Griegos (finanzas) - Greeks (finance)

En las finanzas matemáticas , los griegos son las cantidades que representan la sensibilidad del precio de los derivados , como las opciones, a un cambio en los parámetros subyacentes de los que depende el valor de un instrumento o cartera de instrumentos financieros . El nombre se utiliza porque las más comunes de estas sensibilidades se indican con letras griegas (al igual que algunas otras medidas financieras). En conjunto, estos también se han denominado sensibilidades al riesgo , medidas de riesgo o parámetros de cobertura .

Uso de los griegos

Parámetro subyacente Parámetro de opción Precio al contado, S Volatilidad, ${\ Displaystyle \ sigma}$ Paso del tiempo Valor (V)  ${\ Displaystyle \ Delta}$ Delta ${\ Displaystyle {\ mathcal {V}}}$ Vega ${\ Displaystyle \ Theta}$ Theta Delta ( )  ${\ Displaystyle \ Delta}$ ${\ Displaystyle \ Gamma}$ Gama Vanna Encanto Vega ( )  ${\ Displaystyle {\ mathcal {V}}}$ Vanna Vomma Veta Theta ( ) ${\ Displaystyle \ Theta}$ Encanto Veta Gamma ( ) ${\ Displaystyle \ Gamma}$ Velocidad Zomma Color Vomma Última

Definición de griegos como la sensibilidad del precio y el riesgo de una opción (en la primera fila) al parámetro subyacente (en la primera columna). Los griegos de primer orden están en azul, los griegos de segundo orden están en verde y los griegos de tercer orden están en amarillo. Tenga en cuenta que vanna, charm y veta aparecen dos veces, ya que las derivadas cruzadas parciales son iguales según el teorema de Schwarz . Rho, lambda, épsilon y vera se omiten, ya que no son tan importantes como el resto. Tres lugares en la tabla no están ocupados, porque las cantidades respectivas aún no se han definido en la literatura financiera.

Los griegos son herramientas vitales en la gestión de riesgos . Cada griego mide la sensibilidad del valor de una cartera a un pequeño cambio en un parámetro subyacente dado, de modo que los riesgos de los componentes se puedan tratar de forma aislada y la cartera se reequilibre en consecuencia para lograr la exposición deseada; ver, por ejemplo, cobertura delta .

Los griegos en el modelo Black-Scholes son relativamente fáciles de calcular, una propiedad deseable de los modelos financieros , y son muy útiles para los operadores de derivados, especialmente aquellos que buscan proteger sus carteras de cambios adversos en las condiciones del mercado. Por esta razón, los griegos que son particularmente útiles para la cobertura, como delta, theta y vega, están bien definidos para medir cambios en el precio, el tiempo y la volatilidad. Aunque rho es una entrada principal en el modelo Black-Scholes, el impacto general en el valor de una opción correspondiente a cambios en la tasa de interés libre de riesgo es generalmente insignificante y, por lo tanto, los derivados de orden superior que involucran la tasa de interés libre de riesgo no lo son. común.

Los más comunes de los griegos son las derivadas de primer orden: delta , vega , theta y rho , así como gamma , una derivada de segundo orden de la función de valor. Las sensibilidades restantes en esta lista son lo suficientemente comunes como para tener nombres comunes, pero esta lista no es de ninguna manera exhaustiva.

Nombres

El uso de nombres de letras griegas es presumiblemente por extensión de los términos financieros comunes alfa y beta , y el uso de sigma (la desviación estándar de los rendimientos logarítmicos) y tau (tiempo hasta el vencimiento) en el modelo de precios de opciones de Black-Scholes . Se inventan varios nombres como 'vega' y 'zomma', pero suenan similares a las letras griegas. Los nombres "color" y "encanto" se derivan presumiblemente del uso de estos términos para las propiedades exóticas de los quarks en la física de partículas .

Griegos de primer orden

Delta

Delta ,, mide la tasa de variación del valor de la opción teórica con respecto a los cambios en el precio del activo subyacente. Delta es la primera derivada del valorde la opción con respecto al precio del instrumento subyacente. ${\ Displaystyle \ Delta}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle S}$

${\ Displaystyle \ Delta = {\ frac {\ parcial V} {\ parcial S}}}$

Uso práctico

Para una opción básica, delta será un número entre 0.0 y 1.0 para una opción call larga (o una put corta) y 0.0 y -1.0 para una put larga (o una call corta); Dependiendo del precio, una opción de compra se comporta como si uno poseyera 1 acción de las acciones subyacentes (si tiene mucho dinero), o no tiene nada (si está lejos del dinero), o algo intermedio, y viceversa, para una opción de venta. La diferencia entre el delta de una llamada y el delta de un put en el mismo strike es igual a uno. Por paridad put-call , una call larga y una put corta equivale a una F adelante , que es lineal en el punto S, con factor unitario, por lo que la derivada dF / dS es 1. Consulte las fórmulas a continuación.

Estos números se presentan comúnmente como un porcentaje del número total de acciones representadas por los contratos de opción. Esto es conveniente porque la opción se comportará (instantáneamente) como el número de acciones indicado por el delta. Por ejemplo, si una cartera de 100 opciones de compra estadounidenses en XYZ tiene cada una un delta de 0,25 (= 25%), ganará o perderá valor al igual que 2500 acciones de XYZ a medida que cambia el precio por pequeños movimientos de precio (100 contratos de opción cubren 10,000 acciones). El signo y el porcentaje a menudo se eliminan: el signo está implícito en el tipo de opción (negativo para put, positivo para call) y se entiende el porcentaje. Los más comúnmente citados son 25 delta put, 50 delta put / 50 delta call y 25 delta call. 50 Delta put y 50 Delta call no son del todo idénticas, debido a que el spot y el forward difieren por el factor de descuento, pero a menudo se combinan.

Delta siempre es positivo para opciones de compra largas y negativo para opciones de venta largas (a menos que sean cero). El delta total de una cartera compleja de posiciones sobre el mismo activo subyacente se puede calcular simplemente tomando la suma de los deltas para cada posición individual; el delta de una cartera es lineal en los componentes. Dado que el delta del activo subyacente es siempre 1.0, el operador podría delta-cubrir toda su posición en el subyacente comprando o acortando el número de acciones indicado por el delta total. Por ejemplo, si el delta de una cartera de opciones en XYZ (expresado como acciones del subyacente) es +2,75, el operador podrá realizar una cobertura delta de la cartera vendiendo en corto 2,75 acciones del subyacente. Esta cartera conservará su valor total independientemente de la dirección en la que se mueva el precio de XYZ. (Aunque solo para pequeños movimientos del subyacente, un período corto de tiempo y sin importar los cambios en otras condiciones del mercado, como la volatilidad y la tasa de rendimiento para una inversión libre de riesgo).

Como proxy de probabilidad

El (valor absoluto de) Delta está cerca, pero no es idéntico, al porcentaje de dinero de una opción, es decir, la probabilidad implícita de que la opción caduque en el dinero (si el mercado se mueve bajo el movimiento browniano en el riesgo- medida neutra ). Por esta razón, algunos operadores de opciones utilizan el valor absoluto de delta como una aproximación del porcentaje de dinero. Por ejemplo, si una opción call out-of-the-money tiene un delta de 0,15, el operador puede estimar que la opción tiene aproximadamente un 15% de posibilidades de expirar in-the-money. De manera similar, si un contrato de venta tiene un delta de −0,25, el comerciante podría esperar que la opción tenga una probabilidad del 25% de expirar in-the-money. Las opciones de compra y venta en el dinero tienen un delta de aproximadamente 0,5 y -0,5, respectivamente, con un ligero sesgo hacia deltas más altos para las llamadas de cajeros automáticos. La probabilidad real de que una opción termine en dinero es su delta dual , que es la primera derivada del precio de la opción con respecto al ejercicio.

Relación entre call y put delta

Dada una opción call y put europea para el mismo subyacente, precio de ejercicio y tiempo hasta el vencimiento, y sin rendimiento por dividendo, la suma de los valores absolutos del delta de cada opción será 1 - más precisamente, el delta del call ( positivo) menos el delta del put (negativo) es igual a 1. Esto se debe a la paridad put-call : un call largo más un put corto (un call menos un put) replica un forward, que tiene un delta igual a 1.

Si se conoce el valor de delta para una opción, se puede calcular el valor del delta de la opción con el mismo precio de ejercicio, subyacente y vencimiento, pero en sentido opuesto, restando 1 de un delta de llamada conocido o sumando 1 a un delta de venta conocido. .

${\ Displaystyle \ Delta (llamar) - \ Delta (poner) = 1}$, por lo tanto: y . ${\ Displaystyle \ Delta (llamar) = \ Delta (poner) +1}$${\ Displaystyle \ Delta (poner) = \ Delta (llamar) -1}$

Por ejemplo, si el delta de una opción call es 0,42, entonces se puede calcular el delta de la opción put correspondiente al mismo precio de ejercicio por 0,42 - 1 = −0,58. Para derivar el delta de una llamada a partir de una opción put, de manera similar se puede tomar −0.58 y agregar 1 para obtener 0.42.

Vega

Vega mide la sensibilidad a la volatilidad . Vega es el derivado del valor de la opción con respecto a la volatilidad del activo subyacente.

${\ Displaystyle {\ mathcal {V}} = {\ frac {\ parcial V} {\ parcial \ sigma}}}$

Vega no es el nombre de ninguna letra griega. El glifo utilizado es una versión mayúscula no estándar de la letra griega nu , , escrito como . Presumiblemente, se adoptó el nombre vega porque la letra griega nu parecía una vee latina , y vega se derivó de vee por analogía con la forma en que beta , eta y theta se pronuncian en inglés americano. ${\ Displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle {\ mathcal {V}}}$

El símbolo kappa , , se utiliza a veces (por académicos) en lugar de Vega (como es tau ( ) o el capital lambda ( ), aunque éstas son raras). ${\ Displaystyle \ kappa}$${\ Displaystyle \ tau}$${\ Displaystyle \ Lambda}$

Vega generalmente se expresa como la cantidad de dinero por acción subyacente que el valor de la opción ganará o perderá a medida que la volatilidad aumente o disminuya en 1 punto porcentual . Todas las opciones (tanto call como put) ganarán valor con el aumento de la volatilidad.

Vega puede ser un griego importante para monitorear para un operador de opciones, especialmente en mercados volátiles, ya que el valor de algunas estrategias de opciones puede ser particularmente sensible a cambios en la volatilidad. El valor de una combinación de opciones en el dinero , por ejemplo, depende en gran medida de los cambios en la volatilidad.

Theta

Theta ,mide la sensibilidad del valor de la derivada al paso del tiempo (ver Opción valor de tiempo ): la "caída del tiempo". ${\ Displaystyle \ Theta}$

${\ Displaystyle \ Theta = - {\ frac {\ parcial V} {\ parcial \ tau}}}$

El resultado matemático de la fórmula para theta (ver más abajo) se expresa en valor por año. Por convención, es habitual dividir el resultado por el número de días en un año, para llegar a la cantidad que bajará el precio de una opción, en relación con el precio de la acción subyacente. Theta es casi siempre negativo para llamadas y put largas, y positivo para llamadas y put cortas (o escritas). Una excepción es una opción de venta europea muy rentable. El theta total para una cartera de opciones se puede determinar sumando los thetas para cada posición individual.

El valor de una opción se puede analizar en dos partes: el valor intrínseco y el valor de tiempo. El valor intrínseco es la cantidad de dinero que ganaría si ejerciera la opción inmediatamente, por lo que una opción call con strike $ 50 sobre una acción con precio $ 60 tendría un valor intrínseco de $ 10, mientras que la put correspondiente tendría un valor intrínseco cero. El valor del tiempo es el valor de tener la opción de esperar más antes de decidir hacer ejercicio. Incluso una apuesta muy fuera del dinero valdrá algo, ya que existe la posibilidad de que el precio de las acciones caiga por debajo del strike antes de la fecha de vencimiento. Sin embargo, a medida que el tiempo se acerca a la madurez, hay menos posibilidades de que esto suceda, por lo que el valor temporal de una opción disminuye con el tiempo. Por lo tanto, si tiene una opción larga, es theta corta: su cartera perderá valor con el paso del tiempo (todos los demás factores se mantienen constantes).

Rho

Rho ,, mide la sensibilidad a la tasa de interés: es el derivado del valor de la opción con respecto a la tasa de interés libre de riesgo (por el tiempo restante correspondiente). ${\ Displaystyle \ rho}$

${\ Displaystyle \ rho = {\ frac {\ parcial V} {\ parcial r}}}$

Salvo en circunstancias extremas, el valor de una opción es menos sensible a cambios en la tasa de interés libre de riesgo que a cambios en otros parámetros. Por esta razón, rho es el menos utilizado de los griegos de primer orden.

Rho se expresa típicamente como la cantidad de dinero, por acción del subyacente, que el valor de la opción ganará o perderá a medida que la tasa de interés libre de riesgo suba o baje un 1,0% anual (100 puntos básicos).

Lambda

Lambda ,, omega ,o elasticidad es el porcentaje de cambio en valor de la opción por porcentaje de cambio en el precio subyacente, una medida de apalancamiento , a veces llamado engranaje. ${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle \ Omega}$

${\ Displaystyle \ lambda = \ Omega = {\ frac {\ parcial V} {\ parcial S}} \ veces {\ frac {S} {V}}}$

Sostiene eso . ${\ Displaystyle \ lambda = \ Omega = \ Delta \ times {\ frac {S} {V}}}$

Épsilon

Epsilon ,(también conocido como psi), es el cambio porcentual en el valor de la opción porcambio porcentual en elrendimiento del dividendo subyacente, una medida del riesgo de dividendo. En la práctica, el impacto de la rentabilidad por dividendo se determina mediante un aumento del 10% en dichas rentabilidades. Evidentemente, esta sensibilidad solo puede aplicarse a instrumentos derivados deproductosde renta variable . ${\ Displaystyle \ epsilon}$${\ Displaystyle \ psi}$

${\ Displaystyle \ epsilon = \ psi = {\ frac {\ parcial V} {\ parcial q}}}$

Griegos de segundo orden

Gama

Gamma ,, mide la tasa de cambio en el delta con respecto a los cambios en el precio del subyacente. Gamma es la segunda derivada de la función de valor con respecto al precio subyacente. ${\ Displaystyle \ Gamma}$

${\ Displaystyle \ Gamma = {\ frac {\ parcial \ Delta} {\ parcial S}} = {\ frac {\ parcial ^ {2} V} {\ parcial S ^ {2}}}}$

La mayoría de las opciones largas tienen gamma positivo y la mayoría de las opciones cortas tienen gamma negativo. Las opciones largas tienen una relación positiva con gamma porque a medida que aumenta el precio, Gamma también aumenta, lo que hace que Delta se acerque a 1 desde 0 (opción de compra larga) y 0 desde -1 (opción de venta larga). Lo contrario es cierto para las opciones cortas.

Gamma es mayor aproximadamente en el dinero (ATM) y disminuye cuanto más se aleja, ya sea dentro del dinero (ITM) o fuera del dinero (OTM). Gamma es importante porque corrige la convexidad del valor.

Cuando un comerciante busca establecer una cobertura delta efectiva para una cartera, el comerciante también puede buscar neutralizar la gama de la cartera, ya que esto asegurará que la cobertura sea efectiva en una gama más amplia de movimientos de precios subyacentes.

Vanna

Vanna , también conocida como DvegaDspot y DdeltaDvol , es un derivado de segundo orden del valor de la opción, una vez al precio al contado subyacente y una vez a la volatilidad. Es matemáticamente equivalente a DdeltaDvol , la sensibilidad de la opción delta con respecto al cambio en la volatilidad; o alternativamente, el parcial de vega con respecto al precio del instrumento subyacente. Vanna puede ser una sensibilidad útil para monitorear cuando se mantiene una cartera con cobertura delta o vega, ya que vanna ayudará al operador a anticipar cambios en la efectividad de una cobertura delta a medida que cambia la volatilidad o la efectividad de una cobertura vega contra cambios en el precio al contado subyacente.

Si el valor subyacente tiene segundas derivadas parciales continuas , entonces , ${\ Displaystyle {\ text {Vanna}} = {\ frac {\ parcial \ Delta} {\ parcial \ sigma}} = {\ frac {\ parcial {\ mathcal {V}}} {\ parcial S}} = { \ frac {\ parcial ^ {2} V} {\ parcial S \ parcial \ sigma}}}$

Encanto

La desintegración del encanto o delta mide la tasa instantánea de cambio de delta a lo largo del tiempo.

${\ Displaystyle {\ text {Encanto}} = - {\ frac {\ parcial \ Delta} {\ parcial \ tau}} = {\ frac {\ parcial \ Theta} {\ parcial S}} = - {\ frac { \ parcial ^ {2} V} {\ parcial \ tau \, \ parcial S}}}$

Charm también se ha llamado DdeltaDtime . El encanto puede ser un griego importante para medir / monitorear cuando se realiza una cobertura delta en una posición durante un fin de semana. El encanto es una derivada de segundo orden del valor de la opción, una vez al precio y una vez al paso del tiempo. También es entonces la derivada de theta con respecto al precio del subyacente.

El resultado matemático de la fórmula del encanto (ver más abajo) se expresa en delta / año. A menudo es útil dividir esto por el número de días por año para llegar a la desintegración delta por día. Este uso es bastante preciso cuando el número de días que quedan hasta el vencimiento de la opción es grande. Cuando una opción se acerca a la expiración, el encanto en sí puede cambiar rápidamente, lo que hace que las estimaciones de la desintegración delta durante todo el día sean inexactas.

Vomma

Vomma , volga , vega convexity o DvegaDvol mide la sensibilidad de segundo orden a la volatilidad . Vomma es la segunda derivada del valor de la opción con respecto a la volatilidad o, dicho de otra manera, vomma mide la tasa de cambio a vega a medida que cambia la volatilidad.

${\ Displaystyle {\ text {Vomma}} = {\ frac {\ parcial {\ mathcal {V}}} {\ parcial \ sigma}} = {\ frac {\ parcial ^ {2} V} {\ parcial \ sigma ^ {2}}}}$

Con vómma positivo, una posición se convertirá en vega larga a medida que aumenta la volatilidad implícita y vega corta a medida que disminuye, lo que se puede arrancar de una manera análoga a la gamma larga. Y una posición inicialmente vega-neutral y de vómito largo se puede construir a partir de proporciones de opciones en diferentes strikes. Vomma es positivo para opciones largas lejos del dinero e inicialmente aumenta con la distancia del dinero (pero disminuye a medida que vega cae). (Específicamente, vomma es positivo cuando los términos habituales d1 y d2 tienen el mismo signo, lo cual es cierto cuando d1 <0 o d2> 0).

Veta

Veta o DvegaDtime mide la tasa de cambio en la vega con respecto al paso del tiempo. Veta es la segunda derivada de la función de valor; una vez a la volatilidad y una vez a la vez.

${\ Displaystyle {\ text {Veta}} = {\ frac {\ parcial {\ mathcal {V}}} {\ parcial \ tau}} = {\ frac {\ parcial ^ {2} V} {\ parcial \ sigma \, \ parcial \ tau}}}$

Es una práctica común dividir el resultado matemático de veta por 100 veces el número de días por año para reducir el valor al cambio porcentual de vega por día.

Vera

Vera (a veces rhova ) mide la tasa de cambio de rho con respecto a la volatilidad. Vera es la segunda derivada de la función de valor; una vez a la volatilidad y una vez a la tasa de interés.

${\ Displaystyle {\ text {Vera}} = {\ frac {\ parcial \ rho} {\ parcial \ sigma}} = {\ frac {\ parcial ^ {2} V} {\ parcial \ sigma \, \ parcial r }}}$

La palabra 'Vera' fue acuñada por R. Naryshkin a principios de 2012 cuando esta sensibilidad debía usarse en la práctica para evaluar el impacto de los cambios de volatilidad en la cobertura de rodamientos, pero aún no existía un nombre en la literatura disponible. 'Vera' fue elegido para sonar similar a una combinación de Vega y Rho, sus respectivos griegos de primer orden. Este nombre ahora tiene un uso más amplio, incluido, por ejemplo, el software de álgebra informática Maple (que tiene la función 'BlackScholesVera' en su paquete de finanzas).

Derivada parcial de segundo orden con respecto a ${\ Displaystyle K}$

Este derivado parcial tiene un papel fundamental en la fórmula de Breeden-Litzenberger, que utiliza precios cotizados de opciones de compra para estimar las probabilidades neutrales al riesgo implícitas en dichos precios.

${\ Displaystyle \ varphi = {\ frac {\ parcial ^ {2} V} {\ parcial K ^ {2}}}}$

Para las opciones de compra, se puede aproximar utilizando carteras infinitesimales de estrategias de mariposa .

Griegos de tercer orden

Velocidad

La velocidad mide la tasa de cambio en Gamma con respecto a los cambios en el precio subyacente.

${\ Displaystyle {\ text {Velocidad}} = {\ frac {\ parcial \ Gamma} {\ parcial S}} = {\ frac {\ parcial ^ {3} V} {\ parcial S ^ {3}}}}$

Esto también se conoce a veces como la gamma de la gamma o DgammaDspot . La velocidad es la tercera derivada de la función de valor con respecto al precio al contado subyacente. La velocidad puede ser importante para monitorear cuando se realiza una cobertura delta o una cobertura gamma de una cartera.

Zomma

Zomma mide la tasa de cambio de gamma con respecto a los cambios en la volatilidad.

${\ Displaystyle {\ text {Zomma}} = {\ frac {\ parcial \ Gamma} {\ parcial \ sigma}} = {\ frac {\ parcial {\ text {vanna}}} {\ parcial S}} = { \ frac {\ parcial ^ {3} V} {\ parcial S ^ {2} \, \ parcial \ sigma}}}$

Zomma también se conoce como DgammaDvol . Zomma es la tercera derivada del valor de la opción, dos veces al precio del activo subyacente y una vez a la volatilidad. Zomma puede ser una sensibilidad útil para monitorear cuando se mantiene una cartera con cobertura gamma, ya que zomma ayudará al operador a anticipar cambios en la efectividad de la cobertura a medida que cambia la volatilidad.

Color

Color , decaimiento de gamma o DgammaDtime mide la tasa de cambio de gamma a lo largo del tiempo.

${\ Displaystyle {\ text {Color}} = {\ frac {\ parcial \ Gamma} {\ parcial \ tau}} = {\ frac {\ parcial ^ {3} V} {\ parcial S ^ {2} \, \ parcial \ tau}}}$

El color es un derivado de tercer orden del valor de la opción, dos veces al precio del activo subyacente y una vez al mismo tiempo. El color puede ser una sensibilidad importante para monitorear cuando se mantiene una cartera con cobertura gamma, ya que puede ayudar al operador a anticipar la efectividad de la cobertura a medida que pasa el tiempo.

El resultado matemático de la fórmula del color (ver más abajo) se expresa en gamma por año. A menudo es útil dividir esto por el número de días por año para llegar al cambio de gamma por día. Este uso es bastante preciso cuando el número de días que quedan hasta el vencimiento de la opción es grande. Cuando una opción se acerca a su vencimiento, el color en sí puede cambiar rápidamente, lo que hace que las estimaciones del cambio de gamma durante todo el día sean inexactas.

Última

Ultima mide la sensibilidad de la opción vomma con respecto al cambio en la volatilidad.

${\ Displaystyle {\ text {Ultima}} = {\ frac {\ parcial {\ text {vomma}}} {\ parcial \ sigma}} = {\ frac {\ parcial ^ {3} V} {\ parcial \ sigma ^ {3}}}}$

Ultima también se conoce como DvommaDvol . Ultima es una derivada de tercer orden del valor de la opción a la volatilidad.

Griegos para opciones de activos múltiples

Si el valor de una derivada depende de dos o más subyacentes , sus griegos se amplían para incluir los efectos cruzados entre los subyacentes.

El delta de correlación mide la sensibilidad del valor de la derivada a un cambio en la correlación entre los subyacentes. También se conoce comúnmente como cega .

Cross gamma mide la tasa de cambio de delta en un subyacente a un cambio en el nivel de otro subyacente.

Cross vanna mide la tasa de cambio de vega en un subyacente debido a un cambio en el nivel de otro subyacente. De manera equivalente, mide la tasa de cambio de delta en el segundo subyacente debido a un cambio en la volatilidad del primer subyacente.

Cross volga mide la tasa de cambio de vega en un subyacente a un cambio en la volatilidad de otro subyacente.

Fórmulas para los griegos de la opción europea

Los griegos de Europa opciones ( las llamadas y pone ) bajo el modelo Negro-Scholes se calculan como sigue, en donde (phi) es la normal estándar función de densidad de probabilidad y es la normal estándar función de distribución acumulativa . Tenga en cuenta que las fórmulas gamma y vega son las mismas para las llamadas y las opciones de venta. ${\ Displaystyle \ phi}$ ${\ Displaystyle \ Phi}$

Para una dada:

• Precio de las acciones ,${\ Displaystyle S \,}$
• Precio de ejercicio ,${\ Displaystyle K \,}$
• Tasa libre de riesgo ,${\ Displaystyle r \,}$
• Rentabilidad anual por dividendo ,${\ Displaystyle q \,}$
• Tiempo hasta el vencimiento (representado como una fracción sin unidades de un año), y${\ Displaystyle \ tau = Tt \,}$
• La volatilidad .${\ Displaystyle \ sigma \,}$

	Llamadas	Pone
valor razonable ( ) ${\ Displaystyle V}$	${\ Displaystyle Se ^ {- q \ tau} \ Phi (d_ {1}) - e ^ {- r \ tau} K \ Phi (d_ {2}) \,}$	${\ Displaystyle e ^ {- r \ tau} K \ Phi (-d_ {2}) - Se ^ {- q \ tau} \ Phi (-d_ {1}) \,}$
delta ( ) ${\ Displaystyle \ Delta}$	${\ Displaystyle e ^ {- q \ tau} \ Phi (d_ {1}) \,}$	${\ Displaystyle -e ^ {- q \ tau} \ Phi (-d_ {1}) \,}$
vega ( ) ${\ Displaystyle {\ mathcal {V}}}$	${\ Displaystyle Se ^ {- q \ tau} \ phi (d_ {1}) {\ sqrt {\ tau}} = Ke ^ {- r \ tau} \ phi (d_ {2}) {\ sqrt {\ tau }} \,}$
theta ( ) ${\ Displaystyle \ Theta}$	${\ Displaystyle -e ^ {- q \ tau} {\ frac {S \ phi (d_ {1}) \ sigma} {2 {\ sqrt {\ tau}}}} - rKe ^ {- r \ tau} \ Phi (d_ {2}) + qSe ^ {- q \ tau} \ Phi (d_ {1}) \,}$	${\ Displaystyle -e ^ {- q \ tau} {\ frac {S \ phi (d_ {1}) \ sigma} {2 {\ sqrt {\ tau}}}} + rKe ^ {- r \ tau} \ Phi (-d_ {2}) - qSe ^ {- q \ tau} \ Phi (-d_ {1}) \,}$
rho ( ) ${\ Displaystyle \ rho}$	${\ Displaystyle K \ tau e ^ {- r \ tau} \ Phi (d_ {2}) \,}$	${\ Displaystyle -K \ tau e ^ {- r \ tau} \ Phi (-d_ {2}) \,}$
épsilon ( )${\ Displaystyle \ epsilon}$	${\ Displaystyle -S \ tau e ^ {- q \ tau} \ Phi (d_ {1})}$	${\ Displaystyle S \ tau e ^ {- q \ tau} \ Phi (-d_ {1})}$
lambda ( ) ${\ Displaystyle \ lambda}$	${\ Displaystyle \ Delta {\ frac {S} {V}} \,}$
gamma ( ) ${\ Displaystyle \ Gamma}$	${\ Displaystyle e ^ {- q \ tau} {\ frac {\ phi (d_ {1})} {S \ sigma {\ sqrt {\ tau}}}} = Ke ^ {- r \ tau} {\ frac {\ phi (d_ {2})} {S ^ {2} \ sigma {\ sqrt {\ tau}}}} \,}$
vanna	${\ Displaystyle -e ^ {- q \ tau} \ phi (d_ {1}) {\ frac {d_ {2}} {\ sigma}} \, = {\ frac {\ mathcal {V}} {S} } \ left [1 - {\ frac {d_ {1}} {\ sigma {\ sqrt {\ tau}}}} \ right] \,}$
encanto	${\ Displaystyle qe ^ {- q \ tau} \ Phi (d_ {1}) - e ^ {- q \ tau} \ phi (d_ {1}) {\ frac {2 (rq) \ tau -d_ {2 } \ sigma {\ sqrt {\ tau}}} {2 \ tau \ sigma {\ sqrt {\ tau}}}} \,}$	${\ Displaystyle -qe ^ {- q \ tau} \ Phi (-d_ {1}) - e ^ {- q \ tau} \ phi (d_ {1}) {\ frac {2 (rq) \ tau -d_ {2} \ sigma {\ sqrt {\ tau}}} {2 \ tau \ sigma {\ sqrt {\ tau}}}} \,}$
vómito	${\ Displaystyle Se ^ {- q \ tau} \ phi (d_ {1}) {\ sqrt {\ tau}} {\ frac {d_ {1} d_ {2}} {\ sigma}} = {\ mathcal { V}} {\ frac {d_ {1} d_ {2}} {\ sigma}} \,}$
veta	${\ Displaystyle -Se ^ {- q \ tau} \ phi (d_ {1}) {\ sqrt {\ tau}} \ left [q + {\ frac {\ left (rq \ right) d_ {1}} {\ sigma {\ sqrt {\ tau}}}} - {\ frac {1 + d_ {1} d_ {2}} {2 \ tau}} \ right] \,}$
${\ Displaystyle \ varphi}$	${\ Displaystyle e ^ {- r \ tau} {\ frac {1} {K}} {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ sigma ^ {2} \ tau}}} \ exp \ left \ {- {\ frac {1} {2 \ sigma ^ {2} \ tau}} \ left [\ ln \ left ({\ frac {K} {S}} \ right) - \ left ((rq) - { \ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} \ right) \ tau \ right] ^ {2} \ right \}}$
velocidad	${\ Displaystyle -e ^ {- q \ tau} {\ frac {\ phi (d_ {1})} {S ^ {2} \ sigma {\ sqrt {\ tau}}}} \ left ({\ frac { d_ {1}} {\ sigma {\ sqrt {\ tau}}}} + 1 \ right) = - {\ frac {\ Gamma} {S}} \ left ({\ frac {d_ {1}} {\ sigma {\ sqrt {\ tau}}}} + 1 \ right) \,}$
zomma	${\ Displaystyle e ^ {- q \ tau} {\ frac {\ phi (d_ {1}) \ left (d_ {1} d_ {2} -1 \ right)} {S \ sigma ^ {2} {\ sqrt {\ tau}}}} = \ Gamma {\ frac {d_ {1} d_ {2} -1} {\ sigma}} \,}$
color	${\ Displaystyle -e ^ {- q \ tau} {\ frac {\ phi (d_ {1})} {2S \ tau \ sigma {\ sqrt {\ tau}}}} \ left [2q \ tau +1+ {\ frac {2 (rq) \ tau -d_ {2} \ sigma {\ sqrt {\ tau}}} {\ sigma {\ sqrt {\ tau}}}} d_ {1} \ right] \,}$
última	${\ Displaystyle {\ frac {- {\ mathcal {V}}} {\ sigma ^ {2}}} \ left [d_ {1} d_ {2} (1-d_ {1} d_ {2}) + d_ {1} ^ {2} + d_ {2} ^ {2} \ right]}$
doble delta	${\ Displaystyle -e ^ {- r \ tau} \ Phi (d_ {2}) \,}$	${\ Displaystyle e ^ {- r \ tau} \ Phi (-d_ {2}) \,}$
gamma dual	${\ Displaystyle e ^ {- r \ tau} {\ frac {\ phi (d_ {2})} {K \ sigma {\ sqrt {\ tau}}}} \,}$

dónde

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} d_ {1} & = {\ frac {\ ln (S / K) + \ left (r-q + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} \ derecha) \ tau} {\ sigma {\ sqrt {\ tau}}}} \\ d_ {2} & = {\ frac {\ ln (S / K) + \ left (rq - {\ frac {1} { 2}} \ sigma ^ {2} \ right) \ tau} {\ sigma {\ sqrt {\ tau}}}} = d_ {1} - \ sigma {\ sqrt {\ tau}} \\\ phi (x ) & = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} e ^ {- {\ frac {1} {2}} x ^ {2}} \\\ Phi (x) & = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {x} e ^ {- {\ frac {1} {2}} y ^ {2}} \, dy = 1 - {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {x} ^ {\ infty} e ^ {- {\ frac {1} {2}} y ^ {2}} \ , dy \ end {alineado}}}$

Bajo el modelo negro (comúnmente utilizado para materias primas y opciones sobre futuros), los griegos se pueden calcular de la siguiente manera:

	Llamadas	Pone
valor razonable ( ) ${\ Displaystyle V}$	${\ Displaystyle e ^ {- r \ tau} [F \ Phi (d_ {1}) - K \ Phi (d_ {2})] \}$	${\ Displaystyle e ^ {- r \ tau} [K \ Phi (-d_ {2}) - F \ Phi (-d_ {1})] \,}$
delta ( )${\ Displaystyle \ Delta}$${\ Displaystyle = \ V parcial / \ V parcial}$	${\ Displaystyle e ^ {- r \ tau} \ Phi (d_ {1}) \,}$	${\ Displaystyle -e ^ {- r \ tau} \ Phi (-d_ {1}) \,}$
vega ( ) ${\ Displaystyle {\ mathcal {V}}}$	${\ Displaystyle Fe ^ {- r \ tau} \ phi (d_ {1}) {\ sqrt {\ tau}} = Ke ^ {- r \ tau} \ phi (d_ {2}) {\ sqrt {\ tau }} \,}$ (*)
theta ( ) ${\ Displaystyle \ Theta}$	${\ Displaystyle - {\ frac {Fe ^ {- r \ tau} \ phi (d_ {1}) \ sigma} {2 {\ sqrt {\ tau}}}} - rKe ^ {- r \ tau} \ Phi (d_ {2}) + rFe ^ {- r \ tau} \ Phi (d_ {1}) \,}$	${\ Displaystyle - {\ frac {Fe ^ {- r \ tau} \ phi (d_ {1}) \ sigma} {2 {\ sqrt {\ tau}}}} + rKe ^ {- r \ tau} \ Phi (-d_ {2}) - rFe ^ {- r \ tau} \ Phi (-d_ {1}) \,}$
rho ( ) ${\ Displaystyle \ rho}$	${\ Displaystyle - \ tau e ^ {- r \ tau} [F \ Phi (d_ {1}) - K \ Phi (d_ {2})] \}$	${\ Displaystyle - \ tau e ^ {- r \ tau} [K \ Phi (-d_ {2}) - F \ Phi (-d_ {1})] \,}$
gamma ( )${\ Displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle = {\ partial ^ {2} V \ over \ partial F ^ {2}}}$	${\ Displaystyle e ^ {- r \ tau} {\ frac {\ phi (d_ {1})} {F \ sigma {\ sqrt {\ tau}}}} = Ke ^ {- r \ tau} {\ frac {\ phi (d_ {2})} {F ^ {2} \ sigma {\ sqrt {\ tau}}}} \,}$ (*)
vanna ${\ Displaystyle = {\ frac {\ parcial ^ {2} V} {\ parcial F \ parcial \ sigma}}}$	${\ Displaystyle -e ^ {- r \ tau} \ phi (d_ {1}) {\ frac {d_ {2}} {\ sigma}} \, = {\ frac {\ mathcal {V}} {F} } \ left [1 - {\ frac {d_ {1}} {\ sigma {\ sqrt {\ tau}}}} \ right] \,}$
vómito	${\ Displaystyle Fe ^ {- r \ tau} \ phi (d_ {1}) {\ sqrt {\ tau}} {\ frac {d_ {1} d_ {2}} {\ sigma}} = {\ mathcal { V}} {\ frac {d_ {1} d_ {2}} {\ sigma}} \,}$

dónde

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} d_ {1} & = {\ frac {\ ln (F / K) + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} \ tau} {\ sigma { \ sqrt {\ tau}}}} \\ d_ {2} & = {\ frac {\ ln (F / K) - {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} \ tau} {\ sigma {\ sqrt {\ tau}}}} = d_ {1} - \ sigma {\ sqrt {\ tau}} \ end {alineado}}}$

(*) Se puede demostrar que ${\ Displaystyle F \ phi (d_ {1}) = K \ phi (d_ {2})}$

Medidas relacionadas

Algunas medidas de riesgo relacionadas de los derivados financieros se enumeran a continuación.

Duración y convexidad del enlace

En la negociación de valores de renta fija (bonos), se utilizan diversas medidas de duración de los bonos de forma análoga al delta de una opción. El análogo más cercano al delta es DV01 , que es la reducción en el precio (en unidades monetarias) por un aumento de un punto básico (es decir, 0.01% anual) en el rendimiento (el rendimiento es la variable subyacente).

Análoga a la lambda es la duración modificada , que es el cambio porcentual en el precio de mercado de los bonos para un cambio unitario en el rendimiento (es decir, es equivalente a DV01 dividido por el precio de mercado). A diferencia de la lambda, que es una elasticidad (un cambio porcentual en salida para un cambio porcentual en la entrada), la duración modificada es en cambio un semi -elasticity -a cambio porcentual en la salida para una unidad de cambio en la entrada.

La convexidad del bono es una medida de la sensibilidad de la duración a cambios en las tasas de interés , la segunda derivada del precio del bono con respecto a las tasas de interés (la duración es la primera derivada). En general, cuanto mayor es la convexidad, más sensible es el precio del bono al cambio en las tasas de interés. La convexidad de los bonos es una de las formas de convexidad más básicas y más utilizadas en las finanzas .

Para un bono con una opción incorporada , los cálculos basados ​​en el rendimiento estándar al vencimiento aquí no consideran cómo los cambios en las tasas de interés alterarán los flujos de efectivo debido al ejercicio de la opción. Para abordar esto, se introducen la duración efectiva y la convexidad efectiva . Por lo general, estos valores se calculan utilizando un modelo basado en árboles, construido para toda la curva de rendimiento (en lugar de un rendimiento único al vencimiento) y, por lo tanto, capturan el comportamiento del ejercicio en cada punto de la vida de la opción como una función tanto del tiempo como de las tasas de interés. ; ver modelo Lattice (finanzas) § Derivados de tipos de interés .

Beta

La beta (β) de una acción o cartera es un número que describe la volatilidad de un activo en relación con la volatilidad del índice de referencia con el que se compara dicho activo. Este índice de referencia es generalmente el mercado financiero en general y, a menudo, se estima mediante el uso de índices representativos , como el S&P 500 .

Un activo tiene una Beta de cero si sus rendimientos cambian independientemente de los cambios en los rendimientos del mercado. Una beta positiva significa que los rendimientos del activo generalmente siguen los rendimientos del mercado, en el sentido de que ambos tienden a estar por encima de sus respectivos promedios juntos, o ambos tienden a estar por debajo de sus respectivos promedios juntos. Una beta negativa significa que los rendimientos del activo generalmente se mueven en sentido opuesto a los rendimientos del mercado: uno tenderá a estar por encima de su promedio cuando el otro está por debajo de su promedio.

Fugit

El fugit es el momento esperado para ejercer una opción estadounidense o bermuda. Es útil para calcular que para fines de cobertura, por ejemplo, uno puede representar flujos de un americano swaption como los flujos de un intercambio a partir de la fugit multiplicado por delta, a continuación, utilizar estos para calcular las sensibilidades.

Ver también

• Alpha (finanzas)
• Beta (finanzas)
• Delta neutral
• Letras griegas utilizadas en matemáticas, ciencias e ingeniería.
• Precios de Vanna – Volga

Notas

Referencias

enlaces externos

Teoría

• Delta, Gamma, GammaP, Gamma simetría, Vanna, Speed, Charm, Saddle Gamma: Opciones de vainilla - Espen Haug ,
• Volga, Vanna, Speed, Charm, Color: Vanilla Options - Uwe Wystup , Vanilla Options - Uwe Wystup

Derivaciones matemáticas paso a paso de opciones griegas

• Derivación del precio de venta europeo de vainilla
• Derivación de la llamada de vainilla europea Delta
• Derivación de la llamada gamma de vainilla europea
• Derivación de la velocidad de llamada de vainilla europea
• Derivación de la llamada de vainilla europea Vega
• Derivación de la llamada europea de vainilla Volga
• Derivación de European Vanilla Call Vanna como derivada de Vega con respecto al subyacente
• Derivación de European Vanilla Call Vanna como derivada de Delta con respecto a la volatilidad
• Derivación de la llamada de vainilla europea Theta
• Derivación de la llamada europea de vainilla Rho
• Derivación del precio de venta europeo de vainilla
• Derivación de la vainilla europea Put Delta
• Derivación de la vainilla europea Put Gamma
• Derivación de la velocidad put de vainilla europea
• Derivación de la vainilla europea Put Vega
• Derivación de la vainilla europea Put Volga
• Derivación de la vainilla europea Ponga a Vanna como derivada de Vega con respecto al subyacente
• Derivación de la vainilla europea Ponga a Vanna como derivada de Delta con respecto a la volatilidad
• Derivación de la vainilla europea Put Theta
• Derivación de la vainilla europea Put Rho

Herramientas en línea

• Gráficos de superficie de los griegos Black-Scholes , Chris Murray
• Precios de opciones en línea en tiempo real y calculadora griega cuando el subyacente se distribuye normalmente , Razvan Pascalau, Univ. de Alabama
• griegos: sensibilidad de los precios de las opciones financieras , paquete R para calcular griegos para opciones europeas, americanas y asiáticas