Sistema lineal - Linear system

En teoría de sistemas , un sistema lineal es un modelo matemático de un sistema basado en el uso de un operador lineal . Los sistemas lineales típicamente exhiben características y propiedades que son mucho más simples que el caso no lineal . Como abstracción o idealización matemática, los sistemas lineales encuentran aplicaciones importantes en la teoría del control automático , el procesamiento de señales y las telecomunicaciones . Por ejemplo, el medio de propagación para los sistemas de comunicación inalámbrica a menudo se puede modelar mediante sistemas lineales.

Definición

Diagrama de bloques que ilustra la propiedad de aditividad para un sistema SISO determinista de tiempo continuo. El sistema satisface la propiedad de aditividad o es aditivo si y solo si para todo el tiempo y para todas las entradas y . Haga clic en la imagen para expandirla.${\ Displaystyle y_ {3} (t) = y_ {1} (t) + y_ {2} (t)}$${\ Displaystyle t}$${\ Displaystyle x_ {1} (t)}$${\ Displaystyle x_ {2} (t)}$

Diagrama de bloques que ilustra la propiedad de homogeneidad para un sistema SISO determinista de tiempo continuo. El sistema satisface la propiedad de homogeneidad o es homogéneo si y solo si para todo el tiempo , para toda constante real y para toda entrada . Haga clic en la imagen para expandirla.${\ Displaystyle y_ {2} (t) = a \, y_ {1} (t)}$${\ Displaystyle t}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle x_ {1} (t)}$

Diagrama de bloques que ilustra el principio de superposición para un sistema SISO determinista de tiempo continuo. El sistema satisface el principio de superposición y, por lo tanto, es lineal si y solo si para todo el tiempo , para todas las constantes reales y y para todas las entradas y . Haga clic en la imagen para expandirla.${\ Displaystyle y_ {3} (t) = a_ {1} \, y_ {1} (t) + a_ {2} \, y_ {2} (t)}$${\ Displaystyle t}$${\ Displaystyle a_ {1}}$${\ Displaystyle a_ {2}}$${\ Displaystyle x_ {1} (t)}$${\ Displaystyle x_ {2} (t)}$

Un sistema determinista general puede ser descrito por un operador, H , que mapea una entrada, x ( t ) , en función de t a una salida, y ( t ) , un tipo de descripción de caja negra .

Un sistema es lineal si y solo si satisface el principio de superposición o, de manera equivalente, las propiedades de aditividad y homogeneidad, sin restricciones (es decir, para todas las entradas, todas las constantes de escala y todo el tiempo).

El principio de superposición significa que una combinación lineal de entradas al sistema produce una combinación lineal de las salidas individuales de estado cero (es decir, salidas que establecen las condiciones iniciales en cero) correspondientes a las entradas individuales.

En un sistema que satisface la propiedad de homogeneidad, escalar la entrada siempre da como resultado escalar la respuesta de estado cero por el mismo factor. En un sistema que satisface la propiedad de aditividad, la adición de dos entradas siempre da como resultado la adición de las dos respuestas de estado cero correspondientes debido a las entradas individuales.

Matemáticamente, para un sistema de tiempo continuo, dadas dos entradas arbitrarias

${\ Displaystyle x_ {1} (t)}$

${\ Displaystyle x_ {2} (t)}$

así como sus respectivas salidas de estado cero

${\ Displaystyle y_ {1} (t) = H \ left \ {x_ {1} (t) \ right \}}$

${\ Displaystyle y_ {2} (t) = H \ left \ {x_ {2} (t) \ right \}}$

entonces un sistema lineal debe satisfacer

${\ Displaystyle \ alpha y_ {1} (t) + \ beta y_ {2} (t) = H \ left \ {\ alpha x_ {1} (t) + \ beta x_ {2} (t) \ right \ }}$

para cualquier valor escalar α y β , para cualquier señal de entrada x ₁ (t) y x ₂ (t) , y para todo el tiempo t .

Entonces, el sistema se define mediante la ecuación H ( x ( t )) = y ( t ) , donde y ( t ) es una función arbitraria del tiempo y x ( t ) es el estado del sistema. Dados y ( t ) y H , el sistema se puede resolver para x ( t ) .

El comportamiento del sistema resultante sometido a una entrada compleja se puede describir como una suma de respuestas a entradas más simples. En los sistemas no lineales, no existe tal relación. Esta propiedad matemática hace que la solución de ecuaciones de modelado sea más simple que muchos sistemas no lineales. Para los sistemas invariantes en el tiempo , esta es la base de la respuesta al impulso o los métodos de respuesta en frecuencia (consulte la teoría del sistema LTI ), que describen una función de entrada general x ( t ) en términos de impulsos unitarios o componentes de frecuencia .

Las ecuaciones diferenciales típicas de los sistemas lineales invariantes en el tiempo están bien adaptadas al análisis utilizando la transformada de Laplace en el caso continuo y la transformada Z en el caso discreto (especialmente en implementaciones informáticas).

Otra perspectiva es que las soluciones a los sistemas lineales comprenden un sistema de funciones que actúan como vectores en el sentido geométrico.

Un uso común de los modelos lineales es describir un sistema no lineal por linealización . Por lo general, esto se hace por conveniencia matemática.

La definición anterior de un sistema lineal es aplicable a los sistemas SISO (entrada única salida única). Para MIMO (múltiple entrada múltiple salida) vectores de sistemas, señal de entrada y de salida ( , , , ) se consideran en lugar de señales de entrada y de salida ( , , , ). ${\ Displaystyle {\ mathbf {x}} _ {1} (t)}$${\ Displaystyle {\ mathbf {x}} _ {2} (t)}$${\ Displaystyle {\ mathbf {y}} _ {1} (t)}$${\ Displaystyle {\ mathbf {y}} _ {2} (t)}$${\ Displaystyle x_ {1} (t)}$${\ Displaystyle x_ {2} (t)}$${\ Displaystyle y_ {1} (t)}$${\ Displaystyle y_ {2} (t)}$

Esta definición de un sistema lineal es análoga a la definición de una ecuación diferencial lineal en cálculo y una transformación lineal en álgebra lineal .

Ejemplos de

Un oscilador armónico simple obedece a la ecuación diferencial:

${\ Displaystyle m {\ frac {d ^ {2} (x)} {dt ^ {2}}} = - kx}$.

Si

${\ Displaystyle H (x (t)) = m {\ frac {d ^ {2} (x (t))} {dt ^ {2}}} + kx (t)}$,

entonces H es un operador lineal. Dejando y ( t ) = 0 , podemos reescribir la ecuación diferencial como H ( x ( t )) = y ( t ) , lo que muestra que un oscilador armónico simple es un sistema lineal.

Otros ejemplos de sistemas lineales incluyen los descritos por , , , y cualquier sistema descrito por las ecuaciones diferenciales lineales ordinarias. Los sistemas descritos por , , , , , , , y un sistema con salida de odd-simetría que consiste en una región lineal y una región de saturación (constante), son no lineales debido a que no siempre satisfacen el principio de superposición. ${\ Displaystyle y (t) = k \, x (t)}$${\ Displaystyle y (t) = k \, {\ frac {\ mathrm {d} x (t)} {\ mathrm {d} t}}}$${\ Displaystyle y (t) = k \, \ int _ {- \ infty} ^ {t} x (\ tau) \ mathrm {d} \ tau}$${\ Displaystyle y (t) = k}$${\ Displaystyle y (t) = k \, x (t) + k_ {0}}$${\ Displaystyle y (t) = \ sin {[x (t)]}}$${\ Displaystyle y (t) = \ cos {[x (t)]}}$${\ Displaystyle y (t) = x ^ {2} (t)}$${\ Displaystyle y (t) = {\ sqrt {x (t)}}}$${\ Displaystyle y (t) = | x (t) |}$

No es necesario que el gráfico de entrada y salida de un sistema lineal sea una línea recta que pase por el origen. Por ejemplo, considere un sistema descrito por (como un capacitor de capacitancia constante o un inductor de inductancia constante ). Es lineal porque satisface el principio de superposición. Sin embargo, cuando la entrada es una sinusoide, la salida también es una sinusoide, por lo que su gráfico de salida-entrada es una elipse centrada en el origen en lugar de una línea recta que pasa por el origen. ${\ Displaystyle y (t) = k \, {\ frac {\ mathrm {d} x (t)} {\ mathrm {d} t}}}$

Además, la salida de un sistema lineal puede contener armónicos (y tener una frecuencia fundamental menor que la entrada) incluso cuando la entrada es una sinusoide. Por ejemplo, considere un sistema descrito por . Es lineal porque satisface el principio de superposición. Sin embargo, cuando la entrada es una sinusoide de la forma , utilizando identidades trigonométricas de producto a suma, se puede mostrar fácilmente que la salida es , es decir, la salida no consta solo de sinusoides de la misma frecuencia que la entrada ( 3 rad / s ), pero en lugar también de sinusoides de frecuencias 2 rad / s y 4 rad / s ; además, tomando el mínimo común múltiplo del período fundamental de las sinusoides de la salida, se puede mostrar que la frecuencia angular fundamental de la salida es 1 rad / s , que es diferente a la de la entrada. ${\ Displaystyle y (t) = (1.5+ \ cos {(t)}) \, x (t)}$${\ Displaystyle x (t) = \ cos {(3t)}}$${\ Displaystyle y (t) = 1,5 \ cos {(3t)} + 0,5 \ cos {(2t)} + 0,5 \ cos {(4t)}}$

Respuesta al impulso variable en el tiempo

La respuesta al impulso variable en el tiempo h ( t ₂ , t ₁ ) de un sistema lineal se define como la respuesta del sistema en el tiempo t = t ₂ a un solo impulso aplicado en el tiempo t = t ₁ . En otras palabras, si la entrada x ( t ) a un sistema lineal es

${\ Displaystyle x (t) = \ delta (t-t_ {1})}$

donde δ ( t ) representa la función delta de Dirac , y la respuesta correspondiente y ( t ) del sistema es

${\ Displaystyle y (t) | _ {t = t_ {2}} = h (t_ {2}, t_ {1})}$

entonces la función h ( t ₂ , t ₁ ) es la respuesta al impulso variable en el tiempo del sistema. Dado que el sistema no puede responder antes de que se aplique la entrada, se debe cumplir la siguiente condición de causalidad :

${\ Displaystyle h (t_ {2}, t_ {1}) = 0, t_ {2} <t_ {1}}$

La integral de convolución

La salida de cualquier sistema lineal general de tiempo continuo está relacionada con la entrada mediante una integral que puede escribirse en un rango doblemente infinito debido a la condición de causalidad:

${\ Displaystyle y (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {t} h (t, t ') x (t') dt '= \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h ( t, t ') x (t') dt '}$

Si las propiedades del sistema no dependen del tiempo en el que se opera, entonces se dice que es invariante en el tiempo y h es una función solo de la diferencia de tiempo τ = t - t ' que es cero para τ <0 ( es decir, t < t ' ). Mediante la redefinición de h , entonces es posible escribir la relación entrada-salida de manera equivalente en cualquiera de las formas,

${\ Displaystyle y (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {t} h (t-t ') x (t') dt '= \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h ( t-t ') x (t') dt '= \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (\ tau) x (t- \ tau) d \ tau = \ int _ {0} ^ { \ infty} h (\ tau) x (t- \ tau) d \ tau}$

Los sistemas lineales invariantes en el tiempo se caracterizan más comúnmente por la transformada de Laplace de la función de respuesta al impulso llamada función de transferencia, que es:

${\ Displaystyle H (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} h (t) e ^ {- st} \, dt.}$

En aplicaciones, esta suele ser una función algebraica racional de s . Debido a que h ( t ) es cero para t negativo , la integral puede escribirse igualmente sobre el rango doblemente infinito y poner s = iω sigue la fórmula para la función de respuesta de frecuencia :

${\ Displaystyle H (i \ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (t) e ^ {- i \ omega t} dt}$

Sistemas de tiempo discreto

La salida de cualquier sistema lineal de tiempo discreto está relacionada con la entrada por la suma de convolución variable en el tiempo:

${\ Displaystyle y [n] = \ sum _ {m = - \ infty} ^ {n} {h [n, m] x [m]} = \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} {h [n, m] x [m]}}$

o equivalentemente para un sistema invariante en el tiempo al redefinir h (),

${\ Displaystyle y [n] = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {h [k] x [nk]} = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {h [ k] x [nk]}}$

dónde

${\ Displaystyle k = nm \,}$

representa el tiempo de retraso entre el estímulo en el momento my la respuesta en el momento n .

Ver también

• Sistema lineal de divisores en geometría algebraica.
• Cambio de sistema invariante
• Sistema lineal invariante en el tiempo
• Sistema no lineal
• Análisis del sistema
• Sistema de ecuaciones lineales

Referencias