Forma de Legendre - Legendre form

En matemáticas , las formas de Legendre de integrales elípticas son un conjunto canónico de tres integrales elípticas a las que todas las demás pueden reducirse. Legendre eligió el nombre de integrales elípticas porque el segundo tipo da la longitud de arco de una elipse de unidad semi-eje mayor y excentricidad (la elipse se define paramétricamente por , ). ${\ Displaystyle \ scriptstyle {k}}$${\ Displaystyle \ scriptstyle {x = {\ sqrt {1-k ^ {2}}} \ cos (t)}}$${\ Displaystyle \ scriptstyle {y = \ sin (t)}}$

En los tiempos modernos, las formas de Legendre han sido reemplazadas en gran medida por un conjunto canónico alternativo, las formas simétricas de Carlson . En el artículo principal sobre integrales elípticas se ofrece un tratamiento más detallado de las formas de Legendre .

Definición

La integral elíptica incompleta del primer tipo se define como,

${\ Displaystyle F (\ phi, k) = \ int _ {0} ^ {\ phi} {\ frac {1} {\ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2} (t)}} } dt,}$

el segundo tipo como

${\ Displaystyle E (\ phi, k) = \ int _ {0} ^ {\ phi} {\ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2} (t)}} \, dt,}$

y el tercer tipo como

${\ Displaystyle \ Pi (\ phi, n, k) = \ int _ {0} ^ {\ phi} {\ frac {1} {(1-n \ sin ^ {2} (t)) {\ sqrt { 1-k ^ {2} \ sin ^ {2} (t)}}}} \, dt.}$

El argumento n del tercer tipo de integral se conoce como característica , que en diferentes convenciones de notación puede aparecer como el primer, segundo o tercer argumento de Π y, además, a veces se define con el signo opuesto. El orden de los argumentos que se muestra arriba es el de Gradshteyn y Ryzhik , así como el de Recetas numéricas . La elección del signo es la de Abramowitz y Stegun , así como la de Gradshteyn y Ryzhik , pero corresponde a la de Recetas numéricas . ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ Pi (\ phi, -n, k)}}$

Las respectivas integrales elípticas completas se obtienen por ajuste de la amplitud , , el límite superior de las integrales, a . ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ phi}}$${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ pi / 2}}$

La forma de Legendre de una curva elíptica viene dada por

${\ Displaystyle y ^ {2} = x (x-1) (x- \ lambda)}$

Evaluación numérica

El método clásico de evaluación es mediante las transformaciones de Landen . La transformación de Landen descendente disminuye el módulo hacia cero, mientras aumenta la amplitud . Por el contrario, la transformación ascendente aumenta el módulo hacia la unidad, mientras disminuye la amplitud. En cualquier límite de aproximación a cero o uno, la integral se evalúa fácilmente. ${\ Displaystyle \ scriptstyle {k}}$${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ phi}}$${\ Displaystyle \ scriptstyle {k}}$

La mayoría de los autores modernos recomiendan la evaluación en términos de las formas simétricas de Carlson , para las cuales existen algoritmos eficientes, robustos y relativamente simples. Este enfoque ha sido adoptado por Boost C ++ Libraries , GNU Scientific Library y Numerical Recipes .

Referencias

Ver también

• Forma simétrica de Carlson