Homología de Khovanov - Khovanov homology

En matemáticas , la homología de Khovanov es un invariante de enlace orientado que surge como la homología de un complejo de cadena . Puede considerarse como una categorización del polinomio de Jones .

Fue desarrollado a finales de la década de 1990 por Mikhail Khovanov , entonces en la Universidad de California, Davis , ahora en la Universidad de Columbia .

Descripción general

A cualquier diagrama de vínculos D que represente un vínculo L , asignamos el corchete de Khovanov [ D ] , un complejo de cadenas de espacios vectoriales graduados . Este es el análogo del corchete de Kauffman en la construcción del polinomio de Jones . A continuación, normalizamos [ D ] mediante una serie de cambios de grado (en los espacios vectoriales graduados ) y cambios de altura (en el complejo de cadena ) para obtener un nuevo complejo de cadena C ( D ). La homología de esta cadena vueltas complejas ser una invariante de L , y su graduada característica de Euler es el polinomio Jones de L .

Definición

Esta definición sigue el formalismo dado en el artículo de 2002 de Dror Bar-Natan .

Sea { l } la operación de cambio de grado en espacios vectoriales graduados, es decir, el componente homogéneo en la dimensión m se desplaza hasta la dimensión  m  +  l .

De manera similar, denotemos [ s ] la operación de desplazamiento de altura en complejos de cadenas, es decir, el r- ésimo espacio vectorial o módulo en el complejo se desplaza a lo largo del ( r  +  s ) -ésimo lugar, con todos los mapas diferenciales desplazados en consecuencia.

Sea V un espacio vectorial graduado con un generador q de grado 1 y un generador q ⁻¹ de grado −1.

Ahora tome un diagrama arbitrario D representa un enlace L . Los axiomas para el corchete de Khovanov son los siguientes:

1. [ ø ] = 0 → Z → 0, donde ø denota el enlace vacío.
2. [ O D ] = V ⊗ [ D ] , donde O denota un componente trivial no vinculado.
3. [ D ] = F (0 → [ D ₀ ] → [ D ₁ ] {1} → 0)

En el tercero de estos, F denota la operación de "aplanamiento", donde un solo complejo se forma a partir de un complejo doble tomando sumas directas a lo largo de las diagonales. Además, D ₀ denota el "suavizado 0" de un cruce elegido en D , y D ₁ denota el "suavizado 1", de forma análoga a la relación de madeja para el corchete de Kauffman.

A continuación, construimos el complejo "normalizado" C ( D ) = [ D ] [- n _- ] { n ₊  - 2 n _- }, donde n _- denota el número de cruces a la izquierda en el diagrama elegido para D , y n ₊ el número de cruces a la derecha.

La homología de Khovanov de L se define entonces como la homología H ( L ) de este complejo C ( D ). Resulta que la homología de Khovanov es de hecho una invariante de L y no depende de la elección del diagrama. La característica de Euler graduada de H ( L ) resulta ser el polinomio Jones de L . Sin embargo, se ha demostrado que H ( L ) contiene más información sobre L que el polinomio de Jones , pero los detalles exactos aún no se comprenden completamente.

En 2006, Dror Bar-Natan desarrolló un programa informático para calcular la homología (o categoría) de Khovanov para cualquier nudo.

Teorías relacionadas

Uno de los aspectos más interesantes de la homología de Khovanov es que sus secuencias exactas son formalmente similares a las que surgen en la homología de Floer de 3 variedades . Además, se ha utilizado para producir otra prueba de un resultado demostrado por primera vez utilizando la teoría de gauge y sus primas: la nueva prueba de Jacob Rasmussen de un teorema de Peter Kronheimer y Tomasz Mrowka , anteriormente conocida como la conjetura de Milnor (ver más abajo). Existe una secuencia espectral que relaciona la homología de Khovanov con la homología del nudo Floer de Peter Ozsváth y Zoltán Szabó (Dowlin 2018). Esta secuencia espectral estableció una conjetura anterior sobre la relación entre las dos teorías (Dunfield et al. 2005). Otra secuencia espectral (Ozsváth-Szabó 2005) relaciona una variante de la homología de Khovanov con la homología de Heegaard Floer de la doble cubierta ramificada a lo largo de un nudo. Un tercero (Bloom 2009) converge a una variante de la homología de Floer monopolo de la doble cubierta ramificada. En 2010, Kronheimer y Mrowka exhibieron una secuencia espectral contigua a su grupo de homología Floer de nudos instantáneos y usaron esto para mostrar que la Homología de Khovanov (como la homología Floer de nudos instantáneos) detecta el nudo instantáneo.

La homología de Khovanov está relacionada con la teoría de la representación del álgebra de Lie sl ₂ . Mikhail Khovanov y Lev Rozansky han definido desde entonces teorías de cohomología asociadas a sl _n para todo n . En 2003, Catharina Stroppel extendió la homología de Khovanov a un invariante de ovillos (una versión categorizada de los invariantes de Reshetikhin-Turaev) que también se generaliza a sl _n para todos los n . Paul Seidel e Ivan Smith han construido una teoría de homología de nudos de grado único utilizando la homología de Floer de intersección lagrangiana , que conjeturan que es isomórfica a una versión de grado único de la homología de Khovanov. Desde entonces, Ciprian Manolescu ha simplificado su construcción y ha mostrado cómo recuperar el polinomio de Jones del complejo de cadenas subyacente a su versión del invariante de Seidel-Smith .

La relación con polinomios de enlace (nudo)

En el Congreso Internacional de Matemáticos de 2006, Mikhail Khovanov proporcionó la siguiente explicación de la relación con los polinomios de nudos desde el punto de vista de la homología de Khovanov. La relación de madeja para tres enlaces y se describe como ${\ Displaystyle L_ {1}, L_ {2}}$${\ Displaystyle L_ {3}}$

${\ Displaystyle \ lambda P (L_ {1}) - \ lambda ^ {- 1} P (L_ {2}) = (qq ^ {- 1}) P (L_ {3}).}$

La sustitución conduce a un invariante polinomial de enlace , normalizado de modo que ${\ Displaystyle \ lambda = q ^ {n}, n \ leq 0}$${\ Displaystyle P_ {n} (L) \ in \ mathbb {Z} [q, q ^ {- 1}]}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} P_ {n} (deshacer el nudo) & = q ^ {n-1} + q ^ {n-3} + \ cdots + q ^ {1-n} && n> 0 \\ P_ {0} (desanudar) & = 1 \ end {alineado}}}$

Pues el polinomio se puede interpretar mediante la teoría de la representación del grupo cuántico y mediante la del superalgebra de Lie cuántica . ${\ Displaystyle n> 0}$${\ Displaystyle P_ {n} (L)}$ ${\ Displaystyle sl (n)}$${\ Displaystyle P_ {0} (L)}$ ${\ Displaystyle U_ {q} (gl (1 | 1))}$

• El polinomio de Alexander es la característica de Euler de una teoría de homología de nudos muy extendida. ${\ Displaystyle P_ {0} (L)}$
• ${\ Displaystyle P_ {1} (L) = 1}$ es trivial.
• El polinomio de Jones es la característica de Euler de una teoría de homología de enlaces muy extendida. ${\ Displaystyle P_ {2} (L)}$
• Todo el polinomio de HOMFLY-PT es la característica de Euler de una teoría de homología de enlace triplemente graduada.

Aplicaciones

La primera aplicación de la homología de Khovanov fue proporcionada por Jacob Rasmussen, quien definió el invariante s utilizando la homología de Khovanov. Este invariante de valor entero de un nudo da un límite en el género de rebanada , y es suficiente para probar la conjetura de Milnor .

En 2010, Kronheimer y Mrowka demostraron que la homología de Khovanov detecta el nudo . La teoría categorizada tiene más información que la teoría no categorizada. Aunque la homología de Khovanov detecta el nudo, aún no se sabe si lo hace el polinomio de Jones .

Notas

Referencias

• Bar-Natan, Dror (2002), "Sobre la categorización de Khovanov del polinomio de Jones", Topología algebraica y geométrica , 2 : 337–370, arXiv : math.QA/0201043 , Bibcode : 2002math ...... 1043B , doi : 10.2140 / agt.2002.2.337 , MR   1917056 , S2CID   11754112 .
• Bloom, Jonathan M. (2011), "Una secuencia espectral de cirugía de enlace en homología de Floer monopolar", Advances in Mathematics , 226 (4): 3216–3281, arXiv : 0909.0816 , doi : 10.1016 / j.aim.2010.10.014 , Señor   2764887 , S2CID   11791207 .
• Dunfield, Nathan M .; Gukov, Sergei ; Rasmussen, Jacob (2006), "El superpolinomio para homologías de nudos" , Experimental Mathematics , 15 (2): 129-159, arXiv : math.GT/0505662 , doi : 10.1080 / 10586458.2006.10128956 , MR   2253002 , S2CID   3060662 .
• Khovanov, Mikhail (2000), "Una categorización del polinomio de Jones", Duke Mathematical Journal , 101 (3): 359–426, arXiv : math.QA/9908171 , doi : 10.1215 / S0012-7094-00-10131-7 , MR   1740682 , S2CID   119585149 .
• Khovanov, Mikhail (2006), "Link homology and categorification", Congreso Internacional de Matemáticos. Vol. II , Zúrich: European Mathematical Society, págs. 989–999, arXiv : math.GT/0605339 , MR   2275632 .
• Ozsváth, Peter ; Szabó, Zoltán (2005), "Sobre la homología de Heegaard Floer de cubiertas dobles ramificadas", Advances in Mathematics , 194 (1): 1-33, arXiv : math.GT/0309170 , doi : 10.1016 / j.aim.2004.05 0.008 , MR   2.141.852 , S2CID   17245314 .
• Stroppel, Catharina (2005), "Categorificación de la categoría Temperley-Lieb, enredos y cobordismos a través de functores proyectivos", Duke Mathematical Journal , 126 (3): 547–596, CiteSeerX   10.1.1.586.3553 , doi : 10.1215 / S0012 -7094-04-12634-X , MR   2120117 .

enlaces externos

• La homología de Khovanov es un detector de nudos de Kronheimer y Mrowka
• Diapositivas escritas a mano de la charla de M. Khovanov
• " Homología de Khovanov ", The Knot Atlas .