = 0. \,}$

Se busca una solución en serie de perturbaciones de la forma x ( t ) =  x ₀ ( t ) +  ε  x ₁ ( t ) +…. Los dos primeros términos de la serie son

${\ Displaystyle x (t) = \ cos (t) + \ varepsilon \ left [{\ tfrac {1} {32}} \, \ left (\ cos (3t) - \ cos (t) \ right) - { \ tfrac {3} {8}} \, t \, \ sin (t) \ right] + \ cdots. \,}$

Esta aproximación crece sin límite en el tiempo, lo cual es inconsistente con el sistema físico que modela la ecuación . El término responsable de este crecimiento ilimitado, llamado término secular , es . El método de Poincaré-Lindstedt permite la creación de una aproximación precisa para todos los tiempos, de la siguiente manera. ${\ Displaystyle t \ sin (t)}$

Además de expresar la solución en sí misma como una serie asintótica , forma otra serie con la que escalar el tiempo t :

${\ Displaystyle \ tau = \ omega t, \,}$   dónde   ${\ Displaystyle \ omega = \ omega _ {0} + \ varepsilon \ omega _ {1} + \ cdots. \,}$

Por conveniencia, tome ω ₀  = 1 porque el orden principal de la frecuencia angular de la solución es 1. Entonces el problema original se convierte en

${\ Displaystyle \ omega ^ {2} \, x '' (\ tau) + x (\ tau) + \ varepsilon \, x ^ {3} (\ tau) = 0 \,}$

con las mismas condiciones iniciales. Ahora busque una solución de la forma x ( τ ) =  x ₀ ( τ ) +  ε  x ₁ ( τ ) +…. Se obtienen las siguientes soluciones para el problema cero y de primer orden en ε :

${\ displaystyle {\ begin {alineado} x_ {0} & = \ cos (\ tau) \\ {\ text {y}} x_ {1} & = {\ tfrac {1} {32}} \, \ left (\ cos (3 \ tau) - \ cos (\ tau) \ right) + \ left (\ omega _ {1} - {\ tfrac {3} {8}} \ right) \, \ tau \, \ sin (\ tau). \ end {alineado}}}$

Entonces, el término secular puede eliminarse mediante la elección: ω ₁  =  ³ ⁄ ₈ . Se pueden obtener órdenes de precisión más altos si se continúa con el análisis de perturbaciones de esta manera. A partir de ahora, la aproximación (correcta hasta el primer orden en ε) es ​

${\ Displaystyle x (t) \ approx \ cos {\ Bigl (} \ left (1 + {\ tfrac {3} {8}} \, \ varepsilon \ right) \, t {\ Bigr)} + ​​{\ tfrac {1} {32}} \, \ varepsilon \, \ left [\ cos {\ Bigl (} 3 \ left (1 + {\ tfrac {3} {8}} \, \ varepsilon \, \ right) \, t {\ Bigr)} - \ cos {\ Bigl (} \ left (1 + {\ tfrac {3} {8}} \, \ varepsilon \, \ right) \, t {\ Bigr)} \ right]. \,}$

Referencias y notas