Serie Hilbert – Poincaré - Hilbert–Poincaré series

En matemáticas , y en particular en el campo del álgebra , una serie de Hilbert-Poincaré (también conocida con el nombre de serie Hilbert ), que lleva el nombre de David Hilbert y Henri Poincaré , es una adaptación de la noción de dimensión al contexto de estructuras algebraicas graduadas. (donde la dimensión de toda la estructura es a menudo infinita). Es una serie de poder formal en una indeterminada, digamos , donde el coeficiente de da la dimensión (o rango) de la subestructura de elementos homogéneos de grado . Está estrechamente relacionado con el polinomio de Hilbert en los casos en que este último existe; sin embargo, la serie de Hilbert-Poincaré describe el rango en todos los grados, mientras que el polinomio de Hilbert lo describe solo en todos, pero en un número finito de grados, y por lo tanto proporciona menos información. En particular, la serie de Hilbert-Poincaré no se puede deducir del polinomio de Hilbert incluso si este último existe. En buenos casos, la serie de Hilbert-Poincaré se puede expresar como una función racional de su argumento . ${\ Displaystyle t}$${\ Displaystyle t ^ {n}}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle t}$

Definición

Deje que K sea un campo, y dejar que sea un - graduada espacio vectorial sobre K , donde cada subespacio de los vectores de grado i es de dimensión finita. Entonces la serie de Hilbert-Poincaré de V es la serie de potencias formales${\ Displaystyle V = \ textstyle \ bigoplus _ {i \ in \ mathbb {N}} V_ {i}}$${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle V_ {i}}$

${\ Displaystyle \ sum _ {i \ in \ mathbb {N}} \ dim _ {K} (V_ {i}) t ^ {i}.}$

Una definición similar se puede dar para un -graded R -módulo sobre cualquier anillo conmutativo R en el que cada submódulo de elementos homogéneos de un grado fijo n es libre de rango finito; basta con sustituir la dimensión por el rango. A menudo, el módulo o espacio vectorial graduado del que se considera la serie de Hilbert-Poincaré tiene una estructura adicional, por ejemplo, la de un anillo, pero la serie de Hilbert-Poincaré es independiente de la estructura multiplicativa o de otro tipo. ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$

Ejemplo: Dado que hay monomios de grado k en variables (por inducción, digamos), se puede deducir que la suma de la serie de Hilbert-Poincaré de es la función racional . ${\ Displaystyle {\ binom {n + k} {n}}}$${\ Displaystyle X_ {0}, \ dots, X_ {n}}$${\ Displaystyle K [X_ {0}, \ dots, X_ {n}]}$ ${\ Displaystyle 1 / (1-t) ^ {n + 1}}$

Teorema de Hilbert-Serre

Supongamos que M es un módulo graduada finitamente generado sobre con un anillo de Artinian (por ejemplo, un campo) A . Entonces la serie de Poincaré de M es un polinomio con coeficientes integrales divididos por . La prueba estándar de hoy es una inducción en n . La demostración original de Hilbert hizo uso del teorema de la sicigia de Hilbert (una resolución proyectiva de M ), que da más información homológica. ${\ Displaystyle A [x_ {1}, \ dots, x_ {n}], \ deg x_ {i} = d_ {i}}$${\ Displaystyle \ prod (1-t ^ {d_ {i}})}$

Aquí hay una prueba por inducción sobre el número n de indeterminados. Si , entonces, dado que M tiene una longitud finita, si k es lo suficientemente grande. A continuación, suponga que el teorema es verdadero y considere la secuencia exacta de módulos graduados (grados exactos), con la notación , ${\ Displaystyle n = 0}$${\ Displaystyle M_ {k} = 0}$${\ Displaystyle n-1}$${\ Displaystyle N (l) _ {k} = N_ {k + l}}$

${\ Displaystyle 0 \ to K (-d_ {n}) \ to M (-d_ {n}) {\ overset {x_ {n}} {\ to}} M \ to C \ to 0}$.

Dado que la longitud es aditiva, las series Poincaré también son aditivas. Por tanto, tenemos:

${\ Displaystyle P (M, t) = - P (K (-d_ {n}), t) + P (M (-d_ {n}), t) -P (C, t)}$.

Podemos escribir . Dado que K es asesinado por , podemos considerarlo como un módulo graduado ; lo mismo es cierto para C . Por tanto, el teorema se sigue ahora de la hipótesis inductiva. ${\ Displaystyle P (M (-d_ {n}), t) = t ^ {d_ {n}} P (M, t)}$${\ Displaystyle x_ {n}}$${\ Displaystyle A [x_ {0}, \ dots, x_ {n-1}]}$

Complejo de cadena

Un ejemplo de espacio vectorial graduado está asociado a un complejo de cadena , o complejo de cocadena C de espacios vectoriales; este último toma la forma

${\ displaystyle 0 \ to C ^ {0} {\ stackrel {d_ {0}} {\ longrightarrow}} C ^ {1} {\ stackrel {d_ {1}} {\ longrightarrow}} C ^ {2} { \ stackrel {d_ {2}} {\ longrightarrow}} \ cdots {\ stackrel {d_ {n-1}} {\ longrightarrow}} C ^ {n} \ longrightarrow 0.}$

La serie de Hilbert-Poincaré (aquí a menudo llamada polinomio de Poincaré) del espacio vectorial graduado para este complejo es ${\ Displaystyle \ bigoplus _ {i} C ^ {i}}$

${\ Displaystyle P_ {C} (t) = \ sum _ {j = 0} ^ {n} \ dim (C ^ {j}) t ^ {j}.}$

El polinomio de Hilbert-Poincaré de la cohomología , con espacios de cohomología H ^j  =  H ^j ( C ), es

${\ Displaystyle P_ {H} (t) = \ sum _ {j = 0} ^ {n} \ dim (H ^ {j}) t ^ {j}.}$

Una famosa relación entre los dos es que existe un polinomio con coeficientes no negativos, de modo que${\ Displaystyle Q (t)}$${\ Displaystyle P_ {C} (t) -P_ {H} (t) = (1 + t) Q (t).}$

Referencias

• Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, IG (1969). Introducción al álgebra conmutativa . Westview Press. ISBN 978-0-201-40751-8.