Condición de Hölder - Hölder condition

En matemáticas , una función f real o de valor complejo en el espacio euclidiano d- dimensional satisface una condición de Hölder , o es Hölder continua , cuando hay constantes reales no negativas C , α> 0, tales que

${\ Displaystyle | f (x) -f (y) | \ leq C \ | xy \ | ^ {\ alpha}}$

para todos los x y y en el dominio de f . De manera más general, la condición se puede formular para funciones entre dos espacios métricos cualesquiera . El número α se llama exponente de la condición de Hölder. Una función en un intervalo que satisface la condición con α> 1 es constante . Si α = 1, entonces la función satisface una condición de Lipschitz . Para cualquier α> 0, la condición implica que la función es uniformemente continua . La condición lleva el nombre de Otto Hölder .

Tenemos la siguiente cadena de inclusiones estrictas para funciones sobre un intervalo no trivial cerrado y acotado de la línea real

Continuamente diferenciable ⊂ Lipschitz continuo ⊂ α-Hölder continuo ⊂ uniformemente continuo ⊂ continuo

donde 0 <α ≤ 1.

Espacios de Hölder

Los espacios de Hölder que consisten en funciones que satisfacen una condición de Hölder son básicos en áreas de análisis funcional relevantes para resolver ecuaciones diferenciales parciales y en sistemas dinámicos . El espacio de Hölder C ^{k , α} (Ω), donde Ω es un subconjunto abierto de algún espacio euclidiano y k ≥ 0 un número entero, consiste en aquellas funciones en Ω que tienen derivadas continuas hasta el orden k y tales que las k- ésimas derivadas parciales son Hölder continua con exponente α, donde 0 <α ≤ 1. Este es un espacio vectorial topológico localmente convexo . Si el coeficiente de Hölder

${\ Displaystyle | f | _ {C ^ {0, \ alpha}} = \ sup _ {x \ neq y \ in \ Omega} {\ frac {| f (x) -f (y) |} {\ | xy \ | ^ {\ alpha}}},}$

es finita, entonces se dice que la función f es (uniformemente) Hölder continua con exponente α en Ω. En este caso, el coeficiente de Hölder sirve como seminorma . Si el coeficiente de Hölder se limita simplemente a subconjuntos compactos de Ω, entonces se dice que la función f es localmente continua de Hölder con exponente α en Ω.

Si la función f y sus derivadas hasta el orden k están limitadas al cierre de Ω, entonces se puede asignar la norma al espacio de Hölder${\ Displaystyle C ^ {k, \ alpha} ({\ overline {\ Omega}})}$

${\ Displaystyle \ | f \ | _ {C ^ {k, \ alpha}} = \ | f \ | _ {C ^ {k}} + \ max _ {| \ beta | = k} \ left | D ^ {\ beta} f \ right | _ {C ^ {0, \ alpha}}}$

donde β varía sobre múltiples índices y

${\ Displaystyle \ | f \ | _ {C ^ {k}} = \ max _ {| \ beta | \ leq k} \ sup _ {x \ in \ Omega} \ left | D ^ {\ beta} f ( x) \ derecha |.}$

Estos seminormas y normas a menudo se denotan simplemente y o también y con el fin de enfatizar la dependencia del dominio de f . Si Ω está abierto y acotado, entonces es un espacio de Banach con respecto a la norma . ${\ displaystyle | f | _ {0, \ alpha}}$${\ Displaystyle \ | f \ | _ {k, \ alpha}}$${\ Displaystyle | f | _ {0, \ alpha, \ Omega} \;}$${\ Displaystyle \ | f \ | _ {k, \ alpha, \ Omega}}$${\ Displaystyle C ^ {k, \ alpha} ({\ overline {\ Omega}})}$${\ Displaystyle \ | \ cdot \ | _ {C ^ {k, \ alpha}}}$

Integración compacta de espacios Hölder

Sea Ω un subconjunto acotado de algún espacio euclidiano (o más generalmente, cualquier espacio métrico totalmente acotado) y sea 0 <α <β ≤ 1 dos exponentes de Hölder. Entonces, hay un mapa de inclusión obvio de los espacios de Hölder correspondientes:

${\ Displaystyle C ^ {0, \ beta} (\ Omega) \ a C ^ {0, \ alpha} (\ Omega),}$

que es continuo ya que, por definición de las normas de Hölder, tenemos:

${\ Displaystyle \ forall f \ in C ^ {0, \ beta} (\ Omega): \ qquad | f | _ {0, \ alpha, \ Omega} \ leq \ mathrm {diam} (\ Omega) ^ {\ beta - \ alpha} | f | _ {0, \ beta, \ Omega}.}$

Además, esta inclusión es compacta, lo que significa que los conjuntos acotados en la norma ‖ · ‖ _{0, β} son relativamente compactos en la norma ‖ · ‖ _{0, α} . Ésta es una consecuencia directa del teorema de Ascoli-Arzelà . De hecho, sea ( u _n ) una secuencia acotada en C ^{0, β} (Ω). Gracias al teorema de Ascoli-Arzelà podemos suponer sin pérdida de generalidad que u _n → u uniformemente, y también podemos suponer u = 0. Entonces

${\ Displaystyle | u_ {n} -u | _ {0, \ alpha} = | u_ {n} | _ {0, \ alpha} \ to 0,}$

porque

${\ Displaystyle {\ frac {| u_ {n} (x) -u_ {n} (y) |} {| xy | ^ {\ alpha}}} = \ left ({\ frac {| u_ {n} ( x) -u_ {n} (y) |} {| xy | ^ {\ beta}}} \ right) ^ {\ frac {\ alpha} {\ beta}} \ left | u_ {n} (x) - u_ {n} (y) \ right | ^ {1 - {\ frac {\ alpha} {\ beta}}} \ leq | u_ {n} | _ {0, \ beta} ^ {\ frac {\ alpha} {\ beta}} \ left (2 \ | u_ {n} \ | _ {\ infty} \ right) ^ {1 - {\ frac {\ alpha} {\ beta}}} = o (1).}$

Ejemplos de

• Si 0 <α ≤ β ≤ 1 entonces todas las funciones continuas de Hölder en un conjunto acotado Ω también son continuas de Hölder. Esto también incluye β = 1 y, por lo tanto, todas las funciones continuas de Lipschitz en un conjunto acotado también son C ^{0, α} Hölder continuas.${\ Displaystyle C ^ {0, \ beta} ({\ overline {\ Omega}})}$${\ Displaystyle C ^ {0, \ alpha} ({\ overline {\ Omega}})}$
• La función f ( x ) = x ^β (con β ≤ 1) definida en [0, 1] sirve como un ejemplo prototípico de una función que es C ^{0, α} Hölder continua para 0 <α ≤ β, pero no para α> β. Además, si definiéramos f de manera análoga , sería C ^{0, α} Hölder continua solo para α = β.${\ Displaystyle [0, \ infty)}$
• Para α> 1, cualquier función continua α – Hölder en [0, 1] (o cualquier intervalo) es una constante.
• Hay ejemplos de funciones uniformemente continuas que no son α – Hölder continuas para ningún α. Por ejemplo, la función definida en [0, 1/2] por f (0) = 0 y por f ( x ) = 1 / log ( x ) de lo contrario es continua y, por lo tanto, uniformemente continua según el teorema de Heine-Cantor . Sin embargo, no satisface una condición de Hölder de ningún pedido.
• La función de Weierstrass definida por:

${\ Displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a ^ {n} \ cos \ left (b ^ {n} \ pi x \ right),}$

donde es un número entero, y es α-Hölder continuo con ${\ Displaystyle 0 <a <1, b}$${\ Displaystyle b \ geq 2}$${\ Displaystyle ab> 1 + {\ tfrac {3 \ pi} {2}},}$

${\ Displaystyle \ alpha = - {\ frac {\ log (a)} {\ log (b)}}.}$

• La función de Cantor es Hölder continua para cualquier exponente y no para uno mayor. En el primer caso, la desigualdad de la definición se mantiene con la constante C  : = 2.${\ Displaystyle \ alpha \ leq {\ tfrac {\ log 2} {\ log 3}},}$
• Las curvas de Peano desde [0, 1] al cuadrado [0, 1] ² se pueden construir para que sean continuas de 1/2 a Hölder. Se puede demostrar que cuando la imagen de una función continua α – Hölder desde el intervalo unitario hasta el cuadrado no puede llenar el cuadrado.${\ Displaystyle \ alpha> {\ tfrac {1} {2}}}$
• Las rutas de muestra del movimiento browniano están casi con seguridad en todas partes a nivel local α-Hölder para cada${\ Displaystyle \ alpha <{\ tfrac {1} {2}}.}$
• Las funciones que son localmente integrables y cuyas integrales satisfacen una condición de crecimiento apropiada también son continuas de Hölder. Por ejemplo, si dejamos

${\ Displaystyle u_ {x, r} = {\ frac {1} {| B_ {r} |}} \ int _ {B_ {r} (x)} u (y) dy}$

y u satisface

${\ Displaystyle \ int _ {B_ {r} (x)} \ left | u (y) -u_ {x, r} \ right | ^ {2} dy \ leq Cr ^ {n + 2 \ alpha},}$

entonces u es Hölder continua con exponente α.

• Las funciones cuya oscilación decaen a una tasa fija con respecto a la distancia son Hölder continuas con un exponente que está determinado por la tasa de decadencia. Por ejemplo, si

${\ Displaystyle w (u, x_ {0}, r) = \ sup _ {B_ {r} (x_ {0})} u- \ inf _ {B_ {r} (x_ {0})} u}$

para alguna función u ( x ) satisface

${\ Displaystyle w \ left (u, x_ {0}, {\ tfrac {r} {2}} \ right) \ leq \ lambda w \ left (u, x_ {0}, r \ right)}$

para un λ fijo con 0 <λ <1 y todos los valores suficientemente pequeños de r , entonces u es Hölder continuo.

• Las funciones en el espacio de Sobolev se pueden incrustar en el espacio de Hölder apropiado a través de la desigualdad de Morrey si la dimensión espacial es menor que el exponente del espacio de Sobolev. Para ser precisos, si entonces existe una constante C , dependiendo sólo de p y n , tales que:${\ Displaystyle n <p \ leq \ infty}$

${\ Displaystyle \ forall u \ en C ^ {1} (\ mathbf {R} ^ {n}) \ cap L ^ {p} (\ mathbf {R} ^ {n}): \ qquad \ | u \ | _ {C ^ {0, \ gamma} (\ mathbf {R} ^ {n})} \ leq C \ | u \ | _ {W ^ {1, p} (\ mathbf {R} ^ {n}) },}$

donde Por lo tanto, si u ∈ W ^{1, p} ( R ⁿ ), entonces u es de hecho continuo de Hölder de exponente γ, después de haber sido posiblemente redefinido en un conjunto de medida 0.${\ Displaystyle \ gamma = 1 - {\ tfrac {n} {p}}.}$

Propiedades

• Un subgrupo aditivo cerrado de un espacio de Hilbert de dimensión infinita H , conectado por arcos continuos α – Hölder con α> 1/2, es un subespacio lineal. Hay subgrupos aditivos cerrados de H , no subespacios lineales, conectados por arcos continuos de 1/2-Hölder. Un ejemplo es el subgrupo aditivo L ² ( R , Z ) del espacio de Hilbert L ² ( R , R ).
• Cualquier función continua f de α-Hölder en un espacio métrico X admite una aproximación de Lipschitz mediante una secuencia de funciones ( f _k ) tal que f _k es k -Lipschitz y

${\ Displaystyle \ | f-f_ {k} \ | _ {\ infty, X} = O \ left (k ^ {- {\ frac {\ alpha} {1- \ alpha}}} \ right).}$

A la inversa, cualquier secuencia ( f _k ) de funciones de Lipschitz converge a un límite uniforme continuo α-Hölder f .

• Cualquier función α – Hölder f en un subconjunto X de un espacio normado E admite una extensión uniformemente continua a todo el espacio, que es Hölder continuo con la misma constante C y el mismo exponente α. La mayor extensión de este tipo es:

${\ Displaystyle f ^ {*} (x): = \ inf _ {y \ in X} \ left \ {f (y) + C | xy | ^ {\ alpha} \ right \}.}$

• La imagen de cualquier bajo una función α-Hölder tiene una dimensión de Hausdorff como máximo , donde es la dimensión de Hausdorff de .${\ Displaystyle U \ subconjunto \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle {\ tfrac {\ dim _ {H} (U)} {\ alpha}}}$${\ Displaystyle \ dim _ {H} (U)}$${\ Displaystyle U}$
• El espacio no es separable.${\ Displaystyle C ^ {0, \ alpha} (\ Omega), 0 <\ alpha \ leq 1}$
• La incrustación no es densa.${\ Displaystyle C ^ {0, \ beta} (\ Omega) \ subconjunto C ^ {0, \ alpha} (\ Omega), 0 <\ alpha <\ beta \ leq 1}$

Notas

Referencias

• Lawrence C. Evans (1998). Ecuaciones diferenciales parciales . Sociedad Americana de Matemáticas, Providence. ISBN 0-8218-0772-2.
• Gilbarg, D .; Trudinger, Neil (1983). Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden . Nueva York: Springer. ISBN 3-540-41160-7..
• Han, Qing; Lin, Fanghua (1997). Ecuaciones diferenciales parciales elípticas . Nueva York: Courant Institute of Mathematical Sciences . ISBN 0-9658703-0-8. OCLC  38168365 . Señor 1669352