Principio de Hume - Hume's principle

El principio de Hume o HP dice que el número de F s es igual al número de G s si y solo si hay una correspondencia uno a uno (una biyección) entre F s y G s. HP puede expresarse formalmente en sistemas de lógica de segundo orden . El principio de Hume lleva el nombre del filósofo escocés David Hume y fue acuñado por George Boolos .

HP juega un papel central en la filosofía de las matemáticas de Gottlob Frege . Frege muestra que HP y las definiciones adecuadas de nociones aritméticas implican todos los axiomas de lo que ahora llamamos aritmética de segundo orden . Este resultado se conoce como el teorema de Frege , que es la base de una filosofía de las matemáticas conocida como neo-logicismo .

Orígenes

Principio de Hume aparece en de Frege fundamentos de la aritmética (§73), que las cotizaciones de la Parte III del Libro I de David Hume 's Tratado de la naturaleza humana (1740). Hume establece siete relaciones fundamentales entre ideas. Con respecto a uno de ellos, la proporción en cantidad o en número , Hume sostiene que nuestro razonamiento sobre la proporción en cantidad, representado por la geometría , nunca puede lograr "precisión y exactitud perfectas", ya que sus principios se derivan de la apariencia sensorial. Contrasta esto con el razonamiento sobre números o aritmética , en los que se puede lograr tal precisión :

El álgebra y la aritmética [son] las únicas ciencias en las que podemos llevar a cabo una cadena de razonamiento con algún grado de complejidad y, sin embargo, conservar una perfecta exactitud y certeza. Poseemos un estándar preciso, por el cual podemos juzgar la igualdad y proporción de números; y según correspondan o no a ese estándar, determinamos sus relaciones, sin posibilidad de error. Cuando dos números están tan combinados, de modo que uno tiene siempre una unidad que responde a cada unidad del otro, los pronunciamos iguales ; y es a falta de tal estándar de igualdad en la extensión [espacial], que la geometría difícilmente puede estimarse como una ciencia perfecta e infalible. (I. III. I.)

Nótese el uso de Hume de la palabra número en el sentido antiguo, para referirse a un conjunto o colección de cosas en lugar de la noción moderna común de "entero positivo". La noción griega antigua de número ( arithmos ) es de una pluralidad finita compuesta de unidades. Véase Aristóteles , Metafísica , 1020a14 y Euclides , Elementos , Libro VII, Definición 1 y 2. El contraste entre la concepción antigua y moderna de número se analiza en detalle en Mayberry (2000).

Influencia en la teoría de conjuntos

El principio de que el número cardinal debía caracterizarse en términos de correspondencia uno a uno había sido utilizado anteriormente con gran éxito por Georg Cantor , cuyos escritos conocía Frege . Por lo tanto, se ha sugerido que el principio de Hume debería llamarse mejor "Principio de Cantor" o "Principio de Hume-Cantor". Pero Frege criticó a Cantor sobre la base de que Cantor define los números cardinales en términos de números ordinales , mientras que Frege quería dar una caracterización de los cardinales que fuera independiente de los ordinales. El punto de vista de Cantor, sin embargo, es el que está incrustado en las teorías contemporáneas de los números transfinitos , tal como se desarrolla en la teoría de conjuntos axiomáticos .

Referencias

  • Anderson, D. y Edward Zalta (2004) "Frege, Boolos y objetos lógicos", Journal of Philosophical Logic 33 : 1–26.
  • George Boolos , "El estándar de igualdad de números" en George Boolos (ed.), Significado y método: Ensayos en honor a Hilary Putnam (Cambridge Eng .: Cambridge University Press, 1990), págs. 261-277.
  • George Boolos, 1998. Lógica, lógica y lógica . Universidad de Harvard. Presionar. Especialmente la sección II, "Estudios Frege".
  • Burgess, John, 2005. Fixing Frege . Universidad de Princeton Presionar.
  • Gottlob Frege , Los fundamentos de la aritmética .
  • David Hume . Tratado de la naturaleza humana .
  • Mayberry, John P., 2000. Los fundamentos de las matemáticas en la teoría de conjuntos . Cambridge.

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