Teorema de Lüroth - Lüroth's theorem

En matemáticas , el teorema de Lüroth afirma que cada campo que se encuentra entre otros dos campos K y K ( X ) debe ser generado como una extensión de K por un solo elemento de K ( X ). Este resultado lleva el nombre de Jacob Lüroth , quien lo probó en 1876.

Declaración

Sea un campo y sea ​​un campo intermedio entre y , para alguna X indeterminada . Entonces existe una función racional tal que . En otras palabras, cada extensión intermedia entre y es una extensión simple . ${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle K (X)}$ ${\ Displaystyle f (X) \ en K (X)}$${\ Displaystyle M = K (f (X))}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle K (X)}$

Pruebas

La demostración del teorema de Lüroth se puede derivar fácilmente de la teoría de curvas racionales , utilizando el género geométrico . Este método no es elemental, pero se conocen desde hace tiempo varias demostraciones breves que utilizan solo los conceptos básicos de la teoría de campo . Muchas de estas simples demostraciones utilizan el lema de Gauss sobre polinomios primitivos como paso principal.

Referencias