Potencial newtoniano - Newtonian potential

En matemáticas , el potencial newtoniano o potencial de Newton es un operador en el cálculo vectorial que actúa como inverso al laplaciano negativo , en funciones que son suaves y decaen lo suficientemente rápido en el infinito. Como tal, es un objeto fundamental de estudio en la teoría del potencial . En su naturaleza general, es un operador integral singular , definido por convolución con una función que tiene una singularidad matemática en el origen, el núcleo newtoniano Γ que es la solución fundamental de la ecuación de Laplace . Lleva el nombre de Isaac Newton , quien lo descubrió por primera vez y demostró que era una función armónica en el caso especial de tres variables , donde sirvió como potencial gravitacional fundamental en la ley de gravitación universal de Newton . En la teoría del potencial moderno, el potencial newtoniano se piensa en cambio como un potencial electrostático .

El potencial newtoniano de una función integrable con soporte compacto ƒ se define como la convolución

${\ Displaystyle u (x) = \ Gamma * f (x) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} \ Gamma (xy) f (y) \, dy}$

donde el núcleo newtoniano Γ en la dimensión d está definido por

${\ Displaystyle \ Gamma (x) = {\ begin {cases} {\ frac {1} {2 \ pi}} \ log {| x |} & d = 2 \\ {\ frac {1} {d (2- d) \ omega _ {d}}} | x | ^ {2-d} & d \ neq 2. \ end {cases}}}$

Aquí ω _d es el volumen de la unidad d -ball (a veces las convenciones de signos pueden variar; compárese ( Evans 1998 ) y ( Gilbarg y Trudinger 1983 )). Por ejemplo, porque tenemos${\ Displaystyle d = 3}$${\ Displaystyle \ Gamma (x) = - 1 / (4 \ pi | x |).}$

El potencial newtoniano w de ƒ es una solución de la ecuación de Poisson

${\ Displaystyle \ Delta w = f, \,}$

lo que quiere decir que la operación de tomar el potencial newtoniano de una función es una inversa parcial del operador de Laplace. w será una solución clásica, que es dos veces diferenciable, si f está acotada y localmente Hölder continua como lo muestra Otto Hölder . Era una cuestión abierta si la continuidad por sí sola también es suficiente. Henrik Petrini demostró que esto era incorrecto y dio un ejemplo de una f continua para la cual w no es dos veces diferenciable. La solución no es única, ya que la adición de cualquier función armónica ah no afectará la ecuación. Este hecho se puede utilizar para demostrar la existencia y unicidad de las soluciones al problema de Dirichlet para la ecuación de Poisson en dominios adecuadamente regulares y para funciones que se comportan adecuadamente ƒ: primero se aplica un potencial newtoniano para obtener una solución y luego se ajusta agregando una función armónica para obtener los datos de contorno correctos.

El potencial newtoniano se define más ampliamente como la convolución

${\ Displaystyle \ Gamma * \ mu (x) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} \ Gamma (xy) \, d \ mu (y)}$

cuando μ es una medida de radón con soporte compacto . Satisface la ecuación de Poisson

${\ Displaystyle \ Delta w = \ mu \,}$

en el sentido de distribuciones . Además, cuando la medida es positiva , el potencial newtoniano es subarmónico en R ^d .

Si f es una función continua con soporte compacto (o, más generalmente, una medida finita) que es invariante rotacionalmente , entonces la convolución de f con Γ satisface para x fuera del soporte de f

${\ Displaystyle f * \ Gamma (x) = \ lambda \ Gamma (x), \ quad \ lambda = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} f (y) \, dy.}$

En la dimensión d  = 3, esto se reduce al teorema de Newton de que la energía potencial de una masa pequeña fuera de una distribución de masa esféricamente simétrica mucho mayor es la misma que si toda la masa del objeto más grande estuviera concentrada en su centro.

Cuando la medida μ se asocia a una distribución de masa en una hipersuperficie S suficientemente lisa (una superficie de Lyapunov de clase Hölder C ^{1, α} ) que divide R ^d en dos regiones D ₊ y D _- , entonces se hace referencia al potencial newtoniano de μ como un potencial de capa simple . Los potenciales de simple capa son continuas y resolver la ecuación de Laplace , excepto en S . Aparecen de forma natural en el estudio de la electrostática en el contexto del potencial electrostático asociado a una distribución de carga en una superficie cerrada. Si d μ  =  ƒ  d H es el producto de una función continua en S con la medida de Hausdorff ( d  - 1) -dimensional , entonces en un punto y de S , la derivada normal sufre una discontinuidad de salto ƒ ( y ) al cruzar el capa. Además, la derivada normal es de w una función continua bien definida en S . Esto hace que las capas simples sean particularmente adecuadas para el estudio del problema de Neumann para la ecuación de Laplace.

Ver también

• Potencial de doble capa
• Función de Green
• Potencial de Riesz
• Función de Green para la ecuación de Laplace de tres variables

Referencias

• Evans, LC (1998), Ecuaciones diferenciales parciales , Providence: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2.
• Gilbarg, D .; Trudinger, Neil (1983), Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden , Nueva York: Springer, ISBN 3-540-41160-7.
• Solomentsev, ED (2001) [1994], "Potencial de Newton" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Solomentsev, ED (2001) [1994], "Potencial de capa simple" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Solomentsev, ED (2001) [1994], "Potencial de superficie" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press