Teoría de la medida difusa - Fuzzy measure theory

En matemáticas , la teoría de la medida difusa considera medidas generalizadas en las que la propiedad aditiva es reemplazada por la propiedad más débil de la monotonicidad. El concepto central de la teoría de la medida difusa es la medida difusa (también capacidad , ver) que fue introducida por Choquet en 1953 y definida independientemente por Sugeno en 1974 en el contexto de integrales difusas . Existe una serie de diferentes clases de medidas difusas que incluyen medidas de plausibilidad / creencia ; medidas de posibilidad / necesidad ; y medidas de probabilidad que son un subconjunto de medidas clásicas .

Definiciones

Sea un universo de discurso , sea ​​una clase de subconjuntos de y . Una función donde ${\ Displaystyle \ mathbf {X}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {X}}$${\ Displaystyle E, F \ in {\ mathcal {C}}}$ ${\ Displaystyle g: {\ mathcal {C}} \ to \ mathbb {R}}$

1. ${\ Displaystyle \ emptyset \ in {\ mathcal {C}} \ Rightarrow g (\ emptyset) = 0}$
2. ${\ Displaystyle E \ subseteq F \ Rightarrow g (E) \ leq g (F)}$

se llama medida difusa . Una medida difusa se llama normalizada o regular si . ${\ Displaystyle g (\ mathbf {X}) = 1}$

Propiedades de las medidas difusas

Una medida difusa es:

• aditivo si para cualquiera de los que tenemos ;${\ Displaystyle E, F \ in {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle E \ cap F = \ emptyset}$${\ Displaystyle g (E \ cup F) = g (E) + g (F).}$
• supermodular si hay alguno , lo tenemos ;${\ Displaystyle E, F \ in {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle g (E \ cup F) + g (E \ cap F) \ geq g (E) + g (F)}$
• submodular si hay alguno, tenemos;${\ Displaystyle E, F \ in {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle g (E \ cup F) + g (E \ cap F) \ leq g (E) + g (F)}$
• superaditivo si para cualquiera de los que , tenemos ;${\ Displaystyle E, F \ in {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle E \ cap F = \ emptyset}$${\ Displaystyle g (E \ cup F) \ geq g (E) + g (F)}$
• subaditivo si para cualquiera de los que tenemos ;${\ Displaystyle E, F \ in {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle E \ cap F = \ emptyset}$${\ Displaystyle g (E \ cup F) \ leq g (E) + g (F)}$
• simétrico si para alguno , tenemos implica ;${\ Displaystyle E, F \ in {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle | E | = | F |}$${\ Displaystyle g (E) = g (F)}$
• Booleano si para alguno , tenemos o .${\ Displaystyle E \ in {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle g (E) = 0}$${\ Displaystyle g (E) = 1}$

Comprender las propiedades de las medidas difusas es útil en la aplicación. Cuando se usa una medida difusa para definir una función como la integral de Sugeno o la integral de Choquet , estas propiedades serán cruciales para comprender el comportamiento de la función. Por ejemplo, la integral de Choquet con respecto a una medida difusa aditiva se reduce a la integral de Lebesgue . En casos discretos, una medida difusa simétrica dará como resultado el operador de promedio ponderado ordenado (OWA). Las medidas difusas submodulares dan como resultado funciones convexas, mientras que las medidas difusas supermodulares dan como resultado funciones cóncavas cuando se utilizan para definir una integral de Choquet.

Representación de Moebius

Sea g una medida difusa, la representación de Möbius de g está dada por la función de conjunto M , donde para cada , ${\ Displaystyle E, F \ subseteq X}$

${\ displaystyle M (E) = \ sum _ {F \ subseteq E} (- 1) ^ {| E \ barra invertida F |} g (F).}$

Los axiomas equivalentes en la representación de Möbius son:

1. ${\ Displaystyle M (\ emptyset) = 0}$.
2. ${\ Displaystyle \ sum _ {F \ subseteq E | i \ in F} M (F) \ geq 0}$, para todos y para todos${\ Displaystyle E \ subseteq \ mathbf {X}}$${\ Displaystyle i \ in E}$

Una medida difusa en la representación de Möbius M se llama normalizada si${\ Displaystyle \ sum _ {E \ subseteq \ mathbf {X}} M (E) = 1.}$

La representación de Möbius se puede utilizar para dar una indicación de qué subconjuntos de X interactúan entre sí. Por ejemplo, una medida difusa aditiva tiene valores de Möbius todos iguales a cero excepto para los singleton. La medida difusa g en la representación estándar se puede recuperar de la forma de Möbius usando la transformada Zeta:

${\ Displaystyle g (E) = \ sum _ {F \ subseteq E} M (F), \ forall E \ subseteq \ mathbf {X}.}$

Supuestos de simplificación para medidas difusas

Las medidas difusas se definen en un semirecolado de conjuntos o una clase monótona que puede ser tan granular como el conjunto de potencias de X , e incluso en casos discretos el número de variables puede ser tan grande como 2 ^{| X |} . Por esta razón, en el contexto del análisis de decisiones multicriterio y otras disciplinas, se han introducido supuestos de simplificación sobre la medida difusa para que sea menos costoso desde el punto de vista computacional de determinar y utilizar. Por ejemplo, cuando se supone la medida difusa es aditivo , que llevará a cabo que y los valores de la medida difusa puede ser evaluada a partir de los valores de X . De manera similar, una medida difusa simétrica se define únicamente por | X | valores. Dos medidas difusas importantes que se pueden utilizar son los Sugeno- o medida -fuzzy y k medidas -additive, introducidas por Sugeno y Grabisch respectivamente. ${\ Displaystyle g (E) = \ sum _ {i \ in E} g (\ {i \})}$${\ Displaystyle \ lambda}$

Sugeno λ -medida

La medida de Sugeno es un caso especial de medidas difusas definidas iterativamente. Tiene la siguiente definición: ${\ Displaystyle \ lambda}$

Definición

Sea un conjunto finito y dejemos . Una medida de Sugeno es una función tal que ${\ Displaystyle \ mathbf {X} = \ left \ lbrace x_ {1}, \ dots, x_ {n} \ right \ rbrace}$${\ Displaystyle \ lambda \ in (-1, + \ infty)}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle g: 2 ^ {X} \ a [0,1]}$

1. ${\ Displaystyle g (X) = 1}$.
2. si (alternativamente ) con entonces .${\ Displaystyle A, B \ subseteq \ mathbf {X}}$${\ Displaystyle A, B \ in 2 ^ {\ mathbf {X}}}$${\ Displaystyle A \ cap B = \ emptyset}$${\ Displaystyle g (A \ cup B) = g (A) + g (B) + \ lambda g (A) g (B)}$

Como convención, el valor de g en un conjunto singleton se llama densidad y se denota por . Además, tenemos que satisface la propiedad ${\ Displaystyle \ left \ lbrace x_ {i} \ right \ rbrace}$${\ Displaystyle g_ {i} = g (\ left \ lbrace x_ {i} \ right \ rbrace)}$${\ Displaystyle \ lambda}$

${\ Displaystyle \ lambda + 1 = \ prod _ {i = 1} ^ {n} (1+ \ lambda g_ {i})}$.

Tahani y Keller, así como Wang y Klir, han demostrado que una vez que se conocen las densidades, es posible utilizar el polinomio anterior para obtener los valores de de forma única. ${\ Displaystyle \ lambda}$

k -medida difusa aditiva

La medida difusa aditiva k limita la interacción entre los subconjuntos al tamaño . Esto reduce drásticamente el número de variables necesarias para definir la medida difusa, y como k puede ser cualquier cosa desde 1 (en cuyo caso la medida difusa es aditiva) a X , permite un compromiso entre la capacidad de modelado y la simplicidad. ${\ Displaystyle E \ subseteq X}$${\ Displaystyle | E | = k}$

Definición

Una medida difusa discreta g en un conjunto X se llama k-aditivo ( ) si su representación de Möbius verifica , siempre que para alguna , y existe un subconjunto F con k elementos tales que . ${\ Displaystyle 1 \ leq k \ leq | \ mathbf {X} |}$${\ Displaystyle M (E) = 0}$${\ Displaystyle | E |> k}$${\ Displaystyle E \ subseteq \ mathbf {X}}$${\ Displaystyle M (F) \ neq 0}$

Índices de interacción y Shapley

En teoría de juegos , el valor de Shapley o el índice de Shapley se usa para indicar el peso de un juego. Los valores de Shapley se pueden calcular para medidas difusas con el fin de dar alguna indicación de la importancia de cada singleton. En el caso de medidas difusas aditivas, el valor de Shapley será el mismo que para cada singleton.

Para una medida difusa dada g , y , el índice de Shapley para cada es: ${\ Displaystyle | \ mathbf {X} | = n}$${\ Displaystyle i, \ dots, n \ in X}$

${\ Displaystyle \ phi (i) = \ sum _ {E \ subseteq \ mathbf {X} \ barra invertida \ {i \}} {\ frac {(n- | E | -1)! | E |!} {n !}} [g (E \ taza \ {i \}) - g (E)].}$

El valor de Shapley es el vector ${\ Displaystyle \ mathbf {\ phi} (g) = (\ psi (1), \ dots, \ psi (n)).}$

Ver también

• Teoría de probabilidad
• Teoría de la posibilidad

Referencias

Otras lecturas

• Beliakov, Pradera y Calvo, Funciones de agregación: una guía para profesionales , Springer, Nueva York 2007.
• Wang, Zhenyuan y George J. Klir , Teoría de la medida difusa , Plenum Press, Nueva York, 1991.

enlaces externos

• Teoría de la medida difusa en el procesamiento de imágenes difusas