Espacio de Moore (topología) - Moore space (topology)

En matemáticas , más específicamente en topología de conjuntos de puntos , un espacio de Moore es un espacio de Hausdorff regular que se puede desarrollar . Es decir, un espacio topológico X es un espacio de Moore si se cumplen las siguientes condiciones:

• Dos puntos distintos pueden estar separados por vecindarios , y cualquier conjunto cerrado y cualquier punto en su complemento pueden estar separados por vecindarios. ( X es un espacio de Hausdorff regular ).
• Hay un contable colección de cubiertas abiertas de X , tal que para cualquier conjunto cerrado C y cualquier punto P en su complemento existe una cubierta en la colección de tal manera que cada barrio de p en la cubierta es disjunta de C . ( X es un espacio urbanizable ).

Los espacios de Moore son generalmente interesantes en matemáticas porque pueden aplicarse para probar teoremas de metrización interesantes . El concepto de un espacio de Moore fue formulado por RL Moore a principios del siglo XX.

Ejemplos y propiedades

1. Cada espacio metrizable , X , es un espacio de Moore. Si { A ^{( n )} _x } es la cubierta abierta de X (indexada por x en X ) por todas las bolas de radio 1 / n , entonces la colección de todas las cubiertas abiertas cuando n varía sobre los enteros positivos es un desarrollo de X . Dado que todos los espacios métricos son normales, todos los espacios métricos son espacios de Moore.
2. Los espacios de Moore se parecen mucho a los espacios regulares y diferentes de los espacios normales en el sentido de que cada subespacio de un espacio de Moore es también un espacio de Moore.
3. La imagen de un espacio de Moore bajo un mapa abierto continuo e inyectivo es siempre un espacio de Moore. (La imagen de un espacio regular debajo de un mapa abierto continuo e inyectivo es siempre regular).
4. Ambos ejemplos 2 y 3 sugieren que los espacios de Moore son similares a los espacios regulares.
5. Ni la línea de Sorgenfrey ni el plano de Sorgenfrey son espacios de Moore porque son normales y no son segundos contables .
6. El plano de Moore (también conocido como el espacio de Niemytski) es un ejemplo de un espacio de Moore no metrizable.
7. Cada espacio de Moore normal , separable y metacompacto es metrizable. Este teorema se conoce como teorema de Traylor.
8. Cada espacio Moore normal localmente compacto y conectado localmente es metrizable. Este teorema fue probado por Reed y Zenor.
9. Si , entonces cada espacio de Moore normal separable es metrizable . Este teorema se conoce como teorema de Jones.${\ Displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}} <2 ^ {\ aleph _ {1}}}$

Conjetura del espacio de Moore normal

Durante mucho tiempo, los topólogos intentaron probar la llamada conjetura del espacio de Moore normal: todo espacio de Moore normal es metrizable . Esto se inspiró en el hecho de que todos los espacios de Moore conocidos que no eran metrizables tampoco eran normales. Este habría sido un buen teorema de metrización . Al principio hubo algunos buenos resultados parciales; a saber, las propiedades 7, 8 y 9 como se indica en la sección anterior.

Con la propiedad 9, vemos que podemos eliminar la metacompacidad del teorema de Traylor, pero a costa de una suposición de la teoría de conjuntos. Otro ejemplo de esto es el teorema de Fleissner de que el axioma de constructibilidad implica que los espacios de Moore normales, localmente compactos, son metrizables.

Por otro lado, bajo la hipótesis del continuo (CH) y también bajo el axioma de Martin y no CH, hay varios ejemplos de espacios de Moore normales no metrizables. Nyikos demostró que, bajo el llamado PMEA (Axioma de extensión de medida de producto), que necesita un cardinal grande , todos los espacios de Moore normales son metrizables. Finalmente, se demostró más tarde que cualquier modelo de ZFC en el que se mantenga la conjetura implica la existencia de un modelo con un gran cardinal. Esencialmente, se necesitan cardenales tan grandes.

Jones (1937) dio un ejemplo de un espacio de Moore pseudonormal que no es metrizable, por lo que la conjetura no se puede fortalecer de esta manera. El propio Moore demostró el teorema de que un espacio de Moore normal por colecciones es metrizable, por lo que fortalecer la normalidad es otra forma de resolver el asunto.

Referencias

• Lynn Arthur Steen y J. Arthur Seebach , Contraejemplos en topología , Dover Books, 1995. ISBN  0-486-68735-X
• Jones, FB (1937), "Concerning normal and completamente normal spaces", Bulletin of the American Mathematical Society , 43 (10): 671–677, doi : 10.1090 / S0002-9904-1937-06622-5 , MR  1563615.
• Nyikos, Peter J. (2001), "Una historia del problema del espacio normal de Moore", Manual de historia de la topología general , Hist. Topol., 3 , Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, págs. 1179-1212, ISBN 9780792369707, Señor  1900271.
• La definición original de RL Moore aparece aquí :

MR 0150722 (27 # 709) Moore, RL Fundamentos de la teoría de conjuntos de puntos . Edición revisada. Publicaciones del Coloquio de la Sociedad Americana de Matemáticas, vol. XIII American Mathematical Society, Providence, RI 1962 xi + 419 pp. (Revisor: F. Burton Jones)

• La información histórica se puede encontrar aquí :

MR 0199840 (33 # 7980) Jones, F. Burton "Metrización". American Mathematical Monthly 73 1966 571–576. (Revisor: RW Bagley)

• La información histórica se puede encontrar aquí :

MR 0203661 (34 # 3510) Bing, RH "Conjeturas desafiantes". American Mathematical Monthly 74 1967 no. 1, parte II, 56–64;

• El teorema de Vickery se puede encontrar aquí :

MR 0001909 (1,317f) Vickery, CW "Axiomas para espacios de Moore y espacios métricos". Boletín de la American Mathematical Society 46, (1940). 560–564

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