Anillo Krull - Krull ring

En álgebra conmutativa, un anillo de Krull o dominio de Krull es un anillo conmutativo con una teoría de factorización prima bien desarrollada. Fueron introducidos por Wolfgang Krull  ( 1931 ). Son una generalización de dimensiones superiores de los dominios de Dedekind , que son exactamente los dominios de Krull de dimensión como máximo 1.

En este artículo, un anillo es conmutativo y tiene unidad.

Definicion formal

Vamos a ser un dominio de integridad y dejar que el conjunto de todos los ideales primos de de altura de uno, es decir, el conjunto de todos los ideales primos que contienen adecuadamente ningún ideal no nulo primordial. Entonces es un anillo Krull si ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A}$

1. ${\ Displaystyle A _ {\ mathfrak {p}}}$ es un anillo de valoración discreto para todos , ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} \ in P}$
2. ${\ Displaystyle A}$ es la intersección de estos anillos de valoración discretos (considerados como subanillos del campo cociente de ). ${\ Displaystyle A}$
3. Cualquier elemento distinto de cero de está contenido solo en un número finito de ideales primos de altura 1. ${\ Displaystyle A}$

Propiedades

Un dominio de Krull es un dominio de factorización único si y solo si cada ideal primo de altura uno es principal.

Sea A un anillo de Zariski (por ejemplo, un anillo noetheriano local). Si la finalización es un dominio de Krull, entonces A es un dominio de Krull. ${\ displaystyle {\ widehat {A}}}$

Ejemplos de

1. Cada dominio noetheriano integralmente cerrado es un anillo de Krull. En particular, los dominios de Dedekind son anillos de Krull. Por el contrario, los anillos de Krull están integralmente cerrados, por lo que un dominio noetheriano es Krull si y solo si está integralmente cerrado.
2. Si es un anillo de Krull, también lo es el anillo polinomial y el anillo formal de la serie de potencias . ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle A [x]}$ ${\ Displaystyle A [[x]]}$
3. El anillo polinomial en infinitas variables sobre un dominio de factorización único es un anillo de Krull que no es noetheriano. En general, cualquier dominio de factorización único es un anillo de Krull. ${\ Displaystyle R [x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, \ ldots]}$ ${\ Displaystyle R}$
4. Sea un dominio noetheriano con campo cociente y sea ​​una extensión algebraica finita de . Entonces, el cierre integral de in es un anillo de Krull ( teorema de Mori-Nagata ). ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle L}$

El grupo de clase divisor de un anillo Krull

Un divisor (de Weil) de un anillo de Krull A es una combinación lineal integral formal de los ideales primos de altura 1, y estos forman un grupo D ( A ). Un divisor de la forma de una x distinta de cero en K , el campo fraccionario de , se llama divisor principal, y los divisores principales forman un subgrupo del grupo de divisores. El cociente del grupo de divisores por el subgrupo de divisores principales se llama el grupo de la clase divisor de A . ${\ Displaystyle div (x) = \ sum _ {p \ in P} v_ {p} (x) \ cdot p}$${\ Displaystyle A}$

Un divisor Cartier de un anillo Krull es un divisor local principal (Weil). Los divisores de Cartier forman un subgrupo del grupo de divisores que contiene los divisores principales. El cociente de los divisores de Cartier por los divisores principales es un subgrupo del grupo de clases de divisores, isomorfo al grupo Picard de poleas invertibles en Spec ( A ).

Ejemplo: en el anillo k [ x , y , z ] / ( xy - z ² ) el grupo de la clase del divisor tiene el orden 2, generado por el divisor y = z , pero el subgrupo Picard es el grupo trivial.

Referencias

• N. Bourbaki. Álgebra conmutativa .
• "Krull ring" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Krull, Wolfgang (1931), "Allgemeine Bewertungstheorie" , J. Reine Angew. Matemáticas. , 167 : 160–196
• Hideyuki Matsumura, álgebra conmutativa . Segunda edicion. Serie de notas de conferencias de matemáticas, 56. Benjamin / Cummings Publishing Co., Inc., Reading, Mass., 1980. xv + 313 págs. ISBN   0-8053-7026-9
• Hideyuki Matsumura, teoría del anillo conmutativo . Traducido del japonés por M. Reid. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8. Cambridge University Press, Cambridge, 1986. xiv + 320 págs. ISBN   0-521-25916-9
• Samuel, Pierre (1964), Murthy, M. Pavman (ed.), Conferencias sobre dominios de factorización únicos , Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics, 30 , Bombay: Tata Institute of Fundamental Research, MR   0214579