Número de Markov - Markov number

Un número de Markov o número Markoff es un número entero positivo x , y o z que forma parte de una solución al Markov ecuación Diophantine

${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 3xyz, \,}$

estudiado por Andrey Markoff  ( 1879 , 1880 ).

Los primeros números de Markov son

1 , 2 , 5 , 13 , 29 , 34 , 89 , 169 , 194 , 233 , 433, 610, 985, 1325, ... (secuencia A002559 en la OEIS )

que aparecen como coordenadas de los triples de Markov

(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1 , 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (1, 233, 610), (2, 169 , 985), (13, 34, 1325), ...

Hay infinitos números de Markov y triples de Markov.

Árbol de Markov

Hay dos formas sencillas de obtener un nuevo triple de Markov a partir de uno antiguo ( x ,  y ,  z ). Primero, uno puede permutar los 3 números x , y , z , entonces en particular uno puede normalizar los triples para que x  ≤  y  ≤  z . En segundo lugar, si ( x ,  y ,  z ) es un triple de Markov, entonces, al saltar Vieta, también lo es ( x ,  y , 3 xy  -  z ). Aplicar esta operación dos veces devuelve el mismo triple con el que comenzó. Uniendo cada triple de Markov normalizado a los 1, 2 o 3 triples normalizados que se pueden obtener de esto, se obtiene un gráfico que comienza en (1,1,1) como en el diagrama. Este gráfico está conectado; en otras palabras, cada triple de Markov se puede conectar a (1,1,1) mediante una secuencia de estas operaciones. Si comenzamos, como ejemplo, con (1, 5, 13) obtenemos sus tres vecinos (5, 13, 194), (1, 13, 34) y (1, 2, 5) en el árbol de Markov si z se establece en 1, 5 y 13, respectivamente. Por ejemplo, partiendo de (1, 1, 2) y la negociación y y z antes de cada iteración de las listas transformar Markov triples con números de Fibonacci. A partir de ese mismo triplete y el comercio x y z antes de cada iteración da los triples con números de Pell.

Todos los números de Markov en las regiones adyacentes a la región de 2 son números Pell de índice impar (o números n tales que 2 n ²  - 1 es un cuadrado, OEIS :  A001653 ), y todos los números de Markov en las regiones adyacentes a la región de 1 son números de Fibonacci con índices impares ( OEIS :  A001519 ). Por lo tanto, hay infinitos triples de Markov de la forma

${\ Displaystyle (1, F_ {2n-1}, F_ {2n + 1}), \,}$

donde F _x es el x ésimo número de Fibonacci. Asimismo, hay infinitos triples de Markov de la forma

${\ Displaystyle (2, P_ {2n-1}, P_ {2n + 1}), \,}$

donde P _x es el x ésimo número de Pell .

Otras propiedades

Aparte de los dos triples singulares más pequeños (1,1,1) y (1,1,2), cada triple de Markov consta de tres números enteros distintos.

La conjetura de la unicidad establece que para un número c de Markov dado , hay exactamente una solución normalizada que tiene c como su elemento más grande: se han afirmado pruebas de esta conjetura, pero ninguna parece ser correcta.

Los números impares de Markov son 1 más que los múltiplos de 4, mientras que los números pares de Markov son 2 más que los múltiplos de 32.

En su artículo de 1982, Don Zagier conjeturó que el n- ésimo número de Markov está dado asintóticamente por

${\ displaystyle m_ {n} = {\ tfrac {1} {3}} e ^ {C {\ sqrt {n}} + o (1)} \ quad {\ text {with}} C = 2,3523414972 \ ldots. }$

El error se representa a continuación. ${\ Displaystyle (\ log (3m_ {n}) / C) ^ {2} -n}$

Además, señaló que , una aproximación de la ecuación diofántica original, es equivalente a con f ( t ) = arcosh (3 t / 2). La conjetura fue probada por Greg McShane e Igor Rivin en 1995 utilizando técnicas de geometría hiperbólica. ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 3xyz + 4/9}$${\ Displaystyle f (x) + f (y) = f (z)}$

El n- ésimo número de Lagrange se puede calcular a partir del n- ésimo número de Markov con la fórmula

${\ Displaystyle L_ {n} = {\ sqrt {9- {4 \ over {m_ {n}} ^ {2}}}}. \,}$

Los números de Markov son sumas de pares de cuadrados (no únicos).

Teorema de markov

Markoff ( 1879 , 1880 ) demostró que si

${\ displaystyle f (x, y) = ax ^ {2} + bxy + cy ^ {2}}$

es una forma cuadrática binaria indefinida con coeficientes reales y discriminante , luego hay enteros x ,  y para los cuales f toma un valor distinto de cero de valor absoluto como máximo ${\ Displaystyle D = b ^ {2} -4ac}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ sqrt {D}} {3}}}$

a menos que f sea ​​una forma de Markov : una constante multiplicada por una forma

${\ Displaystyle px ^ {2} + (3p-2a) xy + (b-3a) y ^ {2}}$

tal que

${\ displaystyle {\ begin {cases} 0 <a <p / 2, \\ aq \ equiv \ pm r {\ pmod {p}}, \\ bp-a ^ {2} = 1, \ end {cases} }}$

donde ( p ,  q ,  r ) es un triple de Markov.

También hay un teorema de Markov en topología , que lleva el nombre del hijo de Andrey Markov, Andrey Andreevich Markov .

Matrices

Sea Tr la función de rastreo sobre matrices. Si X e Y están en SL ₂ ( ℂ ), entonces

Tr ( X ) Tr ( Y ) Tr ( X ⋅ Y ) + Tr ( X ⋅ Y ⋅ X ⁻¹ ⋅ Y ⁻¹ ) + 2 = Tr ( X ) ² + Tr ( Y ) ² + Tr ( X ⋅ Y ) ²

de modo que si Tr ( X ⋅ Y ⋅ X ⁻¹ ⋅ Y ⁻¹ ) = −2 entonces

Tr ( X ) Tr ( Y ) Tr ( X ⋅ Y ) = Tr ( X ) ² + Tr ( Y ) ² + Tr ( X ⋅ Y ) ²

En particular, si X e Y también tienen entradas enteras, Tr ( X ) / 3, Tr ( Y ) / 3 y Tr ( X ⋅ Y ) / 3 son un triple de Markov. Si X ⋅ Y ⋅ Z  =  1 entonces Tr ( X ⋅ Y ) = Tr ( Z ), entonces más simétricamente si X , Y y Z están en SL ₂ (ℤ) con X ⋅ Y ⋅ Z  = 1 y el conmutador de dos de ellos tienen traza -2, entonces sus trazas / 3 son un triple de Markov.

Ver también

• Espectro de Markov

Notas

Referencias

• Cassels, JWS (1957). Una introducción a la aproximación diofántica . Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. 45 . Prensa de la Universidad de Cambridge . Zbl  0077.04801 .
• Cusick, Thomas; Flahive, Mari (1989). Los espectros de Markoff y Lagrange . Matemáticas. Encuestas y Monografías. 30 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8218-1531-8. Zbl  0685.10023 .
• Guy, Richard K. (2004). Problemas no resueltos en teoría de números . Springer-Verlag . págs. 263-265. ISBN 0-387-20860-7. Zbl  1058.11001 .
• Malyshev, AV (2001) [1994], "Problema del espectro de Markov" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Markoff, A. "Sur les formes quadratiques binaires indéfinies". Mathematische Annalen . Springer Berlín / Heidelberg. ISSN  0025-5831 .

Markoff, A. (1879). "Primer recuerdo" . Mathematische Annalen . 15 (3–4): 381–406. doi : 10.1007 / BF02086269 . S2CID  179177894 .

Markoff, A. (1880). "Segunda memoria" . Mathematische Annalen . 17 (3): 379–399. doi : 10.1007 / BF01446234 . S2CID  121616054 .