Erosión (morfología) - Erosion (morphology)

La erosión del cuadrado azul oscuro por un disco, dando como resultado el cuadrado azul claro.

La erosión (generalmente representada por ⊖ ) es una de las dos operaciones fundamentales (la otra es la dilatación ) en el procesamiento de imágenes morfológicas en la que se basan todas las demás operaciones morfológicas. Originalmente se definió para imágenes binarias , luego se extendió a imágenes en escala de grises y, posteriormente, a celosías completas . La operación de erosión suele utilizar un elemento estructurador para sondear y reducir las formas contenidas en la imagen de entrada.

Erosión binaria

En morfología binaria, una imagen se ve como un subconjunto de un espacio euclidiano o la cuadrícula entera , para alguna dimensión d . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {d}}$

La idea básica en morfología binaria es sondear una imagen con una forma simple y predefinida, sacando conclusiones sobre cómo esta forma encaja o no se ajusta a las formas de la imagen. Esta simple "sonda" se llama elemento estructurante y es en sí misma una imagen binaria (es decir, un subconjunto del espacio o cuadrícula).

Deje E un espacio euclídeo o un número entero de rejilla, y una imagen binaria en E . La erosión de la imagen binaria A por el elemento estructurante B se define por:

{\ Displaystyle A \ ominus B = \ {z \ in E | B_ {z} \ subseteq A \}}

,

donde B _z es la traducción de B por el vector z, es decir, , . ${\ Displaystyle B_ {z} = \ {b + z | b \ in B \}}$ ${\ Displaystyle \ forall z \ in E}$

Cuando el elemento estructurante B tiene un centro (por ejemplo, un disco o un cuadrado), y este centro está ubicado en el origen de E , entonces la erosión de A por B puede entenderse como el lugar geométrico de los puntos alcanzados por el centro de B cuando B se mueve dentro de A . Por ejemplo, la erosión de un cuadrado de lado 10, centrado en el origen, por un disco de radio 2, también centrado en el origen, es un cuadrado de lado 6 centrado en el origen.

La erosión de A por B también viene dada por la expresión:, donde A _−b denota la traducción de A por -b . ${\ Displaystyle A \ ominus B = \ bigcap _ {b \ in B} A _ {- b}}$

Ejemplo

Suponga que A es una matriz de 13 x 13 y B es una matriz de 3 x 3:

    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1        
    1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1    
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1    
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1                
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1               1 1 1
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1               1 1 1
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1               1 1 1
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1        
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1    
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1    
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   
    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Suponiendo que el origen B está en su centro, para cada píxel en A superponga el origen de B, si B está completamente contenido por A, el píxel se retiene, de lo contrario se elimina.

Por lo tanto, la erosión de A por B está dada por esta matriz de 13 x 13.

    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
    0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0
    0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0
    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 
    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 
    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 
    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
    0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Esto significa que solo cuando B está completamente contenido dentro de A, los valores de los píxeles se conservan; de lo contrario, se eliminan o erosionan.

Propiedades

La erosión es invariante en la traducción .
Está aumentando , es decir, si , entonces . ${\ Displaystyle A \ subseteq C}$ ${\ Displaystyle A \ ominus B \ subseteq C \ ominus B}$
Si el origen de E pertenece al elemento estructurante B , entonces la erosión es anti extensa , es decir, . ${\ Displaystyle A \ ominus B \ subseteq A}$
La erosión satisface , donde denota la dilatación morfológica . ${\ Displaystyle (A \ ominus B) \ ominus C = A \ ominus (B \ oplus C)}$ ${\ Displaystyle \ oplus}$
La erosión es distributiva sobre la intersección establecida.

Erosión en escala de grises

Ejemplo de erosión en una imagen en escala de grises utilizando un elemento estructurante plano de 5x5. La figura superior muestra la aplicación de la ventana del elemento de estructuración a los píxeles individuales de la imagen original. La figura inferior muestra la imagen erosionada resultante.

En escala de grises morfología, las imágenes son funciones que trazan un espacio euclidiano o rejilla E en donde es el conjunto de números reales , es un elemento más grande que cualquier número real, y es un elemento más pequeño que cualquier número real. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ cup \ {\ infty, - \ infty \}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ infty}$ ${\ Displaystyle - \ infty}$

Denotando una imagen por f (x) y el elemento estructurante en escala de grises por b (x) , donde B es el espacio en el que se define b (x), la erosión en escala de grises de f por b está dada por

{\ Displaystyle (f \ ominus b) (x) = \ inf _ {y \ in B} [f (x + y) -b (y)]}

,

donde "inf" denota el infimum .

En otras palabras, la erosión de un punto es el mínimo de los puntos en su vecindad, con esa vecindad definida por el elemento estructurante. De esta manera, es similar a muchos otros tipos de filtros de imagen como el filtro mediano y el filtro gaussiano .

Erosiones en celosías completas

Las celosías completas son conjuntos parcialmente ordenados , donde cada subconjunto tiene un mínimo y un supremo . En particular, contiene un elemento mínimo y un elemento mayor (también denominado "universo").

Sea una celosía completa, con infimum y supremum simbolizados por y , respectivamente. Su universo y elemento mínimo están simbolizados por U y , respectivamente. Por otra parte, dejar que sea una colección de elementos de L . ${\ Displaystyle (L, \ leq)}$ ${\ Displaystyle \ wedge}$ ${\ Displaystyle \ vee}$ ${\ Displaystyle \ emptyset}$ ${\ Displaystyle \ {X_ {i} \}}$

Una erosión en es cualquier operador que distribuye sobre el mínimo y preserva el universo. Es decir: ${\ Displaystyle (L, \ leq)}$ ${\ Displaystyle \ varepsilon: L \ rightarrow L}$

${\ Displaystyle \ bigwedge _ {i} \ varepsilon (X_ {i}) = \ varepsilon \ left (\ bigwedge _ {i} X_ {i} \ right)}$ ,
${\ Displaystyle \ varepsilon (U) = U}$ .

Ver también

Referencias

Análisis de imágenes y morfología matemática por Jean Serra, ISBN 0-12-637240-3 (1982)
Análisis de imágenes y morfología matemática, Volumen 2: Avances teóricos de Jean Serra, ISBN 0-12-637241-1 (1988)
Una introducción al procesamiento de imágenes morfológicas por Edward R. Dougherty, ISBN 0-8194-0845-X (1992)
Análisis de imágenes morfológicas; Principios y aplicaciones de Pierre Soille, ISBN 3-540-65671-5 (1999)
RC Gonzalez y RE Woods, Procesamiento de imágenes digitales , 2ª ed. Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall, 2002.

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