Delimitación local - Local boundedness
En matemáticas , una función está limitada localmente si está limitada alrededor de todos los puntos. Una familia de funciones está limitada localmente si para cualquier punto de su dominio todas las funciones están limitadas alrededor de ese punto y por el mismo número.
Función delimitada localmente
Una función f de valor real o de valor complejo definida en algún espacio topológico X se llama acotada localmente si para cualquier x 0 en X existe una vecindad A de x 0 tal que f ( A ) es un conjunto acotado . Es decir, para algún número M > 0 uno tiene
para todos x en A .
En otras palabras, para cada x se puede encontrar una constante, dependiendo de x , que es mayor que todos los valores de la función en la vecindad de x . Compare esto con una función acotada , para la cual la constante no depende de x . Obviamente, si una función está acotada, entonces está acotada localmente. Lo contrario no es cierto en general (ver más abajo).
Esta definición se puede extender al caso en que f toma valores en algún espacio métrico . Entonces la desigualdad anterior debe reemplazarse con
para todo x en A , donde d es la función de distancia en el espacio métrico y a es algún punto en el espacio métrico. La elección de a no afecta la definición; elegir un diferente un será, como máximo, aumentar la constante M para el que esta desigualdad es verdadera.
Ejemplos
- La función f : R → R definida por
está acotado, porque 0 ≤ f ( x ) ≤ 1 para todo x . Por lo tanto, también tiene límites locales.
- La función f : R → R definida por
no está acotado, ya que se vuelve arbitrariamente grande. Sin embargo, está limitado localmente porque para cada a , | f ( x ) | ≤ M en la vecindad ( a - 1, a + 1), donde M = 2 | a | + 5.
- La función f : R → R definida por
no está limitado ni limitado localmente. En cualquier vecindario de 0, esta función toma valores de magnitud arbitrariamente grande.
- Cualquier función continua está limitada localmente. Aquí hay una prueba de las funciones de una variable real. Vamos f : U → R sea continua, donde T ⊆ R , y vamos a demostrar que f es acotada en destino, en una para todos una en U . Tomando ε = 1 en la definición de continuidad, existe δ> 0 tal que | f ( x ) - f ( a ) | <1 para todo x en U con | x - a | <δ. Ahora por la desigualdad del triángulo , | f ( x ) | = | f ( x ) - f ( a ) + f ( a ) | ≤ | f ( x ) - f ( a ) | + | f ( a ) | <1 + | f ( a ) |, lo que significa que f está acotada localmente en a (tomando M = 1 + | f ( a ) | y la vecindad ( a - δ, a + δ)). Este argumento se generaliza fácilmente cuando el dominio de f es cualquier espacio topológico.
- Sin embargo, lo contrario del resultado anterior no es cierto, es decir, una función discontinua puede estar limitada localmente. Por ejemplo, considere la función f : R → R dada por f (0) = 1 y f ( x ) = 0 para todo x ≠ 0. Entonces f es discontinua en 0 pero f está acotada localmente; es localmente constante excepto en cero, donde podemos tomar M = 1 y la vecindad (-1, 1), por ejemplo.
Familia delimitada localmente
Un conjunto (también llamado familia ) U de funciones de valor real o de valor complejo definido en algún espacio topológico X se llama acotado localmente si para cualquier x 0 en X existe una vecindad A de x 0 y un número positivo M tal que
para todos x en A y f en U . En otras palabras, todas las funciones de la familia deben estar limitadas localmente y alrededor de cada punto deben estar limitadas por la misma constante.
Esta definición también se puede extender al caso en que las funciones de la familia U toman valores en algún espacio métrico, reemplazando nuevamente el valor absoluto con la función de distancia.
Ejemplos
- La familia de funciones f n : R → R
donde n = 1, 2, ... está limitado localmente. De hecho, si x 0 es un número real, se puede elegir la vecindad A para que sea el intervalo ( x 0 - 1, x 0 + 1). Entonces para todo x en este intervalo y para todo n ≥ 1 uno tiene
con M = | x 0 | + 1. Además, la familia está uniformemente acotada , porque ni la vecindad A ni la constante M dependen del índice n .
- La familia de funciones f n : R → R
está acotado localmente, si n es mayor que cero. Para cualquier x 0, se puede elegir que el vecindario A sea el propio R. Entonces tenemos
con M = 1. Observe que el valor de M no depende de la elección de x 0 o su vecindad A . Esta familia no solo está delimitada localmente, sino también uniformemente.
- La familia de funciones f n : R → R
no está limitado localmente. De hecho, para cualquier x 0, los valores f n ( x 0 ) no pueden acotarse ya que n tiende hacia el infinito.
Espacios vectoriales topológicos
La delimitación local también puede referirse a una propiedad de los espacios vectoriales topológicos o de las funciones de un espacio topológico a un espacio vectorial topológico.
Espacios vectoriales topológicos delimitados localmente
Sea X un espacio vectorial topológico. Entonces, un subconjunto B ⊂ X está acotado si para cada vecindario U de 0 en X existe un escalar s > 0 tal que
- B ⊂ tU para todos los t > s .
Se dice que un espacio vectorial topológico está acotado localmente si X admite una vecindad acotada de 0.
Funciones delimitadas localmente
Sea X un espacio topológico, Y un espacio vectorial topológico y f : X → Y una función. Entonces f está acotada localmente si cada punto de X tiene una vecindad cuya imagen bajo f está acotada.
El siguiente teorema relaciona la delimitación local de funciones con la delimitación local de los espacios vectoriales topológicos:
- Teorema. Un espacio vectorial topológico X está limitado localmente si y solo si el id del mapa de identidad X : X → X está limitado localmente.